如何检查答案

50

如何检查答案

也许，在看似详尽地解决了一个问题之后，每个人有时都会错误地认为这里仍然有问题。如果问题是全新的或者解决方案很麻烦，这种情况就尤其自然。在这种情况下你应该做什么？你如何至少确保答案不是完全错误的？在这种情况下，最自然的自测方法就是检查答案。让我们立即注意到，对此没有通用的方案。我们只能重点介绍几个相对常见的案例。

波兹尼我们的故事结构如下。首先，制定了四项任务。每个问题给出三个答案，其中两个是错误的。我们将在不解决问题的情况下尝试确定哪个答案是正确的。文章末尾提供了解决方案。

问题 1. 汽车以 $v_1$ 的速度通过第一层轨道，以 $v_2$ 的速度通过第二层。自动平均速度是多少？

奥梅姆斯：

1. $v_{cp} = \frac{v_1 + v_2}{2v_1v_2}$.
2. $v_{cp} = v_1 + \frac{v_1v_2}{2(v_1 + v_2)}$.
3. $v_{cp} = 2\frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}$.

答案必须通过的第一个测试是它的维度。显然，在情况1）的情况下，这方面的情况是不利的。答案的维度为反速度$\left(\frac{cek}{cm}\right)$。让我们证明第二个答案也是错误的。让我们尝试了解发生了什么事。为此，该列表是

图 1.

我们再看看问题的条件。很容易看出，对于所提出的问题，速度$v_1$和$v_2$是相等的，也就是说，不清楚路径的哪一部分自动具有速度$v_1$，以及哪一部分具有速度$v_2$。这意味着用 $v_2$ 替换 $v_1$，用 $v_1$ 替换 $v_2$ 不应改变答案。在这种情况下，他们说它关于 $v_1$ 和 $v_2$ 对称。在第二个答案中进行了指定的替换后，我们得到

$v_{cp} = v_2 + \frac{v_1v_2}{2(v_1 + v_2)} \neq v_1 + \frac{v_1v_2}{2(v_1 + v_2)}$.

因此，第三个答案是正确的。

问题 2. 两个质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的重物悬挂在一根线上，并扔过一个木块 (图 1)。计数

51

螺纹和块失重并忽略摩擦力，确定负载$a_1$和$a_2$的加速度以及螺纹$T$的张力。

答案：

1. $a_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$;
   $a_2 = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$; $T = 2 \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
2. $a_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1} g$; $a_2 = \frac{m_1 - m_2}{m_1} g$;
   $T = 2 \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
3. $a_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$; $a_2 = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$;
   $T = (m_1 + m_2) g$.

我们认为图处箭头指示的方向为正方向。

与上一个问题一样，我们首先检查尺寸。很容易验证在所有三种情况下每个公式的右侧和左侧具有相同的维度。之后您可以继续前进。请注意，如果权重$m_1$和$m_2$互换，则线的张力不会改变，即张力的表达式必须相对于$m_1$和$m_2$对称。所有答案也都通过了这个测试。

很容易看出第二种情况犯了错误。事实上，权重 $m_1$ 和 $m_2$ 挂在同一个线程上。这意味着，如果质量 $m_1$ 以加速度 $a_1$ 移动，则质量 $m_2$ 必须以加速度 $-a_1$ 移动（运动学联系），这在第二个答案中是不正确的。

所以，我们只需在第一和第三个结果之间做出选择即可。它们仅在线张力的公式上有所不同。我们会这样推理：让一些质量，例如$m_1$，等于零。很明显，在这种情况下，第二重物自由下落并且线没有张紧。当然，也应该得到同样的结果

52

3. $h = \cos^2 \alpha \frac{(Mv)^2}{2g(m+M)^2}$;

$Q = \frac{mv^2}{2} \frac{m \cos^2 \alpha + M}{M}$.

