Как проверить ответ

50

КАК ПРОВЕРИТЬ ОТВЕТ

Наверное, у каждой после, казалось бы, исчерпывающего решения задачи иногда возникает ошибение, будто что-то здесь все-tаки не так. Подобное состояние особенно естественно, если задача принципиально новая или если решение было громоздким. Как следует поступать в таком случае? Как убедиться хотя бы в том, что ответ не является завершом неверным? Самый естественный способ самопроверки в подобной ситуации — исследование ответа. Заметим сразу, что для этого не существует универсальной схемы. Можно лишь выделить несколько сравнительно часто встречающийся случаев.

Позному наш рассказ построен следующим образом. Прежде всего сформулированы четые задачи. К каждой задаче дано по три ответа, два из которых неверны. Постараемся, не решая задачи, определить, какой из ответов правильный. В конце статьи приведены решения.

Задача 1. Автомобиль проехал первично положину пути со скоростью $v_1$, а вторую — со скоростью $v_2$. Чему равна средняя скорость движения автоматically?

Омьемы:

1. $v_{cp} = \frac{v_1 + v_2}{2v_1v_2}$.
2. $v_{cp} = v_1 + \frac{v_1v_2}{2(v_1 + v_2)}$.
3. $v_{cp} = 2\frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}$.

Первая проверка, которую должен пройти ответ, — это его размерность. Очевидно, что в случае 1) дело обстоит неблагополучно именно в этом отношении. Ответ имеет размерность обратной скорости $\left(\frac{cek}{cm}\right)$. Покажем, что неверен и второй ответ. Постараемся понять, в чем дело. Для этого перечنا-

Рис. 1.

таем еще раз условия задачи. Легко видеть, что по отношению к поставленному вопросу скорости $v_1$ и $v_2$ равноправны, то есть несущенное, какую именно положину пути автоматically со скоростью $v_1$, а какую со скоростью $v_2$. Это означает, что при замене $v_1$ на $v_2$, а $v_2$ на $v_1$ ответ не должен изменяться. В таком случае говорят о симметричной относительно $v_1$ и $v_2$. Проделав указанную замену во втором ответе, получаем

$v_{cp} = v_2 + \frac{v_1v_2}{2(v_1 + v_2)} \neq v_1 + \frac{v_1v_2}{2(v_1 + v_2)}$.

Таким образом, правильным является третьий ответ.

Задача 2. Два груза с массами $m_1$ и $m_2$ подвешены на нити, перекиниют через блок (рис. 1). Считая

51

ниты и блок невесомыми и пренебрега тренем, определять ускорение грузов $a_1$ и $a_2$ и натяжение нити $T$.

Ответы:

1. $a_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$;
   $a_2 = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$; $T = 2 \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
2. $a_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1} g$; $a_2 = \frac{m_1 - m_2}{m_1} g$;
   $T = 2 \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} g$.
3. $a_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g$; $a_2 = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g$;
   $T = (m_1 + m_2) g$.

Положительным мы считаем направление, обозначенное на рисунке стрелкой.

Как и в предыдущей задаче, прежде всего проверим размерность. Нетрудно убедиться, что во всех трех случайх правая и левая части каждой формулы имеют одинаковую размерность. После этого можно идти дальше. Обратите внимание на то, что если грузы $m_1$ и $m_2$ поменять местами, то натяжение нити не изменится, то есть выражение для силы натяжения должно быть симметрично относительно $m_1$ и $m_2$. Все ответы выдерживают и эту проверку.

Нетрудно увидеть, что во втором случае допущена ошибка. Действительно, ведь грузы $m_1$ и $m_2$ висят на одной нити. Значит, если масса $m_1$ движется с ускорением $a_1$, то масса $m_2$ должна двигаться с ускорением $-a_1$ (kinematическая связь), что не выполняется во втором ответе.

