Парадокс С. И. Вавилова

Квант 1971, №2 с. 2, 2, 3 Тег VL0Q

ПАРАДОКС С. И. ВАВИЛОВА

В геометрической оптике часто и плодворно применяется понятие о лучке параллельных световых лучей, имеющим конечное поперечное сечение. Более того, даже в теории такого волнового явления, как интеграция, во многих случаях допустимо использовать этого понятия.

Во многих случаях, но далеко не во всех. В книге «Микроструктура света» известного советского физика С. И. Вавилова разобран весьма поучительный в этом смысле оптической парадокс.

Напомним коротко, как выглядит энергетика интеграционной картины. Интеграция, как мы знаем, есть сложение колебаний. В нашем случае в волнах колебются значения направленностей электрического и магнитного полей. Эти направленности в каждой точке пространства в каждой момент времени определяют энергию электромагнитного поля. Электромагнитная волна переносит энергию, и можно ввести понятие о плотности потока энергии. Так мы называем величины, равную количество энергии поля, протекающей в единицу времени через единицу поверхности.

Каждая волна характеризуется еще и фазой. Если при сложении двух световых лучков разность их фаз остается все время одной и той же, мы говорим, что имеем дело с коректными лучками.

В интеграционной картине, возникший в результате сложения двух коректных лучков, происходитенное perераспределение световой энергии. В светлых полосах энергия больше, чем сумма энергий складываемых лучков; в темных полосах, наоборот, — меньше. Избыток энергии в светлых полосах как раз компенсируется недостатком ее в темных. Полная энергия, распределая по всей интеграционной картине, точно равна сумме энергий двух интеграриующих лучков.

На рисунке 1 показана зависимость плотности потока энергии в интеграционной картине от смесения по экрану, на котором она наблюдается. Картина получена при сложении двух коректных световых лучков равной энергии. Горизон-

Рис. 1.
1 Квант № 2

Рис. 2.

тальная пунктиная линия изобразяет сумму плотностей потоков энергии в складываемых пунктах. Частки кривой, идущие над этой прямой, соответствуют светлым интерференционным полосам, а частки кривой, лежащие под пунктиной прямой, — темным. Суммарная энергия, распределенная в интерференционной картене, изобразяется плоскью под кривой. Эта площадь точно равна площади под пунктиной прямой. Требования строго бухгалтера природы — закона сохранения энергии — выполняются неукоснительно.

Перейдем теперь к парадоксу С. И. Вавилова. Представьте два совершенню одинаковых коректных резко ограниченных световых пункта шириной $a$ , пересекающих под малым углом $\alpha$ . В области $ABCD$ проискодит интерференция (рис. 2).

Для наблюдения интерференционной картины можно установить экран, перpendикулярный плоскости чертежа, проходящий через точки $A$ и $C$ . Интерференционная картина будет состоять из прямолинейных чередушихся светлых и темных полос, заполняющих экран от точки $A$ до точки $C$ (рис. 3).

Распределение плотности потока энергии в интерференционной картене соответствует графику на рисунке 1. Если у общих пучков одинаковые начальные фазы световых колебаний, то разность фаз световых волн первого и второго пучков в точках, лежащих на прямой $BD$ , будет равна нулю. Она соответствует, таким образом, середине центральной светлой полосы. В середине соседней, темной полосы разность фаз должна быть равна $π$ , иными словами, световые колебания в общих пучках должны быть в противофазе. Разность фаз $\Delta φ$ равна разности хода $\Delta L$ обеих волн до данного места, деленной на длину волны и умноженной на $2π$ :

$\Delta φ = 2\pi \frac{\Delta L}{\lambda}.$ (1)

Увеличению длины пучки, проходимого волной, на $\lambda$ соответствует запаздывание фазы на $2π$ . Из формулы (1) следует, что в середине ближайшей к центру интерференционной картены темной полосы $\Delta L$ должна быть равно $\frac{\lambda}{2}$ .

