Диофантовы уравнения и рациональные точки

2

Диофантовы
уравнения
и рациональные
точки

Области теории чисел, в котором исследуют целочисленные решения уравнения вида $P(x, y, \dots) = 0$, где $P(x, y, \dots)$ — многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами, называется диофантовым анализом, а сами эти уравнения — диофантовыми.

Названы они так по имену знаменного греческого математика Диофанта, жившего в III века и написавшего первый трактат о таких уравнениях.

Несмотря на то, что диофантовы уравнения составляют одну из самых старинных областей математики,

общие методы их решения наализоватьсясовсем недавно. В классических работах в основном расматривались линейные и квадратные диофантовы уравнения. Решение более сложных уравнений сильно продвинулось в последние 20—25 лет благодаря широкому привлечению к теории чисел ией из других областей математики, прежде всего — из геометрии и топологии. Говоря словами Н. Бурбаки, «…классическая геометрия… превращалась в универсальный язык всей математики, обладающий исключительной гибкостью и удобством». Геометрия предлагает не только языок, но и свои построения, своего интуицию.

Посмотрите, как нагляден геометрический язык. Возьмем, например, уравнение Ферма $x^n + y^n = z^n$, поделим обе его части на $z^n$ и обозначим $x/z$ через $u, y/z$ через $v$. Получим уравнение $u^n + v^n = 1$. Каждый решения $(x; y; z)$ уравнения Ферма в целях числа соответствует (при $z \neq 0$) решение уравнения $u^n + v^n = 1$ в рациональных числах.

Если мы рассмотрим теперь график этого уравнения на плоскости $(u, v)$,

4

Рассмотрим теперь кривую, задаваемую уравнением третий степени, которая тоже оказывается рациональной. Это кривая $y^2=x^3-x^2$. Она изображена на рисунке 3 и состоит из изолированной точки $O$ и ветви, симметричной относительной оси $x$.

Заддача 3. Обосновать рисунок 3.

Проведем через точку $O$ всевозможные прямые $y=tx$. Значения углового коэффициента $t$ можно откладывать на оси $t$, проведенной через точку $(1, 0)$ (рис. 4). Подставив $y=tx$ в уравнение кривой и сократив на $x^2$ (мы терем при этом особую точку $O!$), мы получим параметризацию

$$\begin{cases} x=t^2+1, \\ y=t(t^2+1), \end{cases}$$

при котором рациональный значением $t$ соответствует рациональные точки кривой $y^2=x^3-x^2$.

Заддача 4. Сформируйте и докажите обратное утверждение.

Итак, между рациональными точками кривой $y^2=x^3-x^2$ (без точки $(0, 0$)) и прямой $t$ удается установить взаимно однозначное соответствие. Геометрические они представляют собой центральное проектирование, изображенное на рисунке 4.

Аналогично можно найти рациональную параметризацию кривой $y^2=x^3+x^2$:

$$x=t^2-1, y=t(t^2-1).$$

Заддача 5. Постройте эту кривой и докажите, что если для значений параметра $t_1, t_2$ выполняется соответствие $(t_1-1)(t_2-1)(t_3-1)=(t_1+1)(t_2+1)(t_3+1)$, то три соответствующие точки лежат на одной прямой.

Итак, для каждой из рассмотренных нами рациональных кривых можно указать такое отображение прямой на кривой, при котором рациональные точки кривой отвечают рациональным точкам прямой. На самом деле это утверждение верно и для произвольной рациональной кривой, получаем из диофанта уравнения.

Возникают вопросы — бывают ли нерациональные кривы? Как описать все рациональные кривы? Ответ на эти вопросы известен. Например, все кривы первой и второй степени рациональных. Бывают рациональ-

5

Рис. 6.

ные кривые любой степени, но все такие кривые степени больше двух имеют особенность — точки самопересечения, точки самокасания и т. п. (рис. 5).

При $n > 2$ кривая Ферма $u^n + v^n = 1$ не является рациональной. Докажите, что это эквивалентно утверждению о том, что уравнение Ферма $x^n + y^n = z^n$ не имеет решений среди многочленов $x(t), y(t), z(t)$ степени не меньше единицы. (Этот факт доказан в статье Б. Мартынова «Teорема Ферма для многочленов» («Квант», 1976, № 8).)

