О трении

15

В чем ошибка Аристотеля

Аристотеля обычно вспоминают, чтобы покритиковать. И то у него неправильно, и это. Особенно достается ему в курсе механики. Ведь хорошо известно, что силе пропорциональноускорение тела, а тело, представленное само себе, движется с постоянной скоростью. А Аристотель утверждал нечто другое: скорость тела пропорциональная действующей на него силе. И если не прикладывать силы, то тело оставится. Правда, наш каждодневный опыт скорее подтверждает утверждение Аристотеля, чем Ньюотона, два закона которого мы формировали выше. Действительно, чтобы тело двигалось, его надо только или тянуть, то есть прикладывать к нему силу, а как только приложенная сила исчезает, тело оставливается. Утверждение Аристотеля, на первый взгляд, лучше согласуется с наблюдаемыми явлениями, чем законы Ньюотона. Поэтому-то так трудно было обратиться с авторитетом Аристотеля.

Согласно между теорией (законами Ньюотона) и экспериментом (наблюдения за движущимся предметами) обнаруживается, если учет силы трения. Когда, как казалось Аристотelo, на тело ничего не действует и поэтому (!) оно оставливается, на него в действительности действует сила трения, которая и тормозит движение.

Трене и атомы

Что же такое сила трения? Какова ее природа? Чаще всего мы вспоминаем о ней, изучая работу механизмов, задумываясь о скольжении санок по снежному насу или лодки по водной поверхности. В общих чертах понять, что присходит при соприкосновении двух тел, пожалей, можно. Их atoms (полозвев и снега или подшипника и обойтимы) взаимодействуют друг с другом *). При движении atoms одного тела пытаются увлечь atoms другого. Если им удается это, то одно из них или оба разрушаются. Мы говорим обчно — страются. Давайте, чтобы не затруднять рассмотрение, пренебрежем странием. При не очень больших скоростях и достагоно твердых деталях это вплоне допустимо. Итак, атомам одного тела не удается увлечь atoms другого тела. Что же все-tаки просходит? Atoms твердого тела (кристалла) располагаются в определенных позициях в положениях равновесия. Правда, термин «располагаются» несколько условий, так как atoms все время находятся в движении: они совершают малые колбания околоположений равновесия. Интенсивность этих колбаний определяется температурой. чем больше температура, чем больше энергия и амплитуда колбаний atomов. Atoms кристалла взаимодействуют друг с другом. Изменение движения atomов

*) Несолько туманное слово «взанмодействуют» означает, что atoms либо пригитаются друг к другу, либо отталкиваются. В действительности, и пригитаются, и отталкиваются. Вдали — пригитаются, а вблизи — отталкиваются. Над только помнить, что масштабы в мире atomов — это ангстремы (1А°=10⁻⁸см). «Вдали» означает расстояние много большие 1А, вблизи — порядка 1А. При соприкосновении atoms разных тел находятся друг от друга на расстояниях, значительно превышает 1А.

16

Рис. 1.

ма или группы атомов передается соседним…

Когда одно тело движется относительно другого, касаясь его, атомы этих тел «цепляют» и раскачивают друг друга. Если не бояться вульгаризация, то этот процесс можно представить себе так: человек бежитимо висящих рядом мятников и раскачивает их. Или еще лучше: мятники связаны между собой. Качнув один или несколько, заставляют движаться все остальные (рис. 1).

Колебания атомов, расположенных на поверхности тела, передаются атомам, расположенным в глубине. Передача энергии от поверхности в глубину тела — сложный процесс, не до конца прослеженный до сих пор (хотя общее черты его поняты). Пути передачи энергии существенно зависит от того, что представляется собой твердое тело. Например, в металлическом могут уносить электроны. Но, каков бы ни был путь отвода энергии от поверхности, в конечном

17

счете тренне одного тела о друге приводит к повышению температуры. Кроме того, в процессе трення происходит изменение структуры трушихся поверхностей. Их необходимо учитывать при желании понять все явления, сопровождающие тренне *). Однако, пока мы не пытаемся построить количественную теорию, нам не очень важно точно знать, что процесс в твердом теле. Существно понять: энергия движущегося тела частично траится на возбужdenе движения atomных частиц, из которых состоит твердые тела.