Итак, нам осталось сделать выбор между первым и третьим результатами. Они отличаются лишь формулой для величины натяжения нити. Будем рассуждать так: пусть какая-либо масса, например $m_1$, равна нулю. Совершенно очевидно, что в этом случае второй груз свободно падает, и нить не натянута. Этот же результат, конечно, должен получить получаться и из

52

3. $h = \cos^2 \alpha \frac{(Mv)^2}{2g(m+M)^2}$;

$Q = \frac{mv^2}{2} \frac{m \cos^2 \alpha + M}{M}$.

Первая проверка, как всегда, размерность. Однако не будем спешить. Как это сделать достаточно быстро и просто? Раскроем небольшой секрет: увидеть размерность соответствия гораздо легче, если предварительно преобразовать его следующим образом: из входящих в формулу параметров нужно поставаться виделить безразмерные отношения, причем сделать это так, чтобы оставшаяся размерная комбинация была максимально простой или знакомой.

Именно к таким виду приведен первый ответ. Сделаем подобное преобразование для второго:

$$h = \frac{(mv)^2}{2(m+M)} = \frac{mv^2}{2} \frac{m}{m+M};$$

$$Q = \frac{m^2}{2(m+M)} \left[ \left( \frac{M}{m} \right)^2 + v^2 \cos^2 \alpha \right].$$

Теперь видно, что оба соответствия неверны. В первом случае права часть имеет размерность энергии, а левая — длины. Во втором случае в скобках стоит сумма размерной $v^2 \cos^2 \alpha$ и безразмерной $\left( \frac{M}{m} \right)^2$ величины, чего также быть не должно. С помощью аналогичного преобразования убедитесь в том, что размерность третьего ответа правлена. К сожалению, в отличие от двух предыдущих задач, в условиях отсутствует какая-либо симметрия. Давайте поэтому выделим такое значение какого-либо параметра, при котором ответ оченьiden, и проверим, получается ли он из наших формул. Пусть, например, $\alpha = 0$. Тогда ясно, что шар не сдинится, то есть высота подьема $h$ равна нулю, а все кинетическая энергия получится $\frac{mv^2}{2}$ перешла в телло. Подставив значение $\alpha = 0$ в первый и третьий результаты, получим:

Рис. 3.

1. $h = 0$; $Q = \frac{mv^2}{2}$.

2. $h = \frac{v^2}{2g} \left( \frac{M}{m+M} \right)^2 \neq 0$;

$Q = \frac{mv^2}{2} \frac{m+M}{M} > \frac{mv^2}{2}$.

Таким образом, правильный ответ.

Отметим еще, что для самопроверки можно использовать ситуацию при $m = 0$ или $M \to \infty$. Попробуйте сделать это сами.

Задание 4. Деревянный кубик со стороны $a$, плотность которого $p$, плавает в воде. Каким будет изменение глубины погружения кубика $\Delta h$, если на воду налить слой масла толщиной $l$ (рис. 3)? Плотность воды и масла $\rho_B$ и $\rho_M$ соответственно.

Ответы:

1. $\Delta h = \frac{\rho_M - \rho_B}{\rho} (a - l)$.

2. $\Delta h = \frac{l (\rho_B - \rho_M)}{\rho_B}$.

3. $\Delta h = l \frac{\rho_B + \rho_M}{\rho_M}$.

Сразу видно, что размерность у всех трех ответов правлена, а симметрия в задаче отсутствует.

Попробуем проверить наши ответы на каком-нибудь оченьдином случае. Если $l = 0$ (то есть масло отсутствует), то глубина погружения не должна измениться ($\Delta h = 0$). Ясно, что первый ответ, из которой в

53

случae $l=0$ получается $\Delta h = \frac{\rho_M - \rho_B}{\rho} a$, неверен.

Рассмотрим теперь другую возможность ситuation. Допустим, что плотность масла равна плотности воды. Очевидно, что и в этом случае глубина погружения кубика не изменится. Третий ответ, как легко заметить, этому условию не удовлетворяет. Таким образом, правильным является второй ответ.

Тепер, пожалуй, пора подвести некоторые итоги. Как же исследовать ответ?

Мы уже видели, что прежде всего надо убедиться в правильной размерности. Делать это лучше всего в буквенном виде, выделяя соответствующее безразмерные и размерные компонии.

