Как это измерить?

Квант 1975, №2 с. 52-54 Тег 6CLL

Математики о математике

Под таким названием в издательстве «Знание» в 1972 году была выпущена брошюра *), содержащая две статьи, переведенные с английского.

*) Математики о математике (сборник статей). Составитель проф. В. И. Левин. Перевод с английского кандата философских наук В. Н. Тростикова. М., «Знание», 1972. (Новое в жизни, науке, технические Серия «Математика, книбернетика», 12.)

Эти статьи образуют главу под названием «Неразумность математики» в третьем томе четырехтомной антологии «Мир математики»,ышедшей в США в 1956 году и в Англии в 1960 году. Авторами статей являются известные учены.

Первая статья называется «Потерянный и найденный парадокс», она написана Эдвардом Каснером и Джеймсом Р. Ньюменгем. Начинается она так: «Вероято, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы».

Первый тип парадоксов — это противоречия и абсурдные утверждения, являющиеся следствием неправильного расчудения. Затем — парадоксы страны, кажущие невероятными, но, как показывают строение доказательства, — истинные. «Третий и наиболее важный тип парадоксов связаан с теории множества; такого типа парадоксы приведи к перемотру оснований математики. Логические парадоксы всегда означаили логиков и математков и поставили пробелы, касающиеся самого существа математики, пробелы, которые до сего дня не получили удовлетворительного решения».

В статьи сначала расматривают примеры парадоксов второго типа. Приведем один из них. Две равные монеты лежат на столе, касаясь окружности. Первая (пустая левая) монета, оставаясь на плоскости стола, катится по ободку второй (неподвижной) монеты. Когда точка касания монет пройдет половину окружности и оказывается в диаметрально противоположной точке неподвижной монеты справа, то подвижная монета совершит не полоборота, а полный оборот (цифра на ней опять оказывается в нормальном положении)!

Говоря о геометрических заблудениях, авторы лишь упоминают об оптических илилозиях и приводят примеры ошибок не психологического, а математического характера. Например, предлагается такой парадокс (мы даем его в сокращении): ABCD — прямой угольник (см. рисунок). CH=HB; HO⊥CB; AE=AB; CK=KE; KO⊥CE.

△OAE=△OCD (по тем сторонам). Отсюда △ODC=△OAE. Но △ODA=△OAD (углы при основании равноведного треугольника). Следовательно, △ADC=△DAE (прямой угол равен тупому!).

Как это изменить?

В последние годы выпущено довольно много задачников по физике. А если подсчитать, сколько «почему» в них содержится, то получится веса внутреннего циклического пробелы, касающиеся самого существа математики, пробелы, которые до сего дня не получили удовлетворительного решения.

Например, заменять книжка М. Ильина так и называется — «Сто тысяч ПОЧЕМУ». А вот вопросу «как» повезло несколько меняше — задачачи, в которых предлагается указыть способ изменения той или иной физической величины, встречаются относительно комнаты. А ведь «как» может быть не менее интересно, чем «почему». Яркую иллюстрацию этому можно найти в воспоминаниях о выдающихся физике Энрико Ферми *, где речь идет о первом испытании atomной бомбы. «Ферми встал и начал сыпать маленькие кусочки бумаги. Он подготовил про-

*) Э. Сегре, «Энрико Ферми — физик», М., «Мир», 1973.

Изложение этого парадокса авторы заканчивают так: «Может ли вы найти здесь ошибку? Дадим совет: сделайте чертеж с максимальной аккуратностью».
Однако в данной парадоксе найти ошибку, содержащую в чертеже, можно с помощью логического исследования. Поскольку $OB=OC$ и $OE=OC$ , то $OB=OE$ . Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре отрезка $BE$ , а этот перпендикуляр проходит через точку $A$ (потому что $AE=AB$ ). Значит, треугольники $OAB$ и $OAE$ расположены симметрично относительно прямой $OA$ , а не накладываются частично. И поэтому равенство прямого и тупого углов не получается.

Рассматривая арифметические парадоксы, авторы статьи отмечают что, используя деление на нуль, можно доказать, что любое число равно любому другому. Необходиме алгебраической правила о том, что квадратный корень из положительного числа имеет два противоположных значения, также приводит к ошибкам и противоречиям. Читатель предлагается самостояльно разобраться в парадоксе

$1 = \sqrt{1 \cdot V - 1} = (\sqrt{1})^2, \text{ т. е. } 1 = -1.$

Приведены примеры бесконечных числовых рядов, в частности знаменный ряд $1-1+1-1+1-1\dots$ , доставивший немало хлопот Лейбницу, а также ряд, эквивалентный натуральному логарифму числа $2: \ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \dots \approx 0,69315$ .

Путем некоторых преобразований, недопустимых с точки зрения теории бесконечных рядов $*$ ), можно получить парадоксы.

