Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

47

Московский государственный университет
имени М. В. Ломоносова

Мы уже рассkaзывали о факультетах физико-математического профля Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова *). Ниже приведятся материалы вступительных экзаменов 1973 года по математике и физике на этих факультетах.

Matematika

Механико-математический факультет
Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$2(\cos x)^{5/2} - \cos 2x = 1 + \frac{\sin x}{\sqrt{3}}(1 - \sqrt{\cos x}).$$

2. В трапеции $ABCD$ точка $K$ — середина основания $AB$, точка $M$ — середина основания $CD$. Найти площадь трапеции, если известно, что $DK$ есть биссектриса угла $D$ трапеции, $BM$ есть биссектриса угла $B$ трапеции, наиболее низ углов при нижнем основании трапеции равен $60^\circ$, а ее перimetр равен 30.

3. Решить неравенство
   $$5x + \sqrt{6x^2 + x^3 - x^4} \log_2 x > (x^2 - x) \log_2 x + 5 + 5\sqrt{6 + x - x^2}.$$

4. Точки $K$ и $M$ являются соответствующими ребер $AB$ и $AC$ треугольной парамиды $ABCD$, площадь основания $ABC$ которого равна $p$. Найти площадь грани $BDC$, если сечение $MDK$ имеет площадь $q$, а основание высоты парамиды попадает в точку пересечения медиан треугольника $ABC$.

5. Найти все пары чисел $x, y$, удовлетворяющие условиям
   $$\begin{cases} \sqrt{2x^2y^2 - x^4y^4} = y^6 + x^2(1 - x), \\ \sqrt{1 + (x + y)^2} + x(2y^3 + x^2) \leq 0. \end{cases}$$

*) См. «Квант», 1973, № 4.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$1 + \cos 2x + \cos^2 x \log \sqrt{3} tg^2 x + 3 \sin x = 2 \sin x \log_{1/3} tg^3 x.$$

2. В трапеции $ABCD$ точки $K$ и $M$ являются соответствующими серединами оснований $AB$ и $CD$. Известно, что $AM \perp DK$ и $CK \perp BM$, а угол $CKD$ равен $60^\circ$. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 1.

3. Решить неравенство
   $$\sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 2x > 2x \times 3^x \sqrt{2 - 5x - 3x^2} + 4x^2 \cdot 3^x.$$

4. В треугольной парамиде $ABCD$ через ребро $AD$, равное $a$, и точку $E$ — середину ребра $BC$ — проведено сечение, образующое с грамими $ACD$ и $ABD$ соответствующего углы $\alpha$ и $\beta$. Найти объем парамиды, если площадь сечение $ADE$ равна $S$.

5. Найти все пары чисел $x, y$, удовлетворяющие условиям
   $$\begin{cases} 4y^2 - 2x^2 = \sqrt{2(x + 2y)^2 - (x + 2y)^4}, \\ x^4 + 2 \leq 4y(x^2 - 1). \end{cases}$$

Факультет вычислительной математики и кибернетики

Вариант 3

1. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sin y \cos x + \sin x = 0, \\ 2 \cos^2 y + \sin y \sin x = \cos 2y \cos x. \end{cases}$$

2. Решить неравенство
   $$\log_2 x - \frac{4}{25} \left( \frac{x^2 - 14x + 51}{50} \right) \leq 0.$$

3. В прямогольном треугольнике $ACB$ из вершины прямого угла $C$ проведены биссектриса $CL = a$ и медиана $CM = b$. Найти площадь треугольника $ACB$.

4. Точки $A, B, C, D, E, F$ лежат на поверхности шара радиуса $\sqrt{2}$.

48

Отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке S, которая находится на расстоянии 1 от центра шара. Известно, что объемы парамид SABC и SDEF относятся как 1:9, объемы парамид SABF и SDEC относятся как 4:9, а объемы парамид SAEC и SDBF относятся как 9:4. Найти длины отрезков SA, SB, SC.

