О периоде обращения спутников

О ПЕРИОДЕ ОБРАЩЕНИЯ СПУТНИКОВ

В сентября 1970 года была запущена автоматическая станция «Луна 16». 17 сентября она вышла на окололунную орбиту с периодом 1 час 59 минут (119 минут). Что можно, искоду из этих данных, сказать о Луне?

Вспомним, что когда запускают спутник вокруг Земли, то его период обычно бывают около полутора часов (90 минут). Что можно сказать о Земле?

Оказывается, что из этих данных можно оценить величины плотности Луны и Земли.

Если высота спутника невелика (по сравнению с радиусом небесного тела, вокруг которого он врашает), то можно приближенно считать, что спутник движется около поверхности. Приравняем ускорение силы тяжести к центростремительному ускорению:

$$G \frac{M}{R^2} = \frac{v^2}{R} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R,$$

где $G$ — гравицационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус, $v$ — скорость спутника, $T$ — период его обращения. Дальше запишем массу через радиус:

$$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho,$$

где $\rho$ — средняя плотность.

Подставив в предыдущую формулу это выражение, получим замечательный результат:

$$T = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}}.$$

Отсюда следует, что период обращения низкого спутника зависит только коотпности небесного тела и не зависит от его размеров. Поэтому, зная период, можно определить плотность Луны и Земли. В таблице приведены значения периода и плотности для разных планет солнечной системы.

| Центральное тело | Плотность ($\rho/cm^3$) | Period |
| :— | :— | :— |
| Солнце | 1,42 | 166 |
| Меркурий | 5,61 | 83 |
| Венера | 5,16 | 87 |
| Земля | 5,52 | 84 |
| Луна | 3,36 | 108 |
| Марс | 3,95 | 100 |
| Юпитер | 1,34 | 171 |
| Сатурн | 0,64 | 238 |
| Уран | 1,36 | 170 |
| Нептун | 1,30 | 174 |

Для Земли период равен 84 минутам. В газах сообщают общую несколько большую величины. Это значит, что спутник летит не очень низко. Если обозначить высоту спутника через $h$, то нетрудно получить и точную формулу для круговой орбиты (попробуйте вывести ее сами):

$$T = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}} \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{\frac{3}{2}} \approx T_0 \left(1 + \frac{3h}{2R}\right),$$

где $T_0$ — период низкого спутника (приведенный в таблице), а последнее равенство — приближенное — верное, если $h \ll R$. Можно получить и формулу для эллиптической орбиты, если знать законы Кеплера. О них вы прочитете в «Кванте» № 1 за 1971 год.

Я. А. Смородинский