XIV Международная математическая олимпиада школьников

58

XIV МЕЖДУНАРОДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

С 5 по 18 июля в Польше прохождение XIV Международная математическая олимпиада школьников. Работа жорни началась в Варшаве, а сами совершали прохождения в старинном городе западной Польши — Торуне. В оплитпаде приняли участие команды 14 стран: Австралии, Болгарии, Великобритания, Венгрии, ГДР, Кубы, Монголии, Нидерландов, Польши, Румыния, Советского Союза, Чехословакии, Швеции, Югославии. Руководители команд этих стран и составили международное жорни, представленем которой был профессор Торуньского университета Станислав Балчежик. Все перечисленные страны участвовали и в прошлом олимпиаде.

Каждая команда состояла из 8 человек (от Кубы было только три участника). В каждой стране команда формировалась по результатам различных национальных соревнований. По признанию многохруковителей команда, международная олимпиада является серверным стимулом для повышения уровня и популярности национальных олимпиад. В некоторых странах среди победителей национальной олимпиады проводятся дополнительные оборочные соревнования для окончательного определения состава команда. Цитателям «Квата» будет интересно узнать, что в Англинии на этом заключителом отборе представляется задача из «Квата» (см. № 4 за 1971 г., задача М 76). Задачик «Квата» использует также в Нидерландах и во многих других странах.

Советская команда была формирована по итогам VI Всесоюзной математической олимпиады. В нее вошли Белкин Сергей — ученик школе № 7 г. Москвы (ранее обучался в школе № 556 г. Москвы), Б.урков Владимир — ученик школи-interната при МГУ им. Ломоносова (ранее обучался в 25-й школе г. Владимира), Гольберг Андрей — ученик 2-й Московской школи, Колмаков Юри — ученик школи-interната при МГУ им. Ломоносова (ранее обучался в 1-й школе г. Рассказово Тамбовской олимпиады), Конягин Сергей — ученик 9 класса школе № 9 гор. Саратова, Меркувев Александр — ученик школи-interната при Ленинградском университете, Шаповалов Александр — ученик школи-interната при Московском университете (ранее обучался в школе села

Чемолган Алма-Атинской области), Шварц Владимир — ученик школи-interната при Ленинградском университете. Запасными членами команды были: Ландо Сергей — ученик 19-й школьг. Перми и Лешинер Дмитрий — ученик 9 класса 2-й Московской школьг.

Советская команда в составе 8 человек приблига в Варшаву 7 июля. Советнова проходила в Торуне 10 и 11 июля.

Максимальное число очков, которое мог набрать учетник, равно сорока. 40 очков набрали 8 учетников и им были присужdenы дипломы первой степени. Их получили Греgos Андрейчик — Польша, Владимир Бурков — СССР, Вильмош Komорник — Венгрия, Сергей Конягин — СССР, Павел Крегер — ГДР, Мартин Мирка — Румыния, Шолт Туза — Венгрия, Золтан Фюреди — Венгрия.

Дипломом второй степени нагружались учетники, набравшие от 30 до 39 очков. Из нашей команды дипломы второй степени получили Сергей Белкин (39 очков), Александр Меркувев (38 очков), Андрей Гольберг (33 очка), Владимир Шварц (30 очков).

Дипломы третьей степени, которые присуждались учетникам, набравшим от 19 до 29 очков, в советской команде получили Юри Колмаков (28 очков) и Александр Шаповалов (22 очка).

Таким образом, все 8 учетников советской команды стали признанами олимпиады.

В целом советская команда набрала наиболее оценки (270 из 320 возможных). Далее следуют команды Венгрии (263 очка), ГДР (239 очков), Румыния (206 очков), Великобритании (179 очков).

На торжественом закрытии олимпиады, которое состоялось в Варшаве 17 июля, минстр просвезения и воспитания Польской Народной Республики Ежи Куберски вручил победителем дипломы и признаы.

Задачи XIV Международной математической олимпиады

Первый день совершенствовании

1. Доказать, что из любых десяти различных двухначных натуральных чисел можно выбрать две различные непересекающие группы чисел так, что сумма чисел в общих группах будет одинаковой. (ССР, 5 очков).