Можно сказать, что трупические тела «работают», только работа эта делается впустую — энергия траится на нагрев тела, которое чаще всего приходит искусственно охлаждать (человек каменного века, привыкший добавить огонь треннем, не согласился бы с нами).

Чем больше взаимная скорость тел, тем больше энергии расходуется на раскачку atomов, значит, тем больше работу производят тела. С другой стороны, известно, что работа в единицу времени (мощность) равна силе, умноженной на скорость. Эта силе и есть сила трення.

Мы весна формально «ввели» силу трення. Правда, попытались разъяснить ее природу.

Можно поступить и несколько иначе. Выяснить, какое количество импульса (количество движения) траят движущеся тело в единицу времени на возбужdenе колебаний atomов. Согласно закону Ньютона изменение импульса тела в единицу времени равно действующей на него силе. Это дает нам возможность определить силу трення. Конечно, оба определения приводят к одному и тому же значению силы.

Сила трення характеризует взаимодействие между макросоппескими телами, и, хотя тренне — результ*

*) Проблемой трення заняты коллективы ученых, которые приводятся привлекать самые современные методы исследования и последние представления о движении atomных частиц в твердых телах.

тат взаимодействия отдельных atomных частиц, сила трення разительно отличается от сил, которые действуют между atomами и молекулами. Действительно, силы, действующие между atomами и молекулами, зависит только от расстояния между ними, а сила трення зависит от относительной скорости тела. Однако сила трення не только этим отличается от сил взаимодействия между микросоппескими телами. Она обладает свойствам, называемых разными словами, смысла которых одинаков:

Необратимость, дисспация, потеря

Под действием силы трення тела всегда теряет энергию, всегда термозится. Это связано с тем, что энергия движения тел при тренни расходуется на возбужdenе движения atomных частиц. Атомов невообразимного (10^23 частиц в 1 см³), движутся они беспорядочно. Переданная им энергия попросту рассеивается ( дисспирается, от французского слова «dissiparer» — рассеивать) между бесчисленными atomами. Новые хозяйа энергии непрерывно обменывают его друг с другом и вовсе «не склонны отдать долг» макросоппескому телу. Описанный процесс есть, конечно, переход к интегической энергии в теплую. Мы видим, что этот процесс необратим.

Плоодворный метод обобщения понятый состоит в том, что одно из основных свойств, присуще данному понятию, принимают за его новое определение. Воспользовемся этим методом для обобщения понятия трення. Важнейшее свойство трення, как мы видели, — это необратимость, связанная с переходом энергии упорядоченного движения в теплую. Прием этого свойства и отныение будем именовать треннем всякий необратимый процесс, сопровождающий переходом энергии упорядоченного движения в теплую. Терьер можно говорить о тренни двух встречных потоков газа — они взаимно термозятся и нагреваются, о

18

тренни твердого тела о газ и т. д.

А сила трения? Она по-прежнему сопровождается процесс трения. В самом деле, в процессе трения энергия упорядоченного движения уменшается, значит, уменшается и его скорость. Иными словами, ускорение направлено в сторону, противоположную скорости тела.

Вспомним второй закон Ньютона. Где есть ускорение, там есть и сила. Эта сила и есть сила трения. Она направлена в сторону, противоположную скорости, она всегда тормозит…

Простой случай

Бывают случай, когда расчет силипреня сравнительно прост и не требует глобкого проникновения в теории твердого тела.

Пусть, например, твердое тело движется через достаточно разреженный газ. Тогда силипреня обусловлена стольновениями atomов газа с поверхностью тела.