5. Из пункта A одновременно стартуют три бегуна и через некоторое время одновременное финишируют в том же пункте, пробежав по маршруту, состоящему из прямолинейных отрезков AB, BC, CA, образующих треугольник ABC. На каждом из указанных отрезков скорсти бегунов постоянны и равны у первого бегуна 10 км/ч, 16 км/ч и 14 км/ч соответственно, а у второго бегуна 12 км/ч, 10 км/ч и 16 км/ч соответственно. Третий бегун в пунктах B и C оказывается не один и меньлой скорость на всем маршруте лишь один раз. Треугольник ABC — остроуговый или тупоугольный?

Физическая факультет

Вариант 4

1. Решить уравнение
   2 sin x + cos 2x = 1.

2. Решить уравнение
   $$\left(\frac{1}{4}\right)^{3x} - \left(\frac{1}{8}\right)^{x-1} - 128 = 0.$$

3. Сумма первых пяты членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восемой и одиннадцатый член этой прогрессии является соответствующим перым, вторым и десятим членами арифметической прогрессии. Найти перный член геометрической прогрессии.

4. Примой круговой конус с вершиной S вписан в треугольную парамиду SPQR так, что окружность основания конуса вписана в основание PQR парамиды. Известно, что $PSR = \pi/2$, $SQR = \pi/4$, $PSQ = 7\pi/12$. Найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания PQR парамиды.

5. Дан круг с центром O. Через точку внутри круга проведены диаметр AB и хорда CD. Из точки D опущен перpendикуляр DF на хорду AC (F — между A и C), а из точки F опущен перpendикуляр FH на AB. Точка M — середина хорды CD. Известно, что AM = 2MO, 8AH = 5AB. Найти AMO.

Физика

Факультеты механико-математической, вычислительной математики и киберnetики

Вилет 1

1. Небольшое тело скскальзывает без начальной скорости с гладкой наклонной плоскости,лина которой l = 16 cm, а угол наклона α = 30°. Затем оно падает на гладкую горизонтальную плоскость, находящая на расстоянии h = 20 cm от нижнего конца наклонной плоскости. На какую наибольшую высоту H от горизонтальной плоскости поднимается тело после удара об нее, если этот удар абсолотно упругий?

2. Электролиз. Законы Фарадя.

3. Собирающие и рассеивающие линзы. Формула линзы. Построение изобравжения в линзах.

Билет 2

1. Маленький шарик массы m = 1,3 c, имеющий заряд q = 2·10⁻⁵ κ, подвешен на нити внутри заряженного шарского конденсатора, пластинки которого горизонтальные. Перiod малых колебаний этого шарика T₁ = 1 c. Если же помещать знаки зарядов пластин конденсатора на обратные, сохраняя внешну зарядов, то период колебаний шарика станет T₂ = 1,5 c. Найти напряжение E электрического поля внутри конденсатора.

2. Законы Бойля — Мариотта, Гей-Люсска, Шарля. Графики этих законов. Абсолотная температурная шкала. Обведенный закон Бойля — Мариотта — Гей-Люсска.

3. Световой поток, сила света, освещность.

Билет 3

1. Над столом подвешена маленькая лампочка, расположенная в верхине конусаобразного абажура, у которой угол между осью и образующей α = 30°. На пути лучей параллельно поверхности стола помещили плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления n = 1,5. При этом диаметр светового пятна на столе уменшлися на величины d = 2 cm. Какова толщина h пластинки?

2. Примеры колебательных движений. Гармонические колебания. Перiod, частота и амплитуда колебаний. Перiod колебаний математического матрика (без вывод).

3. Поток магнитной индукции. Электромагнитная индукция. Электродвижущая сила индукции. Закон Ленца. Явление самоподвижности.

Рис. 1.

49

Билет 4

1. Горизонтальный цилиндр объемом $V = 5,5$ л разделен на две части тонким подвижным поршнем. Оба конца цилиндра закрыты. С одной стороны поршня находится этот при температуре $t_1 = 77^\circ$ С, а другой—гейли при температуре $t_2 = -23^\circ$ С. Массы газов одинаковы. Найти объемы $V_1$ и $V_2$, занимаемые азотом и гелем. Тренние между стенками цилиндра и поршнем отсутствует.