Следующий шаг состоит в изучении симметрины задачи. Если в условие какие-либо параметры входят равноправно, то и в ответ они должны входить равноправным образом (симметрично). Иного симметрию задачи легче обнаружить по виду самого ответа. Что имеет в виду? Представьте себе, что исследуемый ответ симметричен относительно каких-то однотипных параметров (например, две массы, две скорости и так далее). Тогда нужно проверить, обладает ли этой же симметрией условия задачи. Если нет, то ответ неверен.

Другой удобный способ проверки состоит в следующем: полученный результат зависит от параметров задачи (например, от массы, начальной скорости, угла, емкости, …). Постараемся, изменяя какой-либо параметр $x$, свести задачу к известной или к такой, ответ которого очень виден. Допустим, что это нам удалось и мы знаем правильный ответ при $x = x_0$. Тогда проверка состоит в сравнинии этого результата с нашим при $x = x_0$. Заметим, что чаще всего приходится прибегать именно к этому способу проверки. Но для того, чтобы успешно его применять, нужно хорошо понять физическую сторону задачи,

Рис. 4.

Приведем теперь подробное решение предложенных задач.

Задание 1. Средняя скорость $v_{cp}$ равна $\frac{S}{t}$, где $S$ — путь, а $t$ — время, за которым этот путь пройден.

$$t = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1v_2}.$$

Подставляя это выражение для $t$ в формулу для $v_{cp}$, получаем

$$v_{cp} = \frac{S \cdot 2v_1v_2}{S(v_1 + v_2)} = 2 \frac{v_1v_2}{v_1 + v_2}.$$

Задание 2. Вследствие того, что нить нерастяжима и не весом, $a_2 = -a_1 = a$ (киnemатическая связь) и натяжение нити всюду одно и то же (рис. 4). Запишем уравнение движения группы:

$$-m_1a = m_1g - T$$ и $$m_2a = m_2g - T.$$

Решая эту систему относительно $a$ и $T$, найдем

$$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} g,$$

Темперация в системе шар — пуля закон сохранен.

54

Рис. 5.

ния импульса (количество движения), получим $mv \sin \alpha = (M+m) v'$, где $v'$ — скорость пули и шара сразу после попадания пули в шар (рис. 5).

Из закона сохранения механической энергии следует, что

$$\frac{(M+m) v'^2}{2} = (M+m) gh,$$

откуда

$$h = \frac{v^2}{2g} \sin^2 \alpha \left( \frac{m}{M+m} \right)^2.$$

Количество выделившегося тепла равно разности начальной кинетической энергии пули и кинетической энергии шара с пуляй после попадания пули в шар:

$$Q = \frac{mv^2}{2} - \frac{(m+M) v'^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \frac{m \cos^2 \alpha + M}{m+M}.$$

Задание 4. На кубик, погруженный в воду и масло, действует выталкивающая сила $F = \rho_M g l a^2 + \rho_B g x a^2$ (рис. 6). Эта сила должна быть равна силе тяжести, действующей на кубик: $P = \rho g a^3$. Приравняв эти два соотношения, получаем $\rho_a = \rho_M l + \rho_B x$, откуда глубина погружения $h_1 = x + l = \frac{\rho a}{\rho_B} - \frac{l \rho_M}{\rho_B} + l$. Если масло отсутствует

Рис. 6.

$(l=0)$, то глубина погружения равна $h_0 = a \frac{\rho}{\rho_B}$. Таким образом, изменение глубины погружения равно

$$\Delta h = h_1 - h_0 = l - l \frac{\rho_M}{\rho_B} = \frac{\rho_B - \rho_M}{\rho_B} l.$$

Попробуйте теперь самостоятельное разобраться, какой из ответов правильный в следующих задачах.

1. Человек массы $m$ находится на носу лодки, которая стоит на воде. Длина лодки $L$, масса $M$. Человек переходит на корму. На какое расстояние $l$ и $b$ переместятся лодка и человек относительно берега?