Прежде чем приступить к расчету силипреня, рассмотрим отдельный акт стольновения. Частца с импульсом $P$ падает на поверхность тела. Стольновение atomа с поверхностью — сложное событие. Подумаем, что может произойти. Atom может остаться на поверхности (приплпнуть), может глобоко проникнуть в глубь тела, а может и отразиться от поверхности тела. При отражении (нас будет интересовать именно этот силипран, мы дальнейше обьясим почем) тоже возможно различные ситуации. Например,Atom может иннизовать или выбит atom с поверхности, молекула может распасть на составляющие ее atomы и так далее. Короче говоря, возникнет много, но будем считать, что atom просто отразился, как мяч от стенки. Не для упрощения, хотя эта ситуация действительно простейшая, а потому, что в подавляющем большинстве силипев при не слишком быстром движении тела через газ именно это и проинсходит — atomы просто отражаются (отскаки-вают) от поверхности тела ). Большые сложные ситуации (внедрение atomов в твердое тело, низзация и др.), конечно, тоже наблюдаются и подробно исследованы. Каждый из этих процессов происходит с наиболееверятностью при определенной скорости частиц. Например, чем больше скорости частиц, тем больше верятность того, что atom проникнет на сравнительно большую глубину в твердое тело. Чтобы представить себе, о каких скоростях идет речь, отметим: atom кислорода, налетящий на поверхность твердого тела со скоростью $10^7$ см/сек*), пропикает приблизительно на 10—12 atomных расстояний в глубину твердого тела. Средняя скорость $v$ atomов газа с массой $m$, как показывает молекулярно-кипетическая теория газов, равна $\sqrt{\frac{kT}{m}}$, где $T$ — температура в абсолотных единицах, а $k$ — так называемая постоянная Больцмана, равная $1,4 \cdot 10^{-23}$ дж/сек. При $T = 300^\circ$ К ($=27^\circ$ С) средняя скорость atomа кислорода меньше $10^5$ см/сек. Если тело покопится в газе, то средняя скорость стольновейной молекул газа с поверхностью тела приблизительно совпадает со средней тельевой скоростью; если же тело движется, то отличается от нее. Однако в том случае, когда скорость движущегося тела мала по сравнению со средней тельевой скоростью (нкогда не следует проходит миним частных силипев, в которых исследуемый вопрос выглядит проще), скорость стольновейки почти не отличается от теловой, и энергии atomа попросту недостаточно для проникновения в глубину твердого тела.

Хотя мы называли сущей отражения atomов от поверхности твердого тела простейшим, но и он нуждается в появлении…

*) К счастью, очень редко молекулы воды из воздуха приплпают к летящему самому. Иначе описать оледенения возросла бы во много раз.
**) Кинетическая энергия atoma кислорода при этом равна 10 кэв (см. ниже).

22

Рис. 3.
перь мы действительно отошли в сторону от интересушего нас предмета.

Чему же равна сила трения?

Итак, вернемся к расчету силипреня, действующей на тело, движущемся с относительной малой скоростью $u$ через разреженный газ, температура которого $T$. Удобно считать тело покоящимся, а газ движущимся со скоростью $-u$. Выделим на поверхности тела бесконечно малую площадку $^*$ $\Delta S$ (рис. 3). Импульс молекулы газа, столкновейся упруго с телом в точке на видененной площадке, изменится на $2P_n$, где $P_n$ — проекция импульса молекулы на нормаль к поверхности тела. Это означает, что молекula газа при столкновении с телом отдает ему импульс, равный $2P_n$. Теперь наша задача — подсчитать полный импульс, передаваемый газом телу в единицу времени. Изменение импульса в единицу времени и есть сила (в данном случае действующая со стороны газа на тело). Для вычисления полного передаваемого импульса надо, во-первых, учеть все молекулы, падающие в единицу времени на данную площадку, и во-вторых, просуммировать по всем площадкам.

*) См. по поводу «бесконечно малой площадки» статью Н. Я. Виленкина «Тайны бесконечности» («Квант» № 3, 1970).

