Диалог о температуре

12

телло передается от горячего к холодному. Во всех случаях, когда это не происходит, можно найти, где система «разомкнута». Так, в случае холодильника его охлаждение происходит за счет энергии, полученной от электростанции, или, в конечном случае, от остывающего Солнца.

Читатель
Все, что вы говорите, по-моему, совершенно очень видно.

Автор
Я уже предупреждал: источник самых глубоких ией — каждшаяся очень носится за счет энергии, полученной от электростанции, или, в конечном случае, от остывающего Солнца.

Читатель
Все, что вы говорите, по-моему, совершенно очень важно — каждшаяся очень носится за счет энергии, полученной от электростанции, или, в конечном случае, от остывающего Солнца.

Объчно, когда результаты эксперимента противоречат теории, надо исправлять теории. Если же эксперимент противоречит второму началу термодинамики, или ошибку в эксперименте. И всегда находится к так называемому «второму началу термодинамики» («первым началом» называют закон сохранения энергии), или «закону возрастиния энергии».

Объчно, когда результаты эксперимента противоречат теории, надо исправлять теории. И всегда находится к так называемому «второму началу термодинамики» («первым началом» называют закон сохранения энергии), или «закону возрастиния энергии».

Второе начало термодинамики гласит: «В замкнутой системе процессов выравнивание температур». Иначе говоря, теплопереход от горячего тела к холодному. Первое охлаждение, а второе нагревается.

Для того, чтобы ответить энергию более нагретою тела, надо затратить работу. Значит, невозможен не только «вечный двигаатель первогорода», который совершает работу из «ничего», вопроси первому началу термодинамики — закону сохранения энергии. Невозможен также не противоречит этому закону «вечный двигаатель второгорода», который быстро сформировано нами второму началу термодинамики, совершал работу, охлаждал работу, охлаждаю моря, океаны, материалов. Запасы их тепловой энергии практически неисчерпаемые, но — увы — недоступны. Какие собственные процессы могут быть второе начало!

Итак, в замкнутой системе процессов выравнивание температур.

Этот процесс заканчивается, когда температуры тепло-восточные одинаковыми. Тогда наступает состояние равновесия, но не механического, а термодинамического.

Но отicioда немедленно следует вывод о «телловой смерти Вселенной», принадлежащий немецкому ученому Клаузису. Раньше или позже остынет все звезды, во всем мире установится одна и та же температура, любые процессы оказываются невозможными — мир превращится в безжизненную пустую. Все попытки понять, почему этого не произойдет за время существования Вселенной, были бесплатны до появления общей теории относительнойности!

Читатель
А согласно теории относительной температуры не выравнивается?

Автор
Нет, ответ не столь прямолинен. Но для того, чтобы понять, как расправилась общая теория относительнойности с тепловой смерти, надо хотить немного рассказыть об основных понятиях этой теории.

Читатель
А это, скажете вы сейчас, школьник недоступно…

Автор
Наоборот, уверен, что доступно. Считаю, что чем глубже физическая или математическая идея, тем проще ее изложить, не используя никаких специальных знаний.

Читатель
Так рассакжите, пожалуйста, об общей теории относительнойности.

Автор
Это должно быть темой отдельной беседы. Сегодня мы говорим о температуре, и мне было важно показыть, что, размышляя над тем, как термометр изменяет температуре, можно

13

но прийти к теории Эйнштейна; пока-zать, как много проблем и перспективы можно увидеть, читая школьную физiku. Как видите, размышления о температуре оказываются исключительно плодотворными. Что же такое температура?

Читатель
Из того, что вы говорили, я понял, что температура — это то, что выравнивается при контакте двух тел. В школе нам говорили, что температура — это величина, пропорциональная средней кинетической энергии молекул:

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT,$$

где $k \approx 10^{-21} \text{ } \partial x/\partial p \text{ — постоянная Больцмана.}$

Выравнивание температур происходит потому, что при стольновении энергия передается от частиц с большей энергейей к частицам с меньшей энергейей.

Автор
Какова, по-вашему, потенциальная энергия взаимодействия частиц в кристалле при абсолотном нуле температуры?