Ответы:

1. $l = \frac{L}{m+M}$, $b = \frac{LM}{m(M+m)}$;

2. $l = \frac{m}{m+M} L$, $b = \frac{M}{M+m} L$;

3. $l = \frac{M}{m+M} L$, $b = \frac{m}{m+M} L$.

2. Шар радиуса $R$ и массы $m$ стоит перед ступенкой высоты $h$ (рис. 7). Какую минимальную горизонтальную силу нужно приложить к центру шара, чтобы он поднялся на ступенку?

Ответы:

1. $F \geqslant mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}$;

2. $F \geqslant mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R}$;

3. $F \geqslant mg \frac{2R-h}{R-h}$.

56

К задаче «Помогите художнику!»

Ответ: 40 способов. С использованием черного цвета 16 способов.

Действительно, мы можем нарисовать линию белого цвета на черном фоне или линию черного цвета на белом фоне и в каждом из этих способов подкрасить весь рисунок (или линию, и фон) любой из 8 комбинаций оставшихся цветов (3 основных цвета, каждый либо входит, либо нет, $2^3=8$).

В остальных способах линия и фон должны отличатьсяровно на одном основной цвете (что бы не было двух линей).

Получаем 24 способа. Это можно доказать, например, так. Выберем тот основной цвет $X$, на котором отличается линия и фон; нарисуем белую линию на фоне $X$ или линию цвета $X$ на белом фоне (поскольку основных цветов, кроме черного, три, такой рисунок можно сделать 6 способами). Существует четыре цвета, не содержащих цвета $X$, а именно: белый, два других основных цвета и один смещанный. Любым из них можно покрыть весь рисунок. Это дает еще $3 \cdot 2 \cdot 4=24$ способа. А всего 40 способов.

Проверьте, что на обложке переходы цветов от центра концентрических кругов к краю проискодятровно на одном основном цвете.

К статье «Ещеразобувеннаяниях с параметрами»

1. a) Если $a=b=0$, то $x$ — любое действительное число, отличное от 0 и 2;

если $a=\pm b \neq 0$, то решений нет;

если $a=\pm 3b$, то $x=\frac{1}{2}$;

если $a \neq \pm b$, $\pm 3b$, то $x_1=\frac{a+b}{a-b}$, $x_2=\frac{a-b}{a+b}$.

6. Если $a \leq b$, то решений нет;

если $a>b$, то $x_1=a$, $x_2=b$.

b) Если $b=0$, то при любых $a$ решений нет;

если $a=0$, $b \neq 0$, то $x$ — любое число, кроме целых чисел, имеющих вид $n\frac{a}{b}$ ($n=0; \pm 1; \dots$).

2. Если $a=b=1$, то решением служит любая пара $(x, y)$, где $x>0, y>0$;

если $0<a=b \neq 1$, то решением служит любая пара $(x, y)$, где $x=y>0$;

если $ab=1, a \neq 1, a>0$, то решением служит любая пара $(x, y)$, где $x>0, y=\frac{1}{x}$;

если $a \leq 0, b$ — любое число или $b \leq 0$, $a$ — любое, то решений нет;

при остальных значениях $(a, b)$ имеем $x=\frac{1}{b}, y=\frac{1}{a}$.

К статье «Как проверить ответ»

1. Прежде всего проверим размерность предложенных ответов. Видно, что первый ответ имеет неправильно размерность. Для того чтобы выбрать между вторым и третьим ответами, разберем предельный случай $m=0$. Если $m=0$, то очевидно, что лодка должна оставаться на месте. Это не следует из третьего ответа; поэтому правильного ответа.

2. Из приведенных формул видно, что все они имеют правильную размерность. Ясно также, что в задаче отсутствует симметрия. Поэтому рассмотрим случай $h=0$ и $h=R$. Если $h=0$, то минимальная сила равна 0. Подставив это значение в исследуемые формулы, для третього случай получаем $F \geq 2mg \neq 0$. Если $h=R$, то никакая скольудно большая сила, приложенная к центру, не поднимет шар (рис. 1). Этоу условию удовлетворяет.

