Ещё раз об уравнениях с параметрами

46

ЕЩЕ РАЗ ОБ УРАВНЕНИЯХ
С ПАРАМЕТРАМИ

Вы уже не раз встречались с уравнениями и неравенствами, содержащими один параметр. А если параметров больше, чем один? Естественно ожидать, что больше станет и число возможных случаев, подлежащих рассмотрению. Ни один из возможных вариантов не должен быть пропущен. Как это сделать? Единого метода, годного для любых уравнений и неравенств с параметрами, нет. В этой статье мы на примерах показем, как решаются уравнения с двумя параметрами.

Общий вид уравнения относительно $x$ с двумя параметрами $a, b$ таков:

$$F(x; a; b) = 0.$$

(1)

Уравнение (1) при заданной функции $F$ — это, по сути дела, бесчисленное множество уравнений, каждое из которых определяется упорядоченной парой чисел $(a; b)$.

Как известно, такую упорядоченную пару можно интерпретировать как точку на координатной плоскости. Это дает возможность установить взаимно однозначное соответствие между уравнениями вида (1) при заданной функции $F$ и точками плоскости.

Для этого введем систему координат $aOb$ и условимся какдому уравнение вида (1) ставить в соответствие точку плоскости $aOb$ с координатами $(a; b)$, и наборот. Извorem эту плоскость плоскостью параметров. Такое соответствие несколько необъчно (уравнение соответствует точке), но оно поможет нам в каждом конкретном случае найти представить себе множество допустимых значений параметров и не пропустить ни одного случая: какдой точке плоскости параметров соответствует уравнение вида (1) и должны соответствовать определенный ответ.

Пример 1. Решить уравнение

$$\frac{2a + b}{a + x} - \frac{2a - b}{a - x} = \frac{2a}{b}$$

(2)

Решение. Заметим сразу, что при $b = 0$ уравнение (2) не имеет смысла, то есть для любой пары чисел вида $(a; 0)$, где $a$ — любое действительное число, решей нет (красная линия на рисунке 1).

Пусть $b \neq 0$. Найдем ОДЗ: $x \neq \pm a$, освободимся от знаменателя и приведем подобные члены. Получим

$$a(x^2 - 2bx + b^2 - a^2) = 0.$$

(3)

Если $a = 0$, то уравнение (3) имеет свои решения любые значения $x$. Из них для уравнения (2) запрещены значения $x = \pm a$, то есть $x = 0$.

Таким образом, для любой пары чисел вида $(0; b)$, где $b \neq 0$, уравнение (2) имеет свои решения любые числа, кроме 0 (зеленая линия). Пусть теперь $a \neq 0$. Решив уравнение $x^2 - 2bx + b^2 - a^2 = 0$, получаем $x_1 = b + a$, $x_2 = b - a$.

*) В виде (1) это уравнение таково: $$\frac{2a + b}{a + x} - \frac{2a - b}{a - x} - \frac{2a}{b} = 0.$$

47

Можно ли считать, что при любых $a, b$, отличных от нуля, найденные значения $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения (2)? Нет, либо может оказаться так, что при некоторых значениях параметров $x_1$ или $x_2$ совпадет с запрещенными значениями $\pm a$.

Итак, осталось выяснить, когда $x_1 = \pm a$ или $x_2 = \pm a$. Если $x_1 = a$ или $x_2 = -a$, то $b = 0$, но мы рассматрииваем случай $b \neq 0$. Значит, $x_1 \neq a$, $x_2 \neq -a$.

Пусть $x_1 = -a$, то есть $b + a = -a$, откуда $b = -2a$. Но тогда $x_2 = -3a$. Таким образом, если параметры $a$ и $b$ таковы, что $b = -2a$, то уравнение (2) имеет единственный корень $x = -3a$ (голубая линия на рисунке 1). Пусть $x_2 = a$, то есть $b - a = a$. Это возможно при $b = 2a$.

Но тогда $x_1 = 3a$. Таким образом, если параметры $a$ и $b$ таковы, что $b = 2a$, то уравнение (2) имеет единственный корень $x = 3a$ (желтая линия).

Подводя итоги, получим следующий ответ:

если $b = 0$, $a$ — любое действительное число, то решений нет;
если $b \neq 0$, $a = 0$, то $x$ — любое действительное число, отличное от нуля;
если $b = -2a$, $b \neq 0$, то $x = -3a$;
если $b = 2a$, $b \neq 0$, то $x = 3a$;
если $a, b \neq 0$, $b \neq \pm 2a$, то $x_1 = b + a$, $x_2 = b - a$.

Пример 2*). Решить уравнение

$$\sqrt{a^2 - x} + \sqrt{b^2 - x} = a + b.$$

(4)

Решение. ОДЗ определяется системой неравенств

$$x \leq a^2, \quad x \leq b^2, \quad \text{или } x \leq \min\{a^2; b^2\}.$$

Левая часть уравнения (4) неотрицательна, а потому при $a + b < 0$ данное уравнение не может иметь решений. На рисунке 2 это отмечено тем, что получилось под прямой $b = -a$ окрашена в розовый цвет.

