Задачи М256—М260; Ф268—Ф272

30

Задачи

M256—M260; Ф268—Ф272

M256. Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служебными второгами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон одного многоугольника равно произведение расстояний от этой точки до сторон второго.

(Под рассмотрением от точки M до стороны попирается расстояние до прямой, на которой лежит эта сторона.)

А. Н. Черныйев

M257. При каких натуральных $n \geq 2$ неравенство
$$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \geq p(x_1 x_2 + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n)$$
выполняется для любых действительных чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, если $p = 1$; 6) $p = \frac{4}{3}$; 8) $p = \frac{6}{5}$?

Нeyer Конг Квил (Ханой, ДРВ)

M258. На плоскости дны три точки K, L, N. Про четырехугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трех его сторон лежат в данных точках K, L, N. Найдите множество точки, в которых может попасть:
a) середина четырехугольника;
b) вершина этого четырехугольника.

А. П. Савин

M259. Наозовем кварметом четырехугольку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямогоугольника со сторонами, параллельными линям сетки. (Например, на рисунке 1 нарисовано три кварметом, не имеющих общих клеток, можно разместить:
a) в квадрат $5 \times 5$?

31

6. в прямогольнике $m \times n$ клеток?

А. Григорян, ученик 10 класса

М260*. Окружность разбита точками $A_1, A_2, \dots, A_n$ на $n$ равных частей, каждой из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги (с концами в точках разбиения) называются одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвет каждой части, совпадает с другой. (Например, на рисунке 2 дуги $A_2A_6$ и $A_6A_{10}$ одинаково окрашены.)

Доказите, что если для каждой точки разбиения $A_i$ можно указыть две непересекающейся одинаково окрашенные дуги с общим концом $A_i$,

Рис. 1.

то всего окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска «перiodическая». Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две: скажем, красная и черная.

Г. А. Гурееви

Ф268. Для определения отношения тепломкости газа при постоянном давлении и при постоянном объеме иогда применяется следующий метод. Определение количества газа, начальная температура, объем и давление которого равны соответствующее?

Рис. 3.