57

воряет лишь первый ответ, который и является правильным. И действительно, при $h \rightarrow R$
$$F_{\min} = mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h} \rightarrow \infty.$$

3. Как и в предыдущем случае, размерность ответов правильная. Поэтому будем рассудать следующим образом. Если $a=0$, то действующая на тело сила равна его весу. Тогда очевидно, что третьий ответ неверен, т.к. $F(a=0)=0$. Если же тело свободно падает, $a=-g$ и действующая на него сила равна 0 (невесомость). Этом условию удовлетворяет первый ответ.

4. Видно, что все три ответа выдерживают проверку на размерность и задача симметрина относительно $F_1$ и $F_2$. Проверите, что при замене $F_1 \rightarrow F_2$ и $F_2 \rightarrow F_1$ ответы переходят сами в себя.

Рассмотрим случай одинаковых линз. Ясно, что он ничем не выделен. Однако для этого случая в третьем ответе получается бесконечно большое фокусное расстояние. Тем самым, третьий результат явно неправильный. Если бы одна линза была просто плоскопаралельной пластинкой ($\phi$окусное расстояние плоскопаралельной пластинки $F_{\pi\pi}=\infty$, так как паралельный пучок лучей остается паралельным, то есть собирается в бесконечности), то система фактически составляет бы из одной линзы. Проверим, следует ли это из наших формул: при $F_1 \rightarrow \infty$ мы должны получить, что $F \rightarrow F_2$. Это соответствие действительно получается для второго ответа и неправедливо для первого, то есть правильным является второй ответ.

5. Видно, что размерность всех трех ответов верна. Поэтому того, чтобы найти, какой из ответов правлен, рассмотрим следующие случаи: пусть заряды шаров равны, но противоположны по знаку: $q_1=-q_2$. Очевидно, что тогда после соединения шаров просто разрядятся, то есть их заряды и потенциальы должны обратиться в 0. Этоусловию удовлетворяют лишь второй и третьий ответы. Для того чтобы выбрать из них правильный, рассмотрим случай, когда шары одинаковые: $R_1=R_2$. Ясно, что он ничем не выделен. С другой стороны, во втором ответе величины зарядов и потенциаль в этом случае обращаются в бесконечность. Таким образом, правильным является третьий ответ.

Приведем теперь подробное решение задач.

1. Количество движения замкнутой системы не меняется, а ее центр масс остается в покое. Поэтому центр масс системы человека — лодка в системе координат, связанной с водой, не изменяется при движении человека. Начало отсчета выберем в центре масс. Тогда ясно, что (рис. 2) $l=2y$ и $b=2x$.

Для $x$ и $y$ имеем систему уравнений

$$\begin{cases} x+y=\frac{L}{2}, \\ mx=My, \end{cases}$$

Рис. 2.

откуда получаем

$$x=\frac{L}{2} \frac{M}{m+M}, \quad y=\frac{L}{2} \frac{m}{m+M},$$

а $l=L \frac{m}{m+M}, \quad b=L \frac{M}{m+M}.$

2. Минимальную горизонтальную силу $F_1$ найдем, приравняв моменты силы $F$ и силы $P=mg$ относительно точки 0. Это дает

$$F(R-h) \geq P \sqrt{R^2-(R-h)^2},$$

$$F \geq mg \frac{\sqrt{h(2R-h)}}{R-h}.$$

3. Будем считать, чтоускорение положительное, если оно направлено вверх. Тогда, в соответствии со вторым законом Ньютона, имеем $ma=F-mg$, откуда $F=m(g+a)$.

4. Пучок лучей, выходящих из фокуса первой линзы, после прохождения не становится паралельным. Пройдя вторую линзу, этот пучок собирается в ее фокусе. Считая, что система эквивалентна линзе с фокусным расстоянием $F$, мы можем записать

