Пятая математическая олимпиада МЭСИ

57

Пятая математическая олимпиада МЭСИ

Олимпиада проводится в два типа: I — тур — заочный и II — очно-заочный.

К участю во втором очно-заочном.type будет допущены школьники, успешно сравнивается с задачами I.type и приславшие решения не позднее 15 марта 1975 года (по темпелю почты). Школьники Москвы для проведения очного.type будет приглашаться в МЭСИ. Иногородные школьники участвуют во втором.type заочно. Каждый участник олимпиады, допущенный ко второму.type, будет об этом известен. Чтобы ускорить получение ответа из института, приложите к письму конверт с вашим адресом.

Адрес МЭСИ: 119435, Москва, Б. Саввинский пер., 14, «Олимпиада-75».

Решение задач выполняется на русском языке в ученической терради. Проверка всех работ, представленных на олимпиаду, будет производится ЭВМ. Поэтому просим в конце терради помещить ответы к задачам, заполненных следующую таблицу

Номера задач 1 2 3 4 5

Ответы

Задание первого типа:

1. Найти целую часть числа
   $$10\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3}+\ldots+\sqrt{1975}}}.$$
2. Решить систему неравенств:
   $$\begin{cases} 3^x+4x-9|-8| \leq 3^x-4x-1, \\ 2^{x^2}>x+1. \end{cases}$$
3. Найти (в градуах) наименьшее положительное значение $x+y$, если
   $$(1+tgx)(1+tgy)=2.$$
4. Из вершины прямого угла треугольника опущен перпендикуляр на гипotenузу. На этом перпендикуляре, как на диаметре, построена окружность. Из концов гипotenузы к этой окружности проведены касательные, касающиеся ее в точках M и N и пересекающей при продолжении в точке L.
   Найти длины касательных MZ и NZ, если гипotenуза равна 6.
5. Шар радиуса 2,5 касается грани ABC парамиды ABCD в точке C и ребра BD в точке D. Продолжение ребра AD вторично пересекает поверхности шара в точке K так, что CK — диаметр шара.
   Найти объем парамиды, если BD=10, AC=12.
   И. Г. Венецкий, Ю. И. Соркин