59

2. Доказать, что следующие утверждения для любого числа $n \geq 4$:
   произвольный вписанный четырехугольник можно разить на $n$ четырехугольников, вокруг каждой из которых можно описать окружность. (Нидерланды, 6 окков).

3. Доказать, что для любых неотрицательных целых чисел $m$ и $n$ число $(2m)!(2n)!$ является целым (полагаем $0! = 1$). (Великобритания, 7 окков).
   Второй день соревнований

4. Найти все решения $(x_1; x_2; x_3; x_4; x_5)$ системы неравенств:
   $$x_1^2 - x_3x_5)(x_2^2 - x_3x_5) \leq 0,$$
   $$x_2^2 - x_4x_1)(x_3^2 - x_4x_1) \leq 0,$$
   $$x_3^2 - x_5x_2)(x_4^2 - x_5x_2) \leq 0,$$
   $$x_5^2 - x_2x_4)(x_1^2 - x_2x_4) \leq 0.$$
   (Hидерланды, 7 окков.)

5. Пусть $f$ и $g$ — действительные функции, определяемые на всей прямой и удовлетворяющие уравнению

$$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)$$

для всех $x, y$. Доказать, что если $f(x)$ не есть тождестенный нуль и если $f(x) \leq 1$ для всех $x$, то $|g(y)| \leq 1$ для всех $y$. (Болгария, 7 окков.)

6. Данные четырех различные параллельные плоскости. Доказать, что существует правильный тетрадр с вершинами на каждой из этих плоскостей. (Великобритания, 8 окков.)

В. А. Сковорцов, И. С. Петраков

После Всесоюзной математической олимпиады десять ее победителей — 8 десятиклассников и 2 девятиклассника — были принялись на третийрованный сбор, который проходил в Горках Ленинских с 23 июня по 6 июля в школе памяты В. И. Ленина. В утренние часы участники сбора занимались решением задач, а после обеда загорали, купались, играли в баскетбол, футбол, шахматы.

Многие задачи, предложенные на сбор, были очень интересны. Например:

1. Двое церам в макуо церу: на бесконечной клетчатой бумаге каждый имеет раззададан свой закрасим некоморое ребро, соединяющее два соседних узла семки, своим цезом. Каждый ребро красится не более чем в один церем. Доказать, что второй может помещать начинацему соединить два на перед выборных узла семки ломанной лице одного церема, если рассмотрение между фиксированными узлами больше единицы.

2. Доказать, что нельзя замостить плоскость выпуклими равными семцугоднками без налогений.

3. Существует ли на клематой бумаге окружность, проходящаяровно через 17 целочисленных точек?

По нашему мнению, эти сборы были очень полезны. Проведенная тривировка помогла нашей команде хорошо выступить на международной олимпиаде. За время сборов создался единый коллектив, что очень важно в любых командах соревнованиях.

6 июля наша команда выехала в Варшаву. В Варшаве участвнился остановился в отеле Ривьера, откуда 8 июля на автовыхах отправился на родину Николая Коперника — в город Торунь, где и должны были произойти сами соревнования.

9 июля мы осмотрели город Торунь. Сейчас город готовится к 500-летнему юбилею Коперника. Повсюду произвольится реконструкция многочисленных исторических памятников. Всем зданиям и архитектурным сооружением старой части города придает тот вид, который они имели во времяна Коперника.

10-го и 11-го июля проходит соревнования. Работу писали в 8 аудиторях, в каждой аудитории. По одному человеку из каждой команды. Во время соревнования гостеприимные хозяйства угщали участков вторым завтраком и весба принятым соком оранжадом. Нам было предложено для решения 6 задачи (за два дня). Средние весы предложенных задач наиболее интересной, по нашему мнению, была третья задача первого дня, несмотря на то, что она допускает три решения: комбinatorное, по индекции и решение, в котором рассматривается степен простоящего делителя $p$, входящero в числитель и значенатель дроби $\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m + n)!}$.

Задачки первого дня оценивались меньше числом окровов, чем задачи второго дня, но для многохучастников олимпиады они оказались сложными.

