Впечатления участника олимпиады

Квант 1971, №12 с. 54-55 Тег KZ5W

первенства учатников. Однако всегда большой интерес вызывают неофициальные итоги командного перевенства по сумме очков, набранных командами различных стран.

Лучший результат показала команд Венгрин, набравшая 255 очков из 336 возможных, команд СССР имеет 205 очков. Затем следует команды ГДР — 142 очка, Польщи — 118 очков, Великобритания — и Румыния — по 110 очков. Каждый из остальных команд набрала менее 100 очков.

Торжественное закрытие олимпиды состоялось в Братическиеле университете имени Яна Амоса Каменского, где победительям олимпиды были вручены дилломы и премии. Нет сомнений, что для многих юных учатников олимпиды эта международная математическая встреча является лишь началом большой интересной жизни в современной математике.

На заключительном засеединении руководитель Польскойделегации принялслився страны, участвовавшие в XIII олимпиде, на XIV олимпиду в Польскую Народную Республику.

Задачи XIII Международной олимпиды

Первый день совершенний

Доказать, что следующее утверждение:
«Для любых действительных

10 июля наша команда приехала в Братическую. На вокзале нас встречали организаторы, которые удалось сразу же создать на олимпиде теллуо и непринужdenную атмосферу. В гостинице мы смогли познакомиться со своим соперниками. Члены других команда, как только с нами встретились, начали давать свои задания. Среди задач, условия которых нам удалось разобрать, выделялись одна, предложенная юgosлавским ребрами:
«Пользователи. Первая городит: «За мной ползут две черпахи», вторая городит: «Передо мной ползут одна черпаха и за мной ползет одна черпаха», а третья: «Передо мной ползут две черпахи и за мной ползет одна черпаха». Как это может быть?. Решение ее порождает свой силой и убедительностью*).

Утром следующего дня учатников повезли в Жилини

*) Ответ: третья черпаха лжет.

нау, где должна была состояться олимпида. По пути все с удовлетворением осмотрел современный курорт Пштятыны и старинный городок Тренчин. Фотоаппараты работали без перевыва. В Жилине мы перым делом осмотрел значение строительного техническа, где должно быть состояние северного бойнице. На обратном пути на одной из горных дорог автовосу с командами Австрии, Болгарии, Кубы и ГДР «прилег» на бок. Все бросились

Члены советской комиссии. Слава направо: В. Ерохин, Д. Логачев, О. Ляшко, И. С. Петраков, А. Алексадров; второй ряд: С. Гашков, Е. Саллинен, А. Чистов, М. Цфасман.

на помощь, но когда выяснили, что никак не пострадал, вовь зашелали фотоаппараты. Происществие отвлекло нас от мысли о предстоящем совершении и убедило, чтоJECTЫ, ознакомление «автобус перевернулся», на всех языках «звучат» примерно одинаково.

Наступили главные дни — дни совершения. 13-го состоялось официальное открытие окрытиные олимпиды. Врезнидуме находимись организаторы и руководители комиссии и руководители нашей сборной В. А. Сворцов и И. С. Петраков. Нам пожелали успехов. Еще до этого были сообщены порядковые номера участников (по словцкому алфавиту):

Алексадров Алексей.
Цфасман Михаил.
Чистов Алексадр.
Гашков Сергей.
Ерохин Василий.
Логачев Дмитрий.
Ляшко Олег.
Саллинен Евгений. Аналогичные номера получили ребята других комиссии. Всex участников, имеющих номер 1, разместили в комнате 1, номер 2—в комнате 2 и так далее. В конвертах, лежавших на столах, были задан первого дня совершения.

Первая задача довольно просста. Наша команда получила за нее 34 окана. Случай n=3 доказывается алгебраически. Для n=5 заметим, что при $a_1 > a_2 > ... > a_5$ (для определения) первый, третий и пятый член суммы положительных, второй и четвертый отрицательны, причем по модулю первый больше второго, а пятый больше четвертого. Для других n строятся противоречшие примеры.

Самыми сложными для нашей комиссии оказались вторая и третья задачи. Вторая задача имеет нетривиальную идею: все многогранички $P_1, P_2, ..., P_9$ содержатся в многограничке, получаем из $P_1$ готовется к коэффициентом 2 относительной точки $A_1$ . За эту задачу команда получила всего 21 окана. В третьей задаче доказывается, что по первым k членам такой последовательности можно построить $k+1$ -й член. Возьмем все простые делители этих k членов последовательности: $p_1, p_2, ..., p_m$ ; число

$2^{(p_1-1) (p_2-1) ... (p_m-1)} - 1$

делится на $p_1, p_2, ..., p_m$ . Но так как все эти просстями нечетны, число $2^{(p_1-1) (p_2-1) ... (p_m-1)} - 3$ не делится ни на одно из них, следовательно, взаимно просто со всеми членами последовательности. За эту задачу мы также получили маловато, всего 27 оканов. Вечером того же дня состоялась какая-то экскурсия, воспоминания о ней не осталось, так как все мысли были поглощены задачими.

Задачи второго дня, по мнению советской комиссии, были проще, чем первого. Четвертая задача, верятно, была бы сложнее, если бы в ее вопросе не содержалось подсказки: тот факт, что в выражении для длинной фигурирует угол $\alpha$ , вызывает естественное желание «создать» его на плоскости. Решается она «разворачиванием» тетради на плоскость. Эта задача дала команде 34 окана.

Пожалуйста, самой легкой из всех задач была пятая. Далее не верится, что за ее решение давалось 7 оканов, столко же, сколько за вторую. Она решается методом математической индукции. Надо лишь доказать, что для системы $S$ , удовлетворяющий условию задачи для $k$ точек, существует такой параллельный перенос, который образует (вместе с $S$ ) системе $S_1$ , для которого выполено условие задачи для $k+1$ точки. За эту задачу наша команда получила 51 окана.

В задаче 6 проще всего, предположив противное, записать все возможные неравенства для строки с минимальной суммой стойших в ней чисел и, аналогично, для столбца. Затем надо сложить все неравенства и учеть, что сумма в выбранной строке (столбце) не превышает $\frac{n}{2}$ . За шестую задачу наша команда получила 38 окана.

Эти результаты мы узнали, а сразу после совершения всей команде казалось, что выступили веса неудачно. Немного утешил нас только разговор с