*) В «Кванте», 1974, № 9 была опубликована статья М. Л. Гервера «От перемены мест слгааемых». В ней датася предварительные сведения из теории бесконечных рядов. Прочитав эту статью, вы легко сможете обяснить причину этих парадоксов.

стой эксперимент для определения энергии взрыва: в спокойном воздействие клочи бумаги упал бы к его ногам, а когда через несколько секунд после взрыва придет фронт ударной волны, они упадут несколько кимпантираммидальные в направлении распространения волны. По расстоянию от точки взрыва и смещению воздействия уdarной волны можно вычислить энергию взрыва. Эти вычисления Ферми проделали заранее, подготовив таблицу, по которой он мог сразу же определить энергию в результате такого грубого, но простого измерения… Ха-рактерно, что его ответ оказылся очень близким к результату аккуратно проведенных официальных измерений. Но последний появился через несколько дней после изучения записей, а Ферми получил свой чертеж несколько секунд.

Часто в физике, да и только в физике, разработка простых и нестандартных методов измерения определяет успех эксперимента, помогает разобраться в природа изучаемого явления. Приходится только желать, что вопросу «как» не очень пока взведет в литературе для школьников. И именно это причине следует приветствовать ebпуск необольной книги В. Н. Ланге «Экспериментальные физические задачи на смекалку» (серия «Библиотека физико-mатематической школи», «Наука», 1974).

Во всех 116-ти задачах этой книги задается вопрос «как». Это не обычный задачик, где все распределено по разделам: механика, электричесво, оптика, ведь для решения многохарактеристичных задач требуется знать большие, чем одну главу школьного учебника. Названня разделов звучат непrivibuous: «В домашней обстановке», «На озере», «На прогулке», «В космос-

дующее: шар размером с Солнце можно так разрезать на отдельные части, не имеющие общих точек, и затем так сложить эти части, не скимая и не растявая ни одну из них, что в результате Солнце превращается в горошину и помещается в заднем кармане брюк.
Горошина же в свою очередь может быть так разрезана и сложена опять, что она заполнит всю видимую Вселенную, причем не будет никаких пустот. Никакая сказка, никакая фантация не создают бы того, что dalla сторогая математическая логика. Эти результаты «представляют собой постоянный вызов воображению и являются вкладом в развитие математических понятий».
Вторая статья — «Кризис интуиции» — принадлежит математике Гансу Хану; статья посвящена свойством интуиции, ее роли в математике, ее способности порождаать парадоксы.
Автор рассматривает, какова роль интуиции в геометрии, и показывает, что «далее в той ветви математики, которая считается основной и первоначальной, роль интуиции постепенно сходит на нет, чтобы, наконец, окончательно не исчезнуть».
Например, кривую линию с древних времен попимали как геометрическую фигуру, вычерчивающую движущейся точкой.
Но италянский математик и логик Джузепп пе Пе ано доказал, что такая кривая может включать в себя целые участки плоскости (движущаяся точка может, например, пройти через каждую точку квадрата). Вставьте приводятся примеры кривых, обладающих и не обладающих «связностю в малом». Дается представление о предложенном голландским математиком Л. Браузом способе построения карты, в котором все граничные точки будут троичными, об идее определения размерности точных множств, о кривых, состоящих целиком из точек ветвления, существование которых доказал полский математик В. Серп и нс кий.
Автор статьи утверждает, что общая геометрия является высшим проявлением нашей интуиции, одна эта геометрия, как и другие математические и физические понятия, представляется собой логическую структуру.

Все》 — интересные физические задачи могут возникнуть везде.
Вот несколько задач из этой книжки.

Имеются две лины: одна — собирающая, второй — рассеивающая. Как определить, какая из них обладает большей оптической силой, не прибегая к помощи никаких приборов?
Вы хотите определить ширину реки в шагах Как это сделать, разумеется, приблизительно, с помощью сорванной на берегу травики?
Как с помощью сильного магнита (лучше подковообразного) определить, постоянным или переменным током питания электрической лампочка?

Тот, кто не сможет решить задачи сразу, найдет в книге не только подробные решения, но и раздел «Подсказки». Воспользовавшись им, можно не лишать себя удобольствящего задачу самостоятельно.

Правда, в книге много искусственных задач. Не слишком ли сложно, например, определить скорость влосипеда по количеству цинка, расторенного в элементе Грене? (в задаче 91 описывается устройство этого элемента).

К сожалению, и неоторные решения также не вполне удовлетворительны. Так, скажем, в решения задачи 18 для определения высоты дома нужно воспользоваться пустой консервной банкой и секундомером. При этом учитывается конечность скорости звука, но не обращается внимание на менее существенный фактор — сопротивление воздуха.

Но все же в целом интересна и нестандартна, хотя в ней довольно много простых задач. Большое число простых задач, конечно, нельзя считать недостатком книги. Она вплоне доступна школьникам, только приступоism к изучению физики, и может помочь им выработать физическую интуицию.

Нет сомнения в том, что эта книга окажется полезной и школьникам, и учителям.

К. И. Куцель