Читатель
Мы предложаем эту энергию, превращая кристалл в газ. Значит, на каждый atom приходится энергия, равная примерно $kT_k$, где $T_k$ — температура кипения.

Автор
Совершенно правильная оценка. Значит, по-вашему, кристалл, находящийся при абсолотном нуле температуры, может нагреть газ, имеющий температуру ниже температуры кипения кристалла?

Читатель
Нет, конечно. Я имел в виду не полную, а кинетическое энергию, которая тем выше, чем выше температура.

Автор
Хорошо. Расмотрим, например, кусок льда. Над ним, конечно, есть водяной пар. Из-за выравнивания температур у льда и пара при равновесии температуры одинаковы. Значит, одинаковы и средние скорости молекул в паре и кристалле льда.

Читатель (озадачено).

Нет, это что-то страно. Ведь в твором льде молекул почти не подвижны, а вpare носится с огромными скоростями. Я хорошо помню, что при испарении жидкость охлаждается. Есть даже такой способ получения очень низких температур — испарение жидкого геля. Это и понятно. За границы молекулярного принятия в жидкости могут вылетать лишь самые быстрые молекулы. Остационные же медленные соответствуют более низкой температуре.

Автор
Но разве на предодление молекулярного принятия в жидкости не будет истраченча часть энергии? Разве из жидкости в пар молекулы вылетит с той же скоростью, с какой началась свой путь?

Читатель
Понстине, хорошо дело спорить. Я никогда не думал, что в споре на самом делерождается истина! Я, кажется, понял все до конца! Дей-stвитьлено, испарются те молекулы, которые были смыли быстрыми, поэтому вначале жидкость охлаждается. Предодовая принятие, молекулы теряют своего скорость, как пакета, вылетаюшая к Луне. Поэтому газ тоже состоит не из рекордно быстрых молекул и средние скорости молекул в газе и жидкости совпадают. Благодаря испарению установливается общая температура. Если вылетающее—бывшие быстрые молекулы уносятся, как при испарении под откачкой, можно добиться заметного понжения температуры жидкости.

Автор
А как бы со скоростями молекул в кристалле?

Читатель
В кристалле молекулы движутся с теми же средними скоростями, что и в паре над ним, но совершают не свободное поступательное движение, слегка искажаемое редкими столковыми, как в газе, а колеблотся возле стандартных мест в кристаллеческой решетке…

14

Автор
…которые называются узлами решетки. Совершенно верно.
Но я буду продолжать сивать вас. Со временем вы научитесь делать это самостояльно. Графоман цвет подверженный любой своей идее — ученый сначала начинает понски возможных опровержений.
Итак, высказали, что температура определяет среднюю скорость молекул. Это значит, что средние скорости молекул в любых телах, независимо от их состав и состояния (вода, железо, воздуха), при одной и той же температуре одинаковы. А при абсолитном нуле скорости равны нулю. Но как же тогда быть с гелем, который даже при абсолитном нуле температуры остается жидким?
Читатель
Но я читал, что абсолитный нуль недостижим. Кстати, почему?

Автор
Для того чтобы разобраться почем, нужно поговорить об энтропии. Это сильно увеличет нас в сторону. А то, что нуль недостижим, в нашем случае не существует. Приципиально мы можем приблизиться кнему сколько угодно близко. Для нас важно лишь то, что при температуре в несколько градусов Кельвина средняя скорость atomов геля уже слабо зависит от температуры, а при изменении температуры от 1 до 10⁻⁶ градуса практически не меняется, хотя, казалось бы, должно быть уменыштся в тысячу раз.
Читатель
Может быть, это связано с особыми свойствами геля, с его сверхтекучестью?