Подобная операция продельвалась в статье Я. А. Смородинского «Идеальный газ» («Квант» № 10). Здесь мы воспользуемся готовыми результатами. Давление газа на покоящуюся стенку равно $1/3$ nmv², где $n$ — число молекул газа в единице объема, $m$ — масса молекулы и $v^2$ — среднее арифметическое от квадратов скоростей молекул. Если тело поконтся ($u = 0$), число ударов справа и слева в среднем одинаково, и поэтому телу никакой импульс не передается. При $u \neq 0$ это не так. Пусть тело движется. В этом случае скорость молекул, налетаются спереди, на $u$ больше, а скорость молекул, налетаются задии, на $u$ меньше. Поэтому на участок $\Delta S$ движущейся плоскости действует сила

$$F = (P_{\text{спереди}} - P_{\text{задди}}) \Delta S = \frac{1}{3} nm \Delta S \left[ (v + u)^2 - (v - u)^2 \right] = \frac{2}{3} nmvu \Delta S.$$

Вспоминаная, что $v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ (см. статью «Идеальный газ»), получим

$$F = \frac{2}{3} n \sqrt{3kTm} u \Delta S.$$

Для тела произвольной формы мы должны получить формулу

$$F = \beta Sn \sqrt{mkT} u.$$

Здесь $S$ — площадь поверхности тела, а $\beta$ — численный коэффициент, зависимости от формы тела. Он учитывает, что на один участок молекулы попадают перpendикулярно к поверхности, а на другие — под углом.

Если воспользуемся законом Клапейрона $PV = NkT$ ($N = nV$ — полное число части газа в объеме $V$), то можно выразить силу треня через давление $P$ и температуре $T$ газа:

$$F_{\text{Tp}} = \beta SP \sqrt{\frac{m}{kT}} u.$$

Получился естественный результат: при фиксированных температуре и

23

скорости тела сила трения тем больше, чем больше давление газа.

Вязкость газов

Мы довольно подробно описали, почему при движении тела через газ на него действует сила — сила трения — результат ударов отдельных молекул о поверхности движущегося тела. При этом мы совершенно не интересовались тем, что происходит с газом, с его молекулами после стольновения. Задумаемся ненадолго о судьбе молекул, стольновихся с телом. Ясно, что если бы мы имели возможность изменить скорость всех стольновихся с телом молекул, то убедились бы, что средняя скорость их не равна нулю. Molекуры пусть незначительно, но увлекателься движущемся телом. А если изменить скорость молекул вдали от тела, то (в отсутствие ветра, конечного их средняя скорость равна нулю). Чуть-чуть другими словами: вблизи поверхности движущемся тела имеет упорядоченное движение газа, а вдали от тела его нет. С упорядоченным движением связан неокоторый импульс. Слой газа в поверхности слое чаще стольиваются с движущимся телом, чем остальные молекулы газа. Из-за этого их средний импульс должен был бы возрастать, если бы не было процесса отвода импульса из пограночного слоя.

Понять этот процесс легко. Molекуры газа, улетuoше из погранного слоя, просто уносят с собой излишек импульса. Вдали от тела они «разбазировают» его в многократных стольновениях с другими молекулами или в стольновях с покояшимся телами.

Способность газа переносить имплус из одного места в другое и, главное, необратимо растращать его носит название вззкости. Вязкость и трене неразличны. Вязкость — интересное явление, в котором главную роль играют стольновения между молекулами. Мы имеве пренебрежли при вычислении силы треня, действующего на движущей тела со стороны газа.

Мы при этом ошиблись. Но как? Преувеличили или занизили силу треня? Легко понять, что преувеличили. Действительно, мы считали, что молекула, стольновись с телом, больше никогда к нему не вернется и, следовательно, не будет иметь возможность «вернуть» телу полученный у него имплус. В действительности, если тщательно проследить за многими молекулами, стольновимся с телом, то мы убедимся, что часть из них возвращается к телу (после стольновения с какой-либо из молекул газа), другие отдают прибретенный от тела излишек имплуса своим партнерам по стольновям, а те в свою очередь могут стольнуть с телом. Строго говоря, в результате стольновейной молекул друг с другом происходит частный возврат имплуса тела, а значит, тело теряет меньше имплуса, чем мы считали.

Выведенная здесь формула применима только к очень разреженным газам, у которых среднее растяжение между стольновыми молекул зачительно больше размеров тела. Если вычислять силу треня, действующего на пылини с размерами, не превозходимыми нескольких микрон, под категорию разреженных газов может подойти и наш воздух.