与往常一样，第一个检查是尺寸。不过，我们不要着急。如何快速、轻松地做到这一点？让我们透露一个小秘密：如果您首先将其进行如下变换，则更容易看到对应的维数：从公式中包含的参数中，您需要看到无量纲关系，并以这样的方式进行：使剩余的维数组合尽可能简单或熟悉。

这正是第一个答案的样子。让我们对第二个进行类似的转换：

$$h = \frac{(mv)^2}{2(m+M)} = \frac{mv^2}{2} \frac{m}{m+M};$$

$$Q = \frac{m^2}{2(m+M)} \left[ \left( \frac{M}{m} \right)^2 + v^2 \cos^2 \alpha \right].$$

现在我们可以看到这两个对应关系都是不正确的。在第一种情况下，右侧部分具有能量维度，左侧部分具有长度维度。在第二种情况下，有量纲 $v^2 \cos^2 \alpha$ 和无量纲 $\left( \frac{M}{m} \right)^2$ 量的总和位于括号中，但也不应该是这种情况。使用类似的转换，确保第三个答案的维度是正确的。不幸的是，与前两个问题不同，条件不对称。因此，让我们选择一个答案非常明确的参数值，并检查是否可以从我们的公式中获得它。例如，$\alpha = 0$。那么很显然，球不会塌陷，即升力高度$h$为零，所有的动能都会以$\frac{mv^2}{2}$的形式传递给身体。将值$\alpha = 0$代入第一和第三个结果，我们得到：

图 3.

1. $h = 0$; $Q = \frac{mv^2}{2}$.

2. $h = \frac{v^2}{2g} \left( \frac{M}{m+M} \right)^2 \neq 0$;

$Q = \frac{mv^2}{2} \frac{m+M}{M} > \frac{mv^2}{2}$.

因此正确答案。

我们还要注意，对于自测试，我们可以使用$m = 0$或$M \to \infty$的情况。自己尝试一下。

任务 4. 面为$a$、密度为$p$的木立方体漂浮在水中。如果将一层$l$（图3）厚的油倒在水面上，立方体$\Delta h$的浸没深度会发生什么变化？水和油的密度分别为$\rho_B$和$\rho_M$。

答案：

1. $\Delta h = \frac{\rho_M - \rho_B}{\rho} (a - l)$.

2. $\Delta h = \frac{l (\rho_B - \rho_M)}{\rho_B}$.

3. $\Delta h = l \frac{\rho_B + \rho_M}{\rho_M}$.

很明显，所有三个答案的维数都是正确的，并且问题不存在对称性。

让我们尝试通过一些非常独特的案例来检查我们的答案。如果$l = 0$（即没有油），则浸入深度不应改变（$\Delta h = 0$）。很明显，第一个答案

53

情况$l=0$结果是$\Delta h = \frac{\rho_M - \rho_B}{\rho} a$，不正确。

现在让我们考虑另一种可能的情况。我们假设油的密度等于水的密度。显然，在这种情况下，立方体的浸入深度不会改变。很容易看出，第三个答案不满足这个条件。因此，第二个答案是正确的。

现在，也许是时候得出一些结论了。如何研究答案？

我们已经看到，首先我们需要确保尺寸正确。最好以字母形式进行此操作，突出显示相应的无量纲和有量纲组件。

下一步是研究问题的对称性。如果任何参数同等地包含在条件中，则它们必须同等地（对称地）包含在响应中。否则，问题的对称性更容易通过答案本身的出现来检测。这是什么意思？想象一下，所研究的响应相对于某些相同类型的参数（例如，两个质量、两个速度等）是对称的。然后你需要检查问题条件是否具有相同的对称性。如果不是，那么答案就是错误的。

另一种方便的检查方法如下：获得的结果取决于问题的参数（例如，质量、初始速度、角度、容量……）。我们将尝试通过更改任何参数$x$，将问题简化为已知问题或答案非常明显的问题。假设我们成功了并且知道 $x = x_0$ 的正确答案。然后检查包括将此结果与我们在 $x = x_0$ 处的结果进行比较。请注意，大多数情况下您必须采用这种验证方法。但为了成功应用它，你需要对问题的物理方面有很好的理解，

图 4.

现在让我们针对所提出的问题提出详细的解决方案。

任务1.平均速度$v_{cp}$等于$\frac{S}{t}$，其中$S$是路径，$t$是走完这条路径所花费的时间。

$$t = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1v_2}.$$

将$t$的表达式代入$v_{cp}$的公式，我们得到

$$v_{cp} = \frac{S \cdot 2v_1v_2}{S(v_1 + v_2)} = 2 \frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}.$$

任务 2. 由于线不可延伸且失重，$a_2 = -a_1 = a$（运动学连接）和线的张力在各处都相同 (图 4)。让我们写出该群的运动方程：

$$-m_1a = m_1g - T$$ 和 $$m_2a = m_2g - T.$$

求解该系统的 $a$ 和 $T$，我们发现

$$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g,$$

球-子弹系统中的气质规律得以保留。

54

图 5.