Автор
Некоторые общество между этим явлениями есть. Однако остався жидким при абсолитном нуле — свойство не только геля. Как вы знаете, хорошо электронроводность металлов обусловлена свободными электронами. Их средняя кинетическая энергия практически не зависит от температуры металла, и если ее резчитать на температуре по нашей формуле $$\frac{mv^2}{2} = \frac{3}{2} kT$$, то мы увидим, что она соответствует температуре 10⁵—10⁶ градусов, то есть температуре внутри звезд!
Читатель
Может быть, не совпадают температуры металла и электронов?
Автор
Нет, в состоянии равновесия температуры, как мы говорили, всегда выравниваются. Дело здесь в другом. То определяние температуры, которое вы дели, правильно — но только в классическом механике. Такая «простая», хорошо всем знакомая иfundamentальная величины, как температура, строго говоря, имеет квантовый характер! Именено в этом связи сверхтекучести геля и того, что он никогда не заменает при atmosферном давлении, — оба эти свойства чисто квантовые. Как видите, в поисках существенного квантовых эффектов не обязательно искать пути в микромир — эти эффекты перед глазами.
К сожалению, в квантовом случае смысл температуры не столь наглуден, как в классическом. Начнем абсолитного нуле температуры и рассмотрим чисто квантовый эффект — определяим кинетическая энергия при абсолитном нуле, то есть величины, в классическом теории равную в точности нуле. Это позволяет нам узнать, все ли вещества остаются твердыми при нульовой температуре, всегда ли способствует затвердеванию увеличение давления и каково состояние вещества в недрах Земли и в глубинах звезд.
Все эти выводы могут быть получены из одного важнейшего квантового закона—приципиа неопределенности.
Читатель
Приципи неопределенности в применении к координате и импульсу частицы я знаю. Koордината и импульс не могут быть точно измерены, так как они не имеют одновременного определенного значения. При измерении им-

15

пульса частцы $p$ и координаты $x$ мы узнаем значения этих величины с некоторыми погрешностями $\Delta p$ и $\Delta x$.
Свойства этих двух величины, что нижним образом нельзя сделать так, чтобы произведение этих погрешностей (иногда говорят «неопределенность») было меньше, чем $\hbar$ — постоянная Планка, деленная на 2π

$$\left( h = \frac{h}{2\pi} \approx 10^{-32} \frac{\partial \hbar}{\partial e_k} \right): \quad \Delta p \Delta x \geq \hbar.$$

Автор
В обежеkte, состоящем из одинаковых атомов, все они тоже действены, и потому их положение нельзя изменить с точностью большей, чем расстояние между ними. Если $\Delta x \sim a$, то каково наменьшее возможное значение импульса?

Читатель
Конецно, $\frac{\hbar}{a}$! Если бы я сказал, что импульс, например, меньше 0,1 $\frac{\hbar}{a}$, то это означает бы изменение его с точностью 0,1 $\frac{\hbar}{a}$, что невозможно!

Автор
Значит, наменьшая возможность кинетическая энергия…

Читатель
…равна $\frac{mv^2}{2} = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$, то есть тем больше, чем меньше масса! Интересно, какой температуре соответствует такая энергия в классической механике? Среднее расстояние между атомами и электронами в металлах $a \approx 10^{-10}$ м, масса электрона $10^{-27}$ e, масса атома гелия $10^{-23}$ e. Из формулы

$$\frac{3}{2} kT = \frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2}$$

мы получим, что для электронов температура равна

$$T = \frac{\hbar^2}{3kma^2} = \frac{10^{-64}}{3 \cdot 1,38 \cdot 10^{-21} \cdot 10^{-30} \cdot 10^{-20}} \approx 2,5 \cdot 10^6 \text{°K}.$$

Большое миллиона градусов! Для гелия мы таким же образом получили бы температур $1^\circ \text{K}$.

Автор
Как раз те цифры, о которых шла речь раныше. Теперь вам уже не трудно выяснить, каким будет вещество при нулевой температуре—твердым или нет. Но сначала подумайте, почему вообще темястенно твердеть при низких темперарах.

Читатель
Очевидно, потому что при низких температурах кинетическая энергия частистя становится малой.

Автор
Что значит малой? По сравнению с чем?

Читатель
По-видимому, по сравнению с потенциальной энергией взаимодействия частиц между собой. Когда потенциальная энергия становится значительно большей кинетической, она заставляет atoms занять определенные места в кристаллической решетке. Поэтому, для того чтобы сказать, каким будет вещество при нулевой температуре, нужно знать, как зависит потенциальная энергия взаимодействия частиц от расстояния между ними.