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}.$$

Отсюда

$$F=\frac{F_1F_2}{F_1+F_2}.$$

5. После соединения оба шара имеют один и тот же потенциаль ф. Из определения емкости имеем $c_1=\frac{q'_1}{\varphi}$ и $c_2=\frac{q'_2}{\varphi}$; с учетом указания к заданче отсюда следует, что

$$\frac{q'_2}{R_2}=\frac{q'_1}{R_1}.$$

58

С другой стороны, $q'_1 + q'_2 = q_1 + q_2$ (законсоранення заряда). Таким образом, для определения $q'_1, q'_2$ и ф получается система уравнений

$$\begin{cases} q'_1 + q'_2 = q_1 + q_2, \\ \frac{q'_1}{R_1} = \frac{q'_2}{R_2}, \\ \varphi = \frac{q'_1}{c_1}. \end{cases}$$

Решая ее, получим

$$q'_1 = \frac{(q_1 + q_2)R_1}{R_1 + R_2}; \quad q'_2 = \frac{(q_1 + q_2)R_2}{R_1 + R_2};$$

$$\varphi = \frac{q_1 + q_2}{R_1 + R_2}.$$

Разбор «Случая с методом математической индукции» (см. «Квант» № 7, стр. 37)

Положим

$$P_n = \frac{1 \cdot 3 \dots (2n - 1)}{2 \cdot 4 \dots 2n} (n \geqslant 1).$$

Итак, доказывая методом математической индукции неравенства

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

и

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{n}},$$

(Kоля В. столкнулся с любопытным obstructionным, что индуктивный переход «от n к n+1» в случае (1) легко совпадется к проверке соотношения

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{2n+1}{2n+2} \leqslant \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},$$

в то время как в случае (2) аналогичное соотношение

$$\frac{2n+1}{2n+2} \leqslant \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$$

неверно при любом $n \geqslant 1$. При этом само неравенство (2) является очень видным следствием неравенства (1)!

Сначала уясним себе, что форма ного противоречия здесь нет: выполнение соотношения (4) всего лишь достаточно для справедливости (2), но отпудь не необходимо.

Почему же тем не менее так получается?

Рассмотрим графики функции $y = P_x$ и $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ на отрезке от $x=n$ до $x=n+1$ (функция $y = P_x$ определяна только на концах этого отрезка).

Рис. 1.

Ложность соотношения (4) влечет неравенство

$$\frac{P_{n+1}}{P_n} > \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = \frac{A_{n+1}B_{n+1}}{A_nB_n}.$$

Иными словами,лина отрезка $A_nB_n$ при переходе «от n к n+1» убивает быстрее, чем убивает величины $P_n$. И это «плохо».

Можно ли так изменить функцию $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, чтобы скорость этого убивания замедлилась?

Можно. Для этого возьмем, например, функцию $y = \frac{1}{\sqrt{x} + \alpha}$, где $\alpha > 0$. Действительно, нетрудно показать, что

$$\frac{A_{n+1}B'_n+1}{A_nB'_n} = \sqrt{\frac{n+\alpha}{n+1+\alpha}} > \sqrt{\frac{n}{n+1}} = \frac{A_{n+1}B_{n+1}}{A_nB_n}.$$

Коле окзаалось достаточно взять $\alpha = 1$, чтобы это заменение «сравботало»*).

Решим теперь первую задачу: доказать, что

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n}}.$$

Зайемся сразу переходом «от n к n+1». Переход «в лобб» не удается. Поэтому заменим правильную часть более выгодным выражением*

*) Внимательный читатель заметил, наверное, что здесь не обошлось также и без удачи: удача состояния в том, что функция $\frac{1}{\sqrt{x} + \alpha}$ не только убивает медленнее, чем $\frac{1}{\sqrt{x}}$, но и близке не расположена по отношению к $P_x$.

59

и подберем величины $\alpha > 0$ так, чтобы выполнялось соответствие

$$\frac{2n+1}{2n+2} \leq \frac{\sqrt{3,1n+\alpha}}{\sqrt{3,1(n+1)+\alpha}},$$

или

$$\alpha \geq \frac{3,1(n+1)}{4n+3}.$$

Правая часть принимает максимальное значение $\frac{3,1\cdot 2}{7} = 0,885\dots$ при $n=1$ (проверьте). Следовательно, при $\alpha = \alpha_0 = \frac{3,1\cdot 2}{7}$ индуттивный переход сводится к верному соответствию (6).