冲量（移动量），我们得到$mv \sin \alpha = (M+m) v'$，其中$v'$是子弹击中球后子弹和球的速度（图5）。

由机械能守恒定律可知

$$\frac{(M+m) v'^2}{2} = (M+m) gh,$$

在哪里

$$h = \frac{v^2}{2g} \sin^2 \alpha \left( \frac{m}{M+m} \right)^2.$$

释放的热量等于子弹的初始动能与子弹击中球后带子弹的球的动能之差：

$$Q = \frac{mv^2}{2} - \frac{(m+M) v'^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \frac{m \cos^2 \alpha + M}{m+M}.$$

任务 4. 浸入水和油中的立方体受到浮力 $F = \rho_M g l a^2 + \rho_B g x a^2$ (图 6)。该力必须等于作用在立方体上的重力：$P = \rho g a^3$。将这两个关系等同起来，我们得到$\rho_a = \rho_M l + \rho_B x$，由此浸入深度为$h_1 = x + l = \frac{\rho a}{\rho_B} - \frac{l \rho_M}{\rho_B} + l$。如果没有油

图 6.

$(l=0)$，则浸入深度为$h_0 = a \frac{\rho}{\rho_B}$。因此，浸入深度的变化等于

$$\Delta h = h_1 - h_0 = l - l \frac{\rho_M}{\rho_B} = \frac{\rho_B - \rho_M}{\rho_B} l.$$

现在尝试自己找出以下问题中哪个答案是正确的。

1. 一个质量为$m$的人位于漂浮在水面上的船头。船长$L$，重量$M$。那人走到船尾。 $l$和$b$会将船和人相对于岸移动多远？

答案：

1. $l = \frac{L}{m+M}$, $b = \frac{LM}{m(M+m)}$;

2. $l = \frac{m}{m+M} L$, $b = \frac{M}{M+m} L$;

3. $l = \frac{M}{m+M} L$, $b = \frac{m}{m+M} L$.

2. 一个半径为 $R$、质量为 $m$ 的球站在高度为 $h$ (图 7) 的台阶前面。要使球上升到台阶上，必须向球中心施加的最小水平力是多少？

答案：

1. $F \geqslant mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}$;

2. $F \geqslant mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R}$;

3. $F \geqslant mg \frac{2R-h}{R-h}$.

56

完成任务“帮助艺术家！”

答案：40种方法。使用黑色 16 种方式。

事实上，我们可以在黑色背景上绘制一条白线，或者在白色背景上绘制一条黑线，并且在每种方式中，我们都可以使用其余颜色的 8 种组合（3 种原色，每种包含或不包含，$2^3=8$）中的任何一种对整个图（或线条和背景）进行着色。

在其他方法中，线条和背景必须具有完全相同的原色（以便不存在两条线条）。

我们有24种方式。例如可以这样证明这一点。我们选择原色$X$，线条和背景的颜色不同；让我们在背景$X$上画一条白线，或者在白色背景上画一条彩色线$X$（因为除了黑色之外还有三种原色，所以这个图可以用6种方式制作）。有四种颜色不包含颜色$X$，即：白色、其他两种原色和一种偏移色。其中任何一个都可以覆盖整个图。这给了$3 \cdot 2 \cdot 4=24$更多的方法。而且只有40种方法。

检查封面上从同心圆中心到边缘的颜色过渡是否与一种主色一致。

转到文章“再次尝试找出参数”