Теперь мне ясно, что жидкость, не замерзающее при абсолотном нулевом температуре, следует искать среди веществ, обладающих атомами легкими и слабо взаимодействующими,—далее повышенное кинетическое энергия atomов и помещенное потенциальная энергия взаимодействия $U$. Гелий—легчайший инертный газ, atoms которого слабо взаимодействуют друг с другом (как, впрочем, и с другими atomами—в этом и состоит их «инертность»). Очевидно, он удовлетворяет общим условиям.

В случае электронного газа потенциальная энергия взаимодействия соответствует закону Кулона: $U(a) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}$, где $e$ — заряд электрона, равный примерно $1,6 \cdot 10^{-18} \text{K}$, и $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx$

16

$$\approx 9 \cdot 10^9 \frac{m^2}{\kappa}.$$

При $a \approx 10^{-10} m$ минимальная кинетическая энергия электронов

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{\hbar^2}{2ma^2} \approx \frac{10^{-64}}{2 \cdot 9 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-20}} \approx 5 \cdot 10^{-15} \text{ дж}, a$$

$$U(a) \approx \frac{2,6 \cdot 10^{-36} \cdot 9 \cdot 10^9}{10^{-10}} \approx 2,3 \cdot 10^{-16} \text{ дж}.$$

$U(a)$ получается примерно такой же, как минимальная кинетическая энергия электронов! Поэтому электронный газ и не может затвердеть.

Автор

Интересно, что уже из принципи неопределенности следует отсутствие электронов в ядре, размер $R$ которого порядка $10^{-13} \text{ cm}$. Там он должен быть бы иметь скорость $v \geq \frac{\hbar}{mR} \sim 6 \times 10^{11} \frac{m}{\text{сек}}$, то есть в 2000 раз больше скорости света!

Теперь вы можете проследить, что будет проискодить с веществом при $T=0$ по мере роста давления, то есть по мере уменьшения механиного расстояния.

Читатель

Ну да, все определяется соответствием потенциальной и кинетической энергии: $U(a)$ и $\frac{\hbar^2}{2ma^2}$. Если $2ma^2U(a) \gg \hbar^2$, получится кристалл, в обратном случае — жидкость или газ.

Автор

Если вещество скать настолько, чтобы «раздавить» и низковать atoms, то $U(a)$ пропорциональная $\frac{1}{a}$.

Читатель

Поэтому при $a \rightarrow 0$ будет все более газообразным! Давление приводит к плавлению — очень интересно!

Автор

При очень больших давлениях, когда разваливаются ядра, потен-

$$E_2$$

$$E_1$$

$$E_0$$

Рис. 1.

циальная энергия быстро растет с уменьшением $a$, и вещество опять затвердевает. Затем в области сверхвысоких плотностей, соответствующих напрямеру, нейтронным звездам, определяющей становится энергия гравиатционного взаимодействия, и новым может наступить плавление.

Существуют звезды, меняющие свой блеск и имеющие размер около 10 км и массу, сравнимую с массой Солнца. У них твердая кора (плотность ее меняется от $10^6$ до $5 \cdot 10^{13} \text{ e/cm}^3$) и жидкая сердцеина с плотностью $5 \cdot 10^{14} \text{ e/cm}^3$.

Читатель

Все это очень интересно, но я так и не понял, что же такое температура с точки зрения квантовой механики.

Автор

Мы определили пока только минимальную энергию atoma или молекулы. Однако это еще не определят кинетической энергии вещества. Над иметь в виду следует. Согласно законам квантовой механики энергия частицы не может быть любоей. Она может принимать только в полне определенные значения, или, как говоря, частицы могут находиться на определенных энергетических уровнях. Их обычно изобравают в виде расположенных одна над другой горизонтальных линей (рис. 1). Система энергетических уровней — это что-то вроде книжного шкафа с полками. Книги могут стоять на полках, но не между ними.

Читатель

А распределение частиц по полкам-уровням чисто случайное, беспорядочное?

