Квант
Информация

XII Международная математическая олимпиада школьников

Петраков И. С.

Квант 1971, №2с. 54-55Тег 3M2Z

54

ХII МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

С 8 по 22 июля в Будапеште и Кестхели (Венгрия) проходила XII Международная математическая олимпиада. В ней приняли участие команды Австрийи, Англии, Болгарии, Венгрии, Голландии, ГДР, МНР, Польщи, Румынии, Советского Союза, Франции, Чехословакии, Швеции и Югославии. Каждый команда состояла изосьми учащихся.

9 июля наша команда прибила в Будапешт. Вечер 9 и день 10 июля мы знакомились с городом, а 11 июля все участники олимпиады переехали в Кестхель, где 13 и 14 июля и проходили севернования по решению задач.

Как обычно, в каждой из дней совершенной учасники должны были за 4 часа решить по 3 задачи. Тексты этих задач вы найдете в конце заметки. В сколько после каждой задачи указано, какой страной задача была предложена и во сколько очков оценивалось ее решение.

18 июля члены жорни подвели итоги севернований и обсуждили вопросы о месте и порядке проведения следующего олимпиады. Чехословакие руководители сообщили о решении жорни проводости олимпиады в Чехословакии. Внесены были предложения об отдельных изменениях в устabe. В частности, предложается некоторые задачи давать в двух вариантах, из которых учасники могут выбирать тот, который им больше нравится. Также было внесено предложение давать задачи из современной математики: теории групп, алгебраических структур, анализической геометрии, векторной алгебры.

19 июля все команды вернулись в Будапешт, где 21 июля состоялось вручение дипломов победительям и закрытие олимпиады.

Участники Советской команды на XII Международной математической олимпиаде (слева направо): Александр Линецкий, Андрей ХодULEВ, Александр Корлюков, Павел Копылов, И. С. Петраков (зам. руководителя команды), Сергей Семеньков, М. И. Серов (руководитель команды), Алексей Александров, Велло Альтлейс, Аркадий Климов.

По итогам олимпиады было присуждено 7 дипломов первого степени, 11 второй и 40 третьей.

Дипломы I степени присудили учасникам, набравшим от 37 до 40 очков. 40 очков набрали Андрей ХодULEВ (СССР, школа-интегриат при МГУ; из Калинина), Волфеане Бурмайстер (ГДР), Имре Руже (Венгрия). По 39 очков набрали Сильвермен Бернард (Англия), Аркадий Климов (СССР, школа-интегриат при МГУ; из Арзамаса), Эрвин Баймоц (Венгрия). Венгерский школьник Иимтван Гонизы набрали 37 очков.

Дипломы II степени присудили учасникам, набравшим от 30 до 35 очков. Из наших школьников его

55

получил Алексей Алексадров, набравший 35 очков (9 класс школьи-интерната при ЛГУ).

Дипломы 11I стеценни вручались участниками, набравшим от 19 до 28 очков. В нашей команде их получили Сердей Семеньков, набравший 27 очков (10 класс школьи-интерната при ЛГУ), Велло Альплеис, набравший 24 очка (11 класс Ньюсской средней школы Тартусского района Эстонской ССР) и Алексадр Корлюков, набравший 24 очка (10 класс школьи-интерната при МГУ; из Гродно).

Павел Колылов (г. Воронеж, школа № 58) и Алексадр Линецкий (г. Харьков, школа № 27) не смогли продемонстрировать все свои возможности и набрали соответствие 15 и 17 очков.

В целом команда Венгрина набрала 233 очка, СССР и ГДР — по 221 очку, Югославии — 209 очков, Румынии — 208, Англия — 180, Болгарии и Чехословаки — по 145, Франции — 141, Швеции — 110, Польщики — 105, Австрии — 104, Голландии — 87, МНР — 78.

Сейчас все участники советской команды, окончившие шкoly, участвовали в Московском или Ленинградском университетах, а Алексадров заканчивает 10-й класс и думает о поездке на XIII Международную математическую олимпiadу в Чехослованию. И. С. Петраков

Задачи, предложенные в первый день

  1. Дан треугольник ABC, М — внутренняя точка стороны AB. Пусть r1,r2,rr_1, r_2, r — радиусы окружностей, вписанных в треугольники AMC, BMC, ABC соответственно; ρ1,ρ2,ρ\rho_1, \rho_2, \rho — радиусы окружностей, которые лежат внутри угла ACB, и является внешним для треугольников AMC, BMC, ABC соответственно.

Доказать, что r1r2ρ1ρ2=rρ\frac{r_1 r_2}{\rho_1 \rho_2} = \frac{r}{\rho} (Польша, 5 очков).

  1. Пусть a,ba, b и nn — натуральные числа, большие единицы. Числа aa и bb являются основными двумя системами численения. Числа An,BnA_n, B_n имеют одинаковое представление xnxn−1x1x0\frac{x_n x_{n-1}}{x_1 x_0} в системах численения с основными aa и bb, причем xn≠0,xn−1≠0x_n \neq 0, x_{n-1} \neq 0. Числа, получившиеся после вычеркивания первой цифры xnx_n, будем назвать An−1,Bn−1A_{n-1}, B_{n-1}.

Доказать, что a>ba > b тогда и только тогда, когда An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n} < \frac{B_{n-1}}{B_n} (Румыния, 7 очков).

  1. Последовательность действительных чисел a0,a1,…,an,…a_0, a_1, \dots, a_n, \dots удовлетворяет условию

1=a0⩽a1⩽⋯⩽an⩽…1 = a_0 \leqslant a_1 \leqslant \dots \leqslant a_n \leqslant \dots

(1)

Последовательность b1,b2,…,bn,…b_1, b_2, \dots, b_n, \dots определяется так:

bn=∑k=1n(1−ak−1ak)1ak.b_n = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{a_k-1}{a_k}\right) \frac{1}{\sqrt{a_k}}.

a) Доказать, что 0⩽bn<20 \leqslant b_n < 2 для всех nn.

b) Доказать, что для данного cc, такое, что 0⩽c<20 \leqslant c < 2, существует последовательность a0,a1,…,an,…a_0, a_1, \dots, a_n, \dots, удовлетворяющая условию (1) также, что bn>cb_n > c для бесконечного множества индексов nn (Швеция, 8 очков).

Задачи, предложенные во второй день

  1. Найти все положительные числа nn, обладающие следующим свойствам: множество разделить на два множества так, что произведение всех элементов одного из них равно произведение всех элементов другого (Чехословаки, 6 очков).

  2. В терраэдре ABCD DB ⊥ DC и основные перпендикуляра, опущенного из D на плоскость треугольника ABC, совпадает с ortоцентром этого треугольника.

Доказать, что (AB+BC+CA)2⩽6(AD2+BD2+CD2)(AB + BC + CA)^2 \leqslant 6(AD^2 + BD^2 + CD^2). Для каких терраэдров имеет место равенство (Болгария 6 очков)?

  1. На плоскости заданы 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Расматривают все возможные треугольники с вершинами в этих точках.

Доказать, что среди них будут не более 70% остроугольных треугольников (Советский Союз, 8 очков).