1. a) 若$a=b=0$，则$x$为0、2以外的任意实数；

如果$a=\pm b \neq 0$，则无解；

如果$a=\pm 3b$，则$x=\frac{1}{2}$；

如果$a \neq \pm b$，$\pm 3b$，则$x_1=\frac{a+b}{a-b}$，$x_2=\frac{a-b}{a+b}$。

6. 如果$a \leq b$，则无解；

如果$a>b$，则$x_1=a$，$x_2=b$。

b) 如果$b=0$，则对于任何$a$都无解；

如果$a=0$，$b \neq 0$，则$x$是除了$n\frac{a}{b}$（$n=0; \pm 1; \dots$）形式的整数之外的任何数字。

2. 如果$a=b=1$，则解是任意对$(x, y)$，其中$x>0, y>0$；

如果$0<a=b \neq 1$，则解是任意对$(x, y)$，其中$x=y>0$；

如果$ab=1, a \neq 1, a>0$，则解是任意对$(x, y)$，其中$x>0, y=\frac{1}{x}$；

若$a \leq 0, b$为任意数或$b \leq 0$、$a$为任意数，则无解；

对于$(a, b)$的其他值，我们有$x=\frac{1}{b}, y=\frac{1}{a}$。

转至“如何检查答案”一文

1. 首先，让我们检查一下建议答案的维度。可以看出第一个答案的维度错误。为了在第二个和第三个答案之间进行选择，我们考虑极限情况$m=0$。如果$m=0$，那么显然船应该保持在原地。这并不是从第三个答案得出的；因此是正确答案。

2. 从上面的公式可以清楚地看出它们都有正确的尺寸。同样清楚的是，这个问题不存在对称性。因此，考虑$h=0$和$h=R$的情况。如果$h=0$，则最小力为0。将这个值代入所研究的公式中，对于第三种情况，我们得到$F \geq 2mg \neq 0$。如果$h=R$，则没有施加到中心的极大的力将举起球（图1）。满足这个条件。

57

只有第一个答案是正确的，这是正确的。事实上，在 $h \rightarrow R$
$$F_{\min} = mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h} \rightarrow \infty.$$

3. 与前面的情况一样，答案的尺寸是正确的。因此，我们将进行如下推理。如果$a=0$，则作用在物体上的力等于其重量。那么很明显第三个答案是错误的，因为。 $F(a=0)=0$。如果身体自由落体，$a=-g$ 且作用在其上的力等于 0（失重）。第一个答案满足这个条件。

4. 可以看出，三个答案都通过了维度测试以及关于$F_1$和$F_2$的对称问题。检查替换 $F_1 \rightarrow F_2$ 和 $F_2 \rightarrow F_1$ 时答案是否会转化为自身。

让我们考虑相同镜头的情况。很明显，他没有任何区别。然而，对于这种情况，第三个答案会导致焦距无限长。由此可见，第三个结果显然是错误的。如果一个透镜只是一个平面平行板（$\phi$平行平面板的眼距 $F_{\pi\pi}=\infty$，由于平行光束保持平行，即在无穷远处收集），那么该系统实际上由一个透镜组成。让我们检查一下这是否符合我们的公式： $F_1 \rightarrow \infty$ 我们必须得到那个 $F \rightarrow F_2$。这种对应关系实际上发生在第二个答案中，而对于第一个答案则不成立，也就是说，第二个答案是正确的。

5. 可以看出，三个答案的维度都是正确的。因此，为了找到正确的答案，请考虑以下情况：让球的电荷相等，但符号相反：$q_1=-q_2$。显然，那么，连接球后，它们只会放电，即它们的电荷和电位应变为0。只有第二个和第三个答案满足这个条件。为了选择正确的球，请考虑球相同的情况：$R_1=R_2$。很明显，他没有任何区别。另一方面，在第二个答案中，在这种情况下电荷的大小和电势变成无穷大。因此，第三个答案是正确的。

现在让我们针对问题给出详细的解决方案。

1. 封闭系统的动量不会改变，其质心保持静止。因此，人体系统的质心——与水相关的坐标系中的船，在人移动时不会发生变化。让我们选择质心处的参考原点。那么显然有(图2)$l=2y$和$b=2x$。

对于 $x$ 和 $y$，我们有一个方程组

$$\begin{cases} x+y=\frac{L}{2}, \\ mx=My, \end{cases}$$

图 2.