Рассмотрим теперь случай $a + b \geq 0$. После оценных преобразований получим

$$x(a + b)^2 = 0$$

(5)

Рассмотрим два случая:

I слуа́й: $a + b > 0$. Тогда $x = 0$. При этом условия $x \leq a^2$ и $x \leq b^2$ выполняются автоматически, чего нельзя сказать про условие $x \geq -ab$. Если $ab > 0$, то это условие, оченьindo, выполняено. Если же $ab < 0$, то $-ab > 0$ и $x = 0 < -ab$. Поэтому на рисунке 2 в зонах II и III (где $a + b > 0$, но $ab < 0$) решений нет. Таким образом, $x = 0$ является корнем

*) Этот пример взят из книги Н. П. Антонов и др. «Сборник задач по элементарной математике» (М., «Наука», 1969), где он решен неверно.

48

Рис. 2.

Уравнение (4), только если $a + b > 0$ и $ab \geq 0$, то есть для точек первого четыртин плоскости параметров, включая и точки ее границы (зона $I$ на рисунке 2).

П случай: $a + b = 0$. В этом случае уравнение (5) обращается в точдество $x \cdot 0 = 0$, но это вовсе не означает, что любое действительное число является корнем исходного уравнения (4) (объясните сами, почему так).

При $a + b = 0$ последовательно находим $b = -a$, $b^2 = a^2$, и уравнение (4) принимает вид $2\sqrt{a^2 - x} = 0$, откуда $x = a^2 = b^2$, и все условия при этом, очевидно, выполнены. На рисунке 2 этот ответ указаан около синей прямой $b = -a$.

Объединяя все полученные результаты, получаем ответ:
если $a + b > 0$ и $ab \geq 0$, то $x = 0$;
если $a + b = 0$, то $x = a^2$;
если $a + b < 0$ или $a + b > 0$ и $ab < 0$, то решений нет.

Пример 3. Решить систему уравнений

$$tg x + tg y = a, \quad x + y = b.$$

Решение. Отметим ОДЗ: $x, y \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ (здесь и далее $k, l, m, n = 0; \pm 1; \ldots$). Преобразуем первое уравнение системы к виду $\frac{\sin(x + y)}{\cos x \cos y} = a$ и далее с учетом того, что $x + y = b$, получим

$$a \cos x \cos y = \sin b.$$

I случай: $a = 0$. Он, естественно, распадается на два варианта: I, a) $a = 0$, $\sin b = 0$; I, 6) $a = 0$, $\sin b \neq 0$.

Если $sin b = 0$, то есть $b = m\pi$, то уравнение (7) удовлетворяет любые пары $(x; y)$, а система (6) — любые пары $(x; y)$, удовлетворяющие следующим условиям:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi; \quad y \neq \frac{\pi}{2} + n\pi; \quad x + y = b.$$

Если $sin b \neq 0$, то есть $b \neq m\pi$, то уравнение (7), а вместе с ним и система (6) не имеет решения.

II случай: $a \neq 0$. Тогда уравнение (7) преобразуется к виду

$$\cos x \cos y = \frac{\sin b}{a} \text{ и, далее,}$$

$$\cos (x + y) + \cos (x - y) = \frac{2 \sin b}{a}.$$

Если снова учесть, что $x + y = b$, то уравнение (8) можно переписать так:

$$\cos (x - y) = \frac{2 \sin b}{a} - \cos b.$$

49

Дальнейшие расчужения зависит от оценки правой части уравнения (9) :
если $\left| \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right| > 1$, то уравнение (9), а с ним и система (6) не имеет решения; если же $\left| \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right| \leq 1$, то
$$x - y = \pm \arccos \left( \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right) + 2k\pi.$$
Решив последнее уравнение в системе с уравнением $x + y = b$, получаем
$$\begin{cases} x = \frac{b}{2} \pm \frac{1}{2} \arccos \left( \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right) + k\pi, \\ y = \frac{b}{2} \pm \frac{1}{2} \arccos \left( \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right) - k\pi. \end{cases}$$
Нам остается лишь выяснить, не может ли случайся так, что при некоторых значениях параметров найденные значения $x, y$ совпадут с запрещенными значениями $\frac{\pi}{2} + n\pi$. Нетрудно видеть, что это произойдет в том случае, когда $b \pm \arccos \left( \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right) = \pi + 2l\pi$. Последнее равенство перепишем так: $\pm \arccos \left( \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right) = \pi - b + 2l\pi$, и возьмем от обеих частей косинус. Получим
$$\frac{2 \sin b}{a} - \cos b = -\cos b, \quad \sin b = 0, \quad b = m\pi.$$
Итак, если $b = m\pi$ и $a \neq 0$, то система (6) не будет иметь решения. Объединия все полученные результаты, записем ответ:
если $a = 0, b = m\pi$, то решением системы (6) служит любая пара $(x, y)$ также, что $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad y \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad x + y = b$;
если $a = 0, b \neq m\pi$, или $a \neq 0, b = m\pi$, то решений нет;
если $a \neq 0, b \neq m\pi$, но $\left| \frac{2 \sin b}{a} - \cos b \right| \leq 1$, то решений нет.

Мы ограничились рассмотрением примеров только с двумя параметрами. Дальнейшее уведомление числа параметров, не давая ничего принципиального нового, приводит лишь к уведомлению технических трудностей.

Упражнения

1. Решить следующие уравнения:
2. Решить систему уравнений:

a) $a^2 - \frac{a^2 - b^2}{2x - x^2} = \frac{b^2 (x + 2)}{x - 2}$;
b) $\frac{\sqrt{a - x} - \sqrt{x - b}}{\sqrt{a - x} + \sqrt{x - b}} = \frac{a - b}{a + b - 2x}$;
b) $\frac{\mathrm{tg} ax}{\sin bx} = 0$.