Задачи М581—М585; Ф593—Ф597

22

Задачи

M581 — M585; Ф593— Ф597

М581. а) Существует ли трехзначное число, куб которого оканчивается на три семерки?
б) Для любого ли набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, оканчивающийся этим набором цифр?

А. Броцкий

М582. В окружность с центром O вписан четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналими. Докажите, что расстояние от точки O до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.

А. Келарев

М583. Расматривается наборы камней, масса каждого из которых не больше 2 кг, а общая масса набора — 50 кг. Из такого набора выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число D. Какое наибольшее значение может принять число D для всевозможных наборов камней?

А. Вайтроб, А. Печковский

М584. Можно ли представить все пространство в виде объедининия прямых, каждый две из которых — скрещивающиеся (то есть не лежат в одной плоскости)?

Ф. Вайнштейн

М585. На химической конференции присутствовало N учены — химков и алхимиков, причем химков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопроси химки отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, иногда — лугт. Оказавшийся на конференции математик про каждого ученого должен установить, химик тот или иалхимик. Для этого он любому ученому может задать вопрос: «Кем является такой-то — химком или алхимиком?» (В частности: «Кто Вы?»). Докажите, что математик может выяснить все, что требуется

a) за 4N вопросов; 6) за 2N — 2 вопроса;

b) * постраайтесь придумать способ, позволяющий установить, кто — химик, а кто — алхимик, за меньшее число вопросов (авторам известен довольно громоздкий способ, позволяющий сделать это за [3N/2] вопросов).

С. Коняшин, П. Блекер

23

Ф593. Обруч радиуса $r$ скатывается с высоты $H$ ($r \ll H$) без просkalyzывания по наклонной плоскости с углом $\alpha$ при основании и абсолотно упруго ударяется о гладкую стенку, перpendикулярую наклонной плоскости (рис. 1). На какую высоту поднимается обруч после удара, если коэффициент треня скольжения равен $\mu$?

М. Бородовский

Ф594. Представьте себе, что вы находите в жарко наполленной бане, а за окном — мороз. Куда повалит пар, если вы откроете форточку?

А. Варламов

Рис. 2.

Ф595. На рисунке 2 изображена зависимость тока от напряжения для стабилизатора постоянного тока — барретора. Барретор подключен последовательно с нагрузочным сопротивлением $R = 13$ Ом к батарее с ЭДС $\varepsilon = 26$ В. В каких пределах может изменяться ЭДС батареи, если ток нагрузки не должен изменяться более чем на 50 мА?

С. Козел

Ф596. Промежуток времени между двумя последовательными заттемями спутника Юптера Ио в течение года изменяется от минимального значения, равного 42 ч 28 мин 21,5 с, до максимального, равного 42 ч 28 мин 51,5 с. Пользысь этими данных, определять скорость света, считая, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите с радиусом 150 мл. км. Радиус орбиты Юптера города больше радиуса орбиты Земли, а скорость движения Юптера города меньше скорости движения Земли.

В. Белонучкин

Ф597. Магнетрон представляет собой двухэлектронную электронную лампу с цилиндрическим аномом радиуса $r$, вдоль оси которого расположена тонкая проводочка — катод. При нагревании катода он испускает электrons с энергий $E$. Магнетрон помещают в однородное магнитное поле, параллельное его оси. При каком значении индукции магнитного поля ток в аномой цепистанет равным нулю?