我们从哪里得到它

$$x=\frac{L}{2} \frac{M}{m+M}, \quad y=\frac{L}{2} \frac{m}{m+M},$$

$l=L \frac{m}{m+M}, \quad b=L \frac{M}{m+M}.$

2. 我们通过使相对于点 0 的力 $F$ 和力 $P=mg$ 的力矩相等来找到最小水平力 $F_1$。这给出

$$F(R-h) \geq P \sqrt{R^2-(R-h)^2},$$

$$F \geq mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}.$$

3. 如果加速度方向向上，我们将假设加速度为正。那么，根据牛顿第二定律，我们有$ma=F-mg$，因此有$F=m(g+a)$。

4. 从第一透镜的焦点发出的光束通过后不会变得平行。通过第二个透镜后，该光束被收集在其焦点处。假设系统相当于一个焦距为$F$的镜头，我们可以写成

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}.$$

从这里

$$F=\frac{F_1F_2}{F_1+F_2}.$$

5. 连接后，两个球具有相同的电势f。根据容量的定义，我们有$c_1=\frac{q'_1}{\varphi}$和$c_2=\frac{q'_2}{\varphi}$；考虑到问题的说明，可以得出以下结论

$$\frac{q'_2}{R_2}=\frac{q'_1}{R_1}.$$

58

另一方面，$q'_1 + q'_2 = q_1 + q_2$（电荷定律）。因此，为了确定 $q'_1, q'_2$ 和 φ，我们得到了一个方程组

$$\begin{cases} q'_1 + q'_2 = q_1 + q_2, \\ \frac{q'_1}{R_1} = \frac{q'_2}{R_2}, \\ \varphi = \frac{q'_1}{c_1}. \end{cases}$$

求解，我们得到

$$q'_1 = \frac{(q_1 + q_2)R_1}{R_1 + R_2}; \quad q'_2 = \frac{(q_1 + q_2)R_2}{R_1 + R_2};$$

$$\varphi = \frac{q_1 + q_2}{R_1 + R_2}.$$

“数学归纳法案例”分析（见«Kvant»第7期，第37页）

让我们把

$$P_n = \frac{1 \cdot 3 \dots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \dots 2n} (n \geqslant 1).$$

因此，通过数学归纳法证明不等式

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

和

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n}},$$

（Kolya V. 遇到了一个奇怪的障碍，即情况（1）中“从 n 到 n+1”的归纳转变很容易与检查关系重合

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{2n+1}{2n+2} \leqslant \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},$$

而在情况（2）中也有类似的关系

$$\frac{2n+1}{2n+2} \leqslant \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$$

对于任何 $n \geqslant 1$ 为 false。而且，不等式（2）本身就是不等式（1）的一个非常明显的结果！

首先，我们要明白，这里不存在形式上的矛盾：关系式（4）的满足仅足以保证（2）的有效性，但绝不是必要的。

但为什么会发生这种情况呢？

考虑从 $x=n$ 到 $x=n+1$ 的线段上的函数 $y = P_x$ 和 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的图形（函数 $y = P_x$ 仅在此线段的末尾定义）。

图 1.

关系式 (4) 的错误意味着不等式

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} > \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = \frac{A_{n+1}B_{n+1}}{A_nB_n}.$$

换句话说，“从n到n+1”过渡期间，段$A_nB_n$的长度比$P_n$值杀死得更快。这就是“坏”。

是否可以改变函数$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$，让这次杀戮的速度变慢？

能。为此，以函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x} + \alpha}$ 为例，其中 $\alpha > 0$。确实，不难证明

$$\frac{A_{n+1}B'_n+1}{A_nB'_n} = \sqrt{\frac{n+\alpha}{n+1+\alpha}} > \sqrt{\frac{n}{n+1}} = \frac{A_{n+1}B_{n+1}}{A_nB_n}.$$

Kolya 服用 $\alpha = 1$ 就足以让这个替代品发挥作用*)。

现在让我们解决第一个问题：证明

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n}}.$$

让我们立即转向“从 n 到 n+1”的转变。去大厅失败。因此，让我们用更有利的表达来替换正确的部分*

*) 细心的读者可能注意到，这里也有一些运气：状态的运气在于函数$\frac{1}{\sqrt{x} + \alpha}$不仅杀得比$\frac{1}{\sqrt{x}}$慢，而且位置也不靠近$P_x$。