После соревнования началась увлекательная автовосняэ эскурсия по Польше. Мы еали по маршруту: Торунь — Грионвалд — Острудда — Ольштин — Эльблонг. 13 июля мы накапле отплыли из Эльблонга во Фромброк и в тот же день возвратились в Эльблонг. Затем 14 июля мы, посетив замок в Мальборне, возвратились в Торунь через Квидздынь и Грудзёндз. 15 июля участники олимпиады выехали на общую эскурсию вместе с руководителем команды. В этот день мы узнали результаты олимпиады. Через Кружевду, Гнезно, Рогалин, Курник мы приехали в Познань. Остотреб этот город — город старинной культуры, — мы вернулись в Варшаву.

*) Подробное решение всех задач олимпиады будет приведено в журнале «Математика в школе», № 6, 1972. См. также стр. 63.

60

За время олимпиды ребят из разных стран связала технология дружеса. Несмотря на то, что мы говорили на разных языках, у нас был общий язык — язык математики. В процессе знакомства с учениками из других команда мы обменвались задачами, рассказывали друг другу, как проходят национальные олимпиды. Нам хочет привести наиболее интересные из задач.

1. Положим, что $a_n$ — сумма цифр числа 1972$^n$ в десятичной записи. Доказать, что
   $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n} = 0.$$
   Эту задачу нам рассказали члены пользователей. На Общепользовской олимпиде ее решили всего несколько человек.

2. Доказать, что существует такая последовательность целых чисел $\{a_n\}$: $a_0 = 0$, $a_1$, $a_2$, …, $a_n$, …; $a_n < a_{n+1}$, для которого выполнен следующие условия:

1°. Для всякого натурального $k$ существует $a_i$ и $a_j$ из последовательности $\{a_n\}$ такие, что $k = a_i + a_j$ (i может равнять $j$). 2°. $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{a_n} = 0.$
Эту задачу предложили английские школьники.

3. $p + q = 1$, $q \geq 0$; $p \geq 0$. Доказать, что для любых натуральных $m$ и $n$ выполняется неравенство $(1 - p^n)^m + (1 - q^m)^n \geq 1.$

(Bенерия)

4. Дано $n$ действительных чисел $a_1; a_2; ...; a_n$. Доказать, что
   $$\min_{i \neq j} \left[ \left( a_i - a_j \right)^2 \right] \leq \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k^2}{n(n-1)(n+1)}.$$

(Bенерия)

5. Доказать, что
   $$\left( 1 - \frac{1}{2^3} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{n^3} \right) > \frac{1}{2}.$$
   (Чехословакия).

6. Дана трапеция $ABCD$, $BC \parallel AD$. На $CD$ взята точка $K$, на $AB$ точка $L$ так, что $AK \parallel CL$. Доказать, что $DL \parallel BK$.

(Gолландия)

7. Число $x$ является комплексным или отрицательным тогда и только тогда, когда существует положительные действительные числа $a_0, a_1, ..., a_n$ такие, что
   $$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0.$$
   (Чехословакия)

8. Доказать, что
   $$\sqrt[3]{a_1 a_2 a_3 + a_2 a_3 a_4 + a_3 a_4 a_1 + a_4 a_1 a_2} \leq \sqrt[3]{a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_4 + a_1 a_3 + a_1 a_4 + a_2 a_4};$$
   (все $a_i > 0$).

Эта задача предложена участником команды ГДР П. Крёгером.

9. Доказать, что
   $$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\sin^2 \frac{\pi(2k+1)}{2n}} = n^2.$$
   (Bолгария)

Мы надеемся, что математические контакты, установленные с нашими сверстниками из разных стран, присутствуют всем взаимному пользову.

C. Белкин, В. Шварц

Команда СССР на XIV Международной математической оптимизации. Слева направо сдят: Серей Белкин [Диллом второй степени], Владимир Бурков [Диллом первого степени], Андрей Гольберг [Диллом второй степени], Юрий Колмаков [Диллом третьей степени]; строят: Серей Конагин [Диллом третьей степени], Алексаандр Шаповалов [Диллом третьей степени], Владимир Шварц [Диллом второй степени].