18

науки, но и для техники. В знаментичных квантовых генераторах — лазерах и мазерах — специально создают отрицательную температуру в том именно смыслое, о котором вы говорили, а затем быстро «высвечивают» скопленную энергию.

Читатель
Разве температура определяет распределение частиц по энергетическим уровнем только в квантовой механике?

Автор
Конецно нет. Это верно и в классический механике. Например, распределение по энергиям молекул «классический» идеально газа такое, как показано на рисунке 4. Оно определяется формулой
$$\frac{n}{n_0} = e^{-\frac{E}{kT}}.$$
Здесь $n_0$ — число частиц в том состоянии, с которой мы начинаем отсутствует энергия частицы $E$; $n$ — это число частиц с энергейем $E$; $e = 2,718$ — основание натуральных логарифмов, $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура газа.

Читатель
Если преобразовать эту формулу, продолжарифмов обе части равенства, то она примет вид
$$\ln \frac{n}{n_0} = -\frac{E}{kI}.$$

Рис. 4.

Рис. 5.

Отсюда
$$T = -\frac{E}{k(\ln n - \ln n_0)}.$$

Если к газу подводить энергию, то мы будем повышать его температуру, переводя все больше части с нижних энергетических уровней на верхние. При этом мы можем добиться того, что $n$ становится $n_0$ и $\ln n$ больше $\ln n_0$. Это будет означает, что температура газа отрицательна! Мне кажется, мы пришли к абсурду. Говорить об отрицательной температуре идеального газа, поему, бессмысленно.

Автор
Если мы будем рассматривать только несколько энергетических уровней, то мы можем сделать так, что на верхних из них будет больше молекул газа, чем на нижних. Однако нельзя добиться того, чтобы распределение молекул по энергиям было таким, как показано на рисунке 5: зависимость числа части от энергии экспоненциальная и на достагоно высоких уровних находится больше части, чем на нижних.

Все дело в том, что наш вывод о возможности отрицательных температур справедлив не для любой системы частиц, а только для такой, у

19

которой число энергетических уровней конечное. Ведь обычно в энергюю входит составной частью энергия клиническая, а она может быть сколь годно больше. На квантовом языке это означает, что число энергетических уровней бесконечно велико. Но в таком случае нельзя даже равномерно распределить конечное число частиц по бесконечно большому числу энергетических уровней, не говоря уже о том, чтобы получить отрицательную температуру. Значит, наш расчетная верны для систем, энергия которых не связана с клинической энергейой.

Читатель
Это очень трудно понять. Я что-то никогда не слышал, чтобы кто-то держал в руках или видел тело с отрицательной температурой.

Автор
В этом нет ничего удивительного. В стабильном, равновесном состоянии отрицательная температура невозможна. Состояние с отрицательной температурой — это, как говоря, metastабильное состояние. Возникнув, оно существует обычно недолго (хотя бывают и весма долговечные metastабильные состояния, например стекло, которое в равновесном состоянии — непрозрачный кристалл). Например, когда в рабочем веществе лазера создается отрицательная температура, оно очень быстро переходит в состояние с положительной температурой: частицы с высоких энергетических уровней переходят, как бы «свальваются» на более низкие уровни, а теряемая при этом энергия выделяется в виде лазерного луча.

Читатель
Но я хотел бы вернуть к температуре. Если я правильно вас понял, температура — это понятие, у которого много разных сторон. С одной стороны, температура — это величина, характеризующая состояние тела, замена тела, что при переходе какой-нибудь системы к равновесию она оказывается одинаковой во всех частях системы. С другой стороны, температура связана со средней клинической энергейой частиц, составляющих тело. Наконец, в квантовой механике она выступает как величина, определяющая распределение частиц по энергетическим состоянием. Легко заметить, что во всех трех проявлениях температура самым темным образом связана с другой физической величины — энергейой. Но раньше вы упомянули еще об одной величины, совсем мне незнакомой, — об энтропии. Она тоже имеет отношение к температуре?

Автор
Самое непосредственное. И рассказ о температуре не может быть полным, если не рассказать и об энтропии. Но всегда об энтропии должны занять не менее места, чем та, которая теперь пора закончит.