59

并选择值$\alpha > 0$以使对应关系成立

$$\frac{2n+1}{2n+2} \leq \frac{\sqrt{3,1n+\alpha}}{\sqrt{3,1(n+1)+\alpha}},$$

或者

$$\alpha \geq \frac{3,1(n+1)}{4n+3}.$$

右侧在 $n=1$ 处取最大值 $\frac{3,1\cdot 2}{7} = 0,885\dots$（检查）。因此，对于$\alpha = \alpha_0 = \frac{3,1\cdot 2}{7}$，归纳跃迁简化为正确的对应关系 (6)。

仍有待验证对于$n=1$，辅助不等式

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n+\alpha_0}}$$

正确的。顺便问一下，为什么这个证明方法在系数为3.2的情况下不起作用呢？

而不是证明第二个不等式

$$\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4}$$

我们只是指出$A - \frac{B}{n^2}$通常可以用于成功的规则，并让您找到合适的系数$A$和$B$。

顺便说一句，“关于实数的两次运算”（«Kvant»第8期，第55页）

1. 应用数学归纳法。
2. 忠实。由于“加法”和“乘法”的可互换性，这些对应关系等价于文中给出的公式（2）和（3）。
3. $(a \otimes c) \otimes [(a \oplus b) \otimes c]$。使用公式（2）和公式（5）中的第一个。
4. 将给定值重写为 $a \otimes [(a \otimes b) \oplus (a \oplus c)]$ 形式。由于$(a \otimes b) \oplus (a \oplus c) = [a \oplus (a \otimes b)] \oplus c = a \otimes c$（参见公式（5）中的第二个），然后利用公式（6）中的第一个，得到最终的表达式min$(a, -a, -c)$。
5. 将等式简化为 $a \oplus b = a \otimes c$ 形式，即 max $(a, b) = \min (a, -c)$。这种对应关系只能发生在满足条件 $b \leq a \leq -c$ 的实数 $a, b, c$ 上。
6. 这种对应关系可以简化为 $a \oplus x = b$ 或 max $(a, x) = b$ 的形式。若$a < b$，则$x = b$；如果$a = b$，那么你可以任意取$x \leq b$；

如果$a > b$，则没有实数具有所需的性质。

致《数学》杂志竞赛部的问题（«Kvant»第8期，第57页）

1. 例如，假设在城市$P$中，将有6架从$A_1, A_2, \dots, A_6$中取出的飞机，并想象该州的地图（图1）。由于城市$A_1$和$A_2$之间的距离必须大于它们各自到城市$P$的距离，因此角度$A_1PA_2$大于60°。同样，角度$A_2PA_3, A_3PA_4, A_4PA_5, A_5PA_6, A_6PA_1$大于60°。但是围绕点$P$的总角度将超过360°，这是不可能的。

图 1.

2. 证明$l_ah_a + l_bh_b + l_ch_c \leq p^2$就足够了，其中$h_a, h_b, h_c$是三角形高的长度。如你所知，莉娜·比塞里萨

$$l_a = \frac{2}{b + c} \sqrt{bcp(p - a)}$$

利用不等式$b + c \geq 2\sqrt{bc}$，我们得到$l_a \leq \sqrt{p(p - a)}$。与$l_b \leq \sqrt{p(p - b)}$、$l_c \leq \sqrt{p(p - c)}$类似。最后三个不等式和容易证明的对应关系$h_a \leq l_a, h_b \leq l_b, h_c \leq l_c$给出$l_ah_a + l_bh_b + l_ch_c \leq l_a^2 + l_b^2 + l_c^2 \leq p(p - a) + p(p - b) + p(p - c) = p^2$。

3. 我们将原方程转化为以下形式

$$x^3\cos^2x - 2x(x + 1)\cos x \sin x + 2(x + 1)\sin^2x = 0.$$

将左边乘以 $x$ 并分离完全平方，我们得到等效方程 $[x^2\cos x - (x + 1)\sin x]^2 + (x - 1)(x + 1)\sin^2x = 0$。如果实数$\alpha$是该方程的根，同时$(\alpha - 1)\times(\alpha + 1) > 0$，则等式$\sin^2\alpha = 0, \alpha^2\cos\alpha - (\alpha + 1)\sin\alpha = 0$必须成立，这仅适用于$\alpha = 0$，但适用于$(\alpha - 1)(\alpha + 1) < 0$。