Остается убедиться, что при $n=1$ вспомогательное неравенство

$$P_n < \frac{1}{\sqrt{3,1n+\alpha_0}}$$

верно. Кстати, а почему этот способ доказательства не проидет в случае коэффициента 3,2?

Вместо доказательства второго неравенства

$$\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} < \frac{1}{4}$$

мы лишь укажем, что для успешных правил часто можно использовать $A - \frac{B}{n^2}$, и предоставим вам самим найти подходящие коэффициенты $A$ и $B$.

Кстаьте «О двух действиях с действительными числами» («Квант» № 8, стр. 55)

1. Применить метод математической индукции.
2. Верны. В силу коммутиативности «сложения» и «умножения» эти соответствия равносильны приведеным в текст формулам (2) и (3).
3. $(a \otimes c) \otimes [(a \oplus b) \otimes c]$. Использовать формул (2) и первую из формул (5).
4. Заданную величины переписать в виде $a \otimes [(a \otimes b) \oplus (a \oplus c)]$. Так как $(a \otimes b) \oplus (a \oplus c) = [a \oplus (a \otimes b)] \oplus c = a \otimes c$ (см. вторую из формул (5)), то, используя еще первый из формул (6), получить окончательное выражение min $(a, -a, -c)$.
5. Равенство привести к виду $a \oplus b = a \otimes c$, то есть max $(a, b) = \min (a, -c)$. Это соответствие может иметь место лишь для таких действительных чисел $a, b, c$, которые удовлетворяют условию $b \leq a \leq -c$.
6. Данное соответствие привести к виду $a \oplus x = b$, или max $(a, x) = b$. Если $a < b$, то $x = b$; если $a = b$, то можно взять любое $x \leq b$;

если $a > b$, то ни одно действительное число требуемый свойством не обладает.

К задачам из конкурсного отдела журнала «Математика» («Квант» № 8, стр. 57)

1. Допустим, что в горode $P$ применится, например, 6 самолетов, выпLETВихих из $A_1, A_2, \dots, A_6$, и представим себе карту государства (рис. 1). Так как расстояние между городами $A_1$ и $A_2$ должно быть больше, чем расстояние от каждой из них до города $P$, то угол $A_1PA_2$ больше 60°. Аналогично углы $A_2PA_3, A_3PA_4, A_4PA_5, A_5PA_6, A_6PA_1$ больше 60°. Но тогда полный угол около точки $P$ будет превозходить 360°, что невозможно.

Рис. 1.

2. Достаточно доказать, что $l_ah_a + l_bh_b + l_ch_c \leq p^2$, где $h_a, h_b, h_c$ — длины высот треугольника. Как известно,лина биссеррисы

$$l_a = \frac{2}{b + c} \sqrt{bcp(p - a)}$$

Используя неравенство $b + c \geq 2\sqrt{bc}$, получим $l_a \leq \sqrt{p(p - a)}$. Аналогично $l_b \leq \sqrt{p(p - b)}$, $l_c \leq \sqrt{p(p - c)}$. Посление три неравенства и легко доказываемые соответствия $h_a \leq l_a, h_b \leq l_b, h_c \leq l_c$ дают $l_ah_a + l_bh_b + l_ch_c \leq l_a^2 + l_b^2 + l_c^2 \leq p(p - a) + p(p - b) + p(p - c) = p^2$.

3. Преобразуем исходное уравнение к виду

$$x^3\cos^2x - 2x(x + 1)\cos x \sin x + 2(x + 1)\sin^2x = 0.$$

Умножаялевую часть на $x$ и выделяя полный квадрат, приdem к эквивалентному уравнению $[x^2\cos x - (x + 1)\sin x]^2 + (x - 1)(x + 1)\sin^2x = 0$. Если действительное число $\alpha$ является корнем этого уравнения и при этом $(\alpha - 1)\times(\alpha + 1) > 0$, то должны выполнять равенства $\sin^2\alpha = 0, \alpha^2\cos\alpha - (\alpha + 1)\sin\alpha = 0$, что возможно лишь при $\alpha = 0$, но тогда $(\alpha - 1)(\alpha + 1) < 0$.