Второй примем мы снова покажем сначала на примере окружности. Возьмем две рациональные точки на окружности — например, $P_1$ (3/5, 4/5) и $P_2$ (5/13, 12/13). Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — углы, соответствующие точкам $P_1$ и $P_2$. Точка, соответствующая углу $\alpha_1 + \alpha_2$, тоже будет рациональной, поскольку

$$\cos(\alpha_1 + \alpha_2) = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 - \sin \alpha_1 \sin \alpha_2, \sin(\alpha_1 + \alpha_2) = \sin \alpha_1 \cos \alpha_2 + \cos \alpha_1 \sin \alpha_2.$$

Таким образом, мы можем «складывать» рациональные точки на окружности по формуле $(u_1; v_1) \oplus (u_2; v_2) = (u_1 u_2 - v_1 v_2; u_1 v_2 + u_2 v_1)$ и получать новые рациональные точки. Это свойство окружности лежит в основе многочних красивых задач.

Задание 6. a) Пусть $P_1$ — рациональная точка окружности, соответствующая некоторому углу $\alpha$. Докажите, что точки $P_n$, соответствующие углам $n \in \mathbb{Z}$, тоже рациональны.

б) Докажите, что попарные расстояния между точками, построенными в пункте a), рациональны.

в) Постройте $n$ точек на плоскости, нижкие три из которых не лежат на одной прямой и попарные расстояния между которых — целые.

Оказывается есть еще кривые с таким свойством: точки на них можно «складывать», причем «сумма» рациональных точек — рациональная точка. Для таких кривых иногда удается из двух рациональных точек «вытягнут» целую серию новых рациональных точек.

Рассмотрим в качестве примера кривую

$$y^2 + y = x^3 - x.$$

Задача 7. Докажите, что эта кривая не рациональная.

Возьмем две точки на этой кривой и проведем через них прямую. Эта прямая пересечет нашу кривую еще в одной точке (рис. 6). Действительно, если мы запишем уравнение проведенной нами прямой в виде $y = kx + b$ и подставим $y$ в уравнение кривой, то получим уравнение третьей степени относительной $x$. При корня этого уравнения соответствует абсциссам трех точек пересечения прямой и нашей кубической кривой. Пусть $P_1(x_1; y_1), P_2(x_2; y_2), P_3(x_3; y_3)$ — три точки пересечения прямой $y = kx + b$ и кривой $y^2 + y = x^3 - x$. Имеет место соответствие

$$x_1 + x_2 + x_3 = \left(\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\right)^2.$$

Для доказательства подставим $y = kx + b$ в уравнение кривой. Получим уравнение $x^3 - k^2 x^2 - (2kb + k + 1)x - b^2 - b = 0$. Можно доказать, что $x^3 - k^2 x^2 - (2kb + k + 1)x - b^2 - b = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Следовательно, $x_1 + x_2 + x_3 = k^2$. Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящий через точки $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$, равен $\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$. Тем самым мы получим (*).

Учитывая, что $y_3 = kx_3 + b$, $b = \frac{y_2 x_1 - y_1 x_2}{x_1 - x_2}$, мы видим, что координаты третьей точки пересечения рациональны, если рациональные координаты первых двух точек. Это дает возможность получить новые решения уравнения $y^2 + y = x^3 - x$ в рациональных числах.

6

Рис. 7.

Замечание. Расстояние выше кубического уравнения может иметь совпадание корни. Это будет означать, что пряма и наша кривая касаются.

Мы построим сейчас бесконечную серию рациональных решений уравнения $y^2+y=x^3-x$ с помощью проведения секущих и касательных через известные рациональные точки. Заметим предварительно, что точки нашей кривой расположены парами — вместе с точки $P(x_0; y_0)$ на кривой лежит точка $P'(x_0; -1-y_0)$, симметричная ей относительно прямой $y=-\frac{1}{2}$. Это вытекает из точки $y^2+y=(-1-y)^2+(-1-y)$. Начнем с оцененной рациональной точки $P_1(0; 0)$. Симметричная к ней точка $P'_1(0; -1)$. Проведем через $P_1$ касательную (см. замечание). Уравнение этой касательной $y=-x$. Найдем точку ее пересечения с нашей кривой: $P_2(1; -1)$. Те, кто не умеют находить касательную, могут непосредственной подстановкой проверить, что рациональная точка $P_2$ лежит на нашей кривой. Из $P_2$ получаем точку $P'_2(1; 0)$.