2. Упругие силы. Закон Гука.

3. Закон преломления света. Относительный и абсолотный показатели преломления. Ход лучей в призме. Полное отражение. Предельный угол.

Физический факультет

Ниже приведятся некоторые задачи из вариантов вступительных экзаменов на физический факультет.

1. Два малых тела, массы которых относится как 1:2, одновременно начинают сокальзывать без трения по внутренней поверхности полусферы радиуса $R$ (рис. 1). Удар тел абсолотно неупругий. На какой угол $\alpha$ от вертикали отклоняется тела после удара?

2. На краях подвижной платформы, длина которой $l = 10$ м, вес $P = 500$ кГ, стоит два человека: вес первого $P_1 = 60$ кГ, а второго $P_2 = 40$ кГ. В момент $t = 0$ они начинают бежать по платформе навстречу друг другу, причем скорость первого в два раза больше скорости второго. На какое расстояние $x$ откатится платформа, когда первый человек дое ее конца? Тренем платформы о рельсы пренебрежь.

3. В сосуда с водой плавает кусок льда, в которой вверзела свинина дробника. Масса льда $M$, масса дробники $m$, температура воды в сосуда $0^\circ$ С. Какое наименьшее количество теплы нужно затратить, чтобы дробника начала тоннуть? Плотность льда $\rho_1$, скрытая теплота плавления льда $\lambda$, плотность свиница $\rho_2$.

4. Цикл состоит из двух изхор и двух изобар (рис. 2). Термпературы газа в точках 1 и 3 равны соответствующего $T_1$ и $T_3$. Определить работу, совершенную одной грамм-молекулой газа за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изтерме.

5. При включении лампочки в сеть с напряжением $U = 200$ в она потребляет мощность $W_1 = 40$ вм и ярко горит, причем температура ниги $t_1 = 3000^\circ$ С. При включении в сеть с $U = 100$ вм лампочка потребляет мощность $W_2 = 25$ вм и еще свeitится, так как температура ниги при этом равна $t_2 = 1000^\circ$ С. Найти величины сопротивления ниги лампочки $R_0$ при температуре $t = 0^\circ$ С.

6. Определить концентрацию электровов в лучке электронно-лучевой трубки осциллографа вблизи экрана. Сечение лучка $S = 1$ мм², сила тока $I = 1,6$ мка. Электроны выпелают из ка타да без начальной скорости иускорятся между катодом и аномом электрическим полем с разностью потенциальов $U = 28500$ в.

Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ к, масса $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ к$^2$.

7. На зеркало-полусферу CAD радиуса $R = 30$ см падают два луча, параллельных линиям $AB$, которая проходит через центр $O$ и перpendикулярна к CD (рис. 3).

Один луч проходит на расстоянии $a = 24$ см, а другой на расстоянии $a_1 = 1$ см от линии $AB$. После отражения от зеркала эти лучи пересекут $AB$ в каких-то двух точках. Найти расстояние $x$ между этим точками.

8. На столе поставлены стеклянная призма с преломляющим углом $\alpha = 45^\circ$ и показателем преломления стекла $n$ и тонкая линия с фокусным расстоянием $f$. Главная оптическая ось линзы перpendикулярна к вертикальной грани призмы, на которой направлен горизонтальный параллельный лучок света определяемой длины волны. На каком расстоянии $x$ от главной оптической оси будет находиться точка, в которой соедут лучи, прошедшие сквозь признам и линзу?

ПОПРАВКА

В «Кванте» №2 за 1974 год на с. 61 конец решения задачи 1 (НГУ, вариант 1) должен выглядеть так: $u = 22, |1 - y^2| = 3^{11}$, откуда с учетом ОДЗ получаем $y = -\sqrt{3^{11} + 1}$.

Редактиция благодарит читателя В. С. Марочина (Пермь), обратившего наше внимание на ошибку в решении.