Подсчитаем разность хода в точке $A$ . Параалельный пучок можно рассматривать как поток плоских волн, перpendикулярных направлений световых лучей.

Проведем через точку $D$ (рис. 2) одну из волновых поверхностей (поверхностей равной фазы) первого пучка. На этой волновой поверхности лежат точки $D$ и $A'$ .

Пути, проходимые обомми пучками до точки $D$ , одинаковы. Для того чтобы попасть в точку $A$ , волновая поверхность первого пучка, проходившая через точку $D$ , должна

сместиться на отрезок $A'A$ , а волновая поверхность второго пучка, проходившая ранее также через точку $D$ , должна сместиться на отрезок $DA$ . В результате возникнет разность хода

$\Delta L = DA - AA' = a \left( \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{1}{\tg \alpha} \right) = \frac{2a \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha}.$

(2)

Ясно, что такая же разность хода, но с обратным знаком будет в точке $C$ . Начнем теперь уменшать угол $\alpha$ . При достаточно малом $\alpha$ можно сделать $\Delta L$ равным $\frac{\lambda}{4}$ . Тогда все области $AC$ будет заполнена одной светлой интерференционной полосой. Следовательно, всоду энергия будет превышать сумму энергией двух пересекающихся пучков. Никакой компенсации за счет образования темных полос нет, так как они вообще отсутствуют!

Можно получить и, так сказать, неагативный результат, заставив пересекаться пучки с начальной разностью фаз, равной $\pi$ . Тогда область $AC$ будет заполнена темной интерференционной полосой. В первом случае непонятно, откуда берется дополнительная энергия, во втором — неясно, куда исчезает энергия.

Оба случая явно противоречат закону сохранения энергии. Очевидно, в наших рассуждениях есть какой-то дефект, приводящий к присутствию с одним из основных законов природы. Чтобы понять, в чем здесь дело, запишем формулу (2) для указаного случая, когда $\Delta L = \frac{\lambda}{4}$ , и воспользуемся при этом малостью угла $\alpha$ ( $\sin \alpha \approx \alpha$ для малых $\alpha$ ). Мы показем ниже, что угол $\alpha$ действительно очень мал. Тогда получим

$\frac{\lambda}{4} = \frac{2a \left( \frac{\alpha}{2} \right)^2}{\alpha} = \frac{a\alpha}{2},$

(3)

или

$\alpha = 0,5 \frac{\lambda}{a}.$

(4)

Возьем $a=1$ см, $\lambda=5 \cdot 10^{-5}$ см, тогда $\alpha=2,5 \times 10^{-5}$ радиана. Из (4) мы видим, что непряятности с законом сохранения энергии возникают при угле между пучками порядка относительной длины волны к величины поперечного сечения пучка.

Решение парадокса заклонается в том, что при таких малых углах уже нельзя пользоваться понятным идеальным парадельного пучка конечного сечения.

При любой попытке реализовать такие пучки мы потерпим неудачу. Ограничение размеров пучка былаогдая явление диффракции с необходимостью приводит к превращению его в расходящейся пучок. Угол расхождения пучка определяется как раз формулой (4). При этом, естественно, угол, под которым пересекаются пучки, можно определить лишь с точностью до величины порядка угла расхождения пересекающихся пучков.

Если бы диффракция еще не была открыта, мы на основании закона сохранения энергии и формулы (4) должны были не только договораться о ее существование, но и указать на основную закономерность, управляющую величины диффракционного угла. Это хороший пример того, что закон сохранения в физике всегда может служить надежной путьодной звездой.

Взявальные световые пучки, мы нижогда, конечно, не получим противоречия с законом сохранения энергии. В интерференционных опытах данного типа всегда должно быть сводиться к пространственному перераспределению потока энергии.

Есть, однако, интерференционные эксперименты, где возникот еще более тонкие энергетические парадоксы, но это, как говорится, уже другая история.