Итак, на нашей кривой лежат четыре рациональные точки:

$$P_1(0; 0), \quad P'_1(0; -1),$$
$$P_2(1; -1), \quad P'_2(1; 0).$$

Теперь запускаем «конвейер». Проведем через $P_1$ и $P'_2$ прямую — это ось $x$. Она пересекает нашу кривой еще в одной очевидной точке $P_3(-1; 0)$. Вместе с симметричной точкой $P'_3(-1; -1)$ мы имеем шесть точек исходной кривой. Телерь соединим точки $P'_3$ и $P_1$. Получим прямую $y=x$. Третья точка пересечения находится легко: подставив $y=x$, получим кубическое уравнение $x^3-x^2-2x=0$, два корня которого изменены. При помощи () получаем новую точку $P_4(2; 2)$ — неочевидное решение исходного уравнения. Продолжим этот процесс. Чтобы получить точку $P_5$, проведем прямую через точки $P'_4(2; -3)$ и $P_1$. Легко проверить, что получится точка $P_5(1/4; -3/8)$. По рисунку 7 проследить процесс построения новых точек просто. Вычисления по формуле () также несложны. В результате получаем серию точек, приведенную в таблице.

Вряд ли кто-то из читателей скажет, что все найденные нами решения очевидны.

В этом месте статьи у автора даже двух захватил — сколько содержательных вопросов можно поставить,глядя на безобидный рисунок 7. Вот несколько из них:

1. Получим ли мы проведением секущих и касательных бесконечную последовательность различных точек или наш процесс «зациклится»?
2. Все ли рациональные решения исходного уравнения встретились в нашей последовательности?

7

3. Появятся ли еще целочисленные решения (как, например, высказали точки (6; 14) и (6; —15)) или все последующие решения будут нецелыми?

4. Случайно ли в знаменательх решения стоит квадраты и кубы целых чисел?

5. Из картины видно, что, например, точку $P_5$ можно получить иначе — проводя прямую через $P'_3$ и $P'_2$. Случайно ли это?

6. Почти очевидно, что все точки с нечетными номерами расположены на одной ветви кривой, а с четными — на другой. Как это строго доказать?

Первые три вопроса очень трудны. Сообщу, что наша последовательность точек бесконечна и в ней встретиется все точки с разциональными координатами.

Вместо посясений я приведу еще один пример. Расмотрим очень похожую кривой $y^2 + y = x^3 - x^2$. Конфигурация, аналогичная построенной нами, объявается на третьем шаг — см. рисунок 8. Интересно, что эта кривая не имеет других разциональных точек, а уравнение $y^2 + y = x^3 - x^2$ не имеет решения в разциональных числах, кроме четырех тривиальных.

Мы прикоснулись с вами к одному из самых сложных вопросов современной теории чисел.

Известно, что на любой кубищеской кривой существует конечное число точек, начав с которых описанный процесс, можно получить все ее разциональные точки. Это было доказано около пятидесети лет назад, однако до сих пор нет общего способа, позволяющего найти эти точки.

Способ узнать, заиклипется процесс проведения прямых или дакт бесконечную конфигурацию, известен. Совсем недавно было доказано, что конечная конфигурация может иметь более 11 точек и все случаи (кроме случая 10 точек) встречаются и хорошо изучены.

На большинстве известных кривых число исходных точек для построения всех разциональных точек мало — одна-две. Однако есть гипотеза, что для всякого $n$ существует кривые, требующие для построения всех решений $n$ точек. Пока примеры построены для $n \leqslant 7$.

И, наконец, последнее замечание: если мы в нашем примере с кривой $y^2 + y = x^3 - x$ неможко изменим обозначения — напишем $A_1$ вместе $P_1$, $A_{-1}$ (вместо $A'_1$, $A_k$ вместе $P'_k$ и $A_{-k}$ вместе $P_k$ (для $k \geqslant 2$), а «сложение» заданным несколько хитрей («суммой» двух точек назовем не третью точку пересечения прямой и кривой, а точку, симметрично ей относительно прямой $y = -\frac{1}{2}$), то получим формулу

$$A_m \oplus A_n = A_{m+n},$$

справедливую для всех целых $m, n$.