Изгибная волна в пластинках

26

В. Майер

Изгибная волна в пластинах

Волны, возникшие в пластинах, обладают очень интересными свойствами. С этим свойством можно познакомиться экспериментально. Но прежде надо научиться возбуждать волну. Это удобно сделать, например, с помощью звучащей стеклянной трубки.

Возьмите тонкую и длинную стеклянную трубку иажмите ее посередине в лапке шатива. Полотняной трипочкой, смоченной одеколоном или спиртом, плавно проведите от конца трубки к ее середине — вы услышите довольно сильный звук. Это в трубке возникла стоячая волна. В месте закрепления образователься узел смещений, а на концах — пучности (рис. 1).

Частота колебаний v и длина λ звуковой волны связаны с длиной l трубки:

$$v = \frac{v}{2l}$$

и

$$\lambda = 2l.$$

Здесь v — скорость распространения звука в трубке. Она определяется, прежде всего, материалом трубки и не зависит от частоты колебаний. Таким образом, для получения звуковых частот следует пользоваться трубками различных длины *). Например, если нужно получить звук вдвое более высокой частоты, стеклянную трубку необходимо укоротить в два раза.

Теперь сделайте следующее. Из диораля толщиной 1,5—2 мм вырежьте диск диаметром около 100 мм. Положите его горизонтально на слой поролона и равномерно посыпьте порошком марганцовского калия. Слегака коснувшись концом стеклянной трубки центра диска, трением возбудите звучание трубки. При этом

*) На самом деле, в каждой трубке можно возбудить не одно колебание, а целый набор. Колебание самой низкой частоты, определяемой формулой (1), называют основным моном. Все остальные частоты кратны основной; колебания с кратными частотами называют обертонами.

Рис. 1.

Рис. 2.

27

порошок собереется в несколько линий в виде концентрических окружностей с центром в точке касания трубки (рис. 2).

Объяснить результат этого опыта несколько. От конца трубки по диску распространяется круговая волна. Дойдя до края диска, она отражается от него — возникает отраженная волна. В результате интерференции падающей и отраженной волн в диске устанавливается стоячая волна, и порошок собереется в ее узлах. Расстояние между двумя соседними узлами, оченьindo, равно половине длины волны в диске.

Стояча волна в стеклянной трубке — продольная. А в диске? Казалось бы, в диске должна распростраться поперечная волна, поскольку источник — конец трубки — колеблется перpendикулярно диску. Оказывается, это не так. Испследования показали, что волна в диске одновременно и продольная, и поперечная (рис. 3). Такую волну называют иззебной. Для сравнения на рисунке 4 показана чисто поперечная волна.

Изгибная волна во многом отличается от обычной (продольной или поперечной) волны. Так, скорость $v_n$ изгибной волны не остается постоянной при изменении частоты колеба-

ний. Она изменяется пропорционально корню квадратом из частоты:

$$v_n \sim \sqrt{v}.$$

Заметим кстати, что явление зависимости скорости распространения волны от частоты называется дисерсей.

Поскольку длина изгибной волны $\lambda_n$, скорость $v_n$ и частота $v$ связаны соотношениям $v_n = \lambda_n v$ (общим для волн любой природу), можно записать

$$\lambda_n = \frac{v_n}{v} \sim \frac{1}{\sqrt{v}}.$$

Подставив сюда значение для частоты $v$ из формулы (1), получим

$$\lambda_n \sim \frac{1}{\sqrt{v}} = \sqrt{\frac{2l}{v}},$$

или

$$\lambda_n = k\sqrt{l},$$

(3)

где $k$ — постоянный коэффициент пропорционального.

Соотношение (3) можно проверить экспериментально. Приведем результаты одного из наших опытов. Мы использовали диоральный диск толщиной 1,7 мм и диаметром 120 мм. Изгибные волны в диске возникли стеклянными трубками длиной 60 и 30 см. Внутренний диаметр трубок был равен 0,5 мм, внешний — 4,5 мм.

В опите с первой трубкой (длина изгибной волны оказалась равной $\lambda_{n1} = 50,5$ мм, а в опите со второй трубкой — $\lambda_{n2} = 34,5$ мм. Отсюда

$$\frac{\lambda_{n1}}{\lambda_{n2}} = 1,46.$$

Согласно формуле (3), отношение длины волн должно быть равно отношению

$$\frac{\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_2}} = \sqrt{2}.$$

Так как $1,46 \approx \sqrt{2}$, опыт, с некоторой степенью точности, подтверждает как сам факт существования изгибных волн; так и справедливо соотношение (3).