Заполним плоскость кривыми

43

6 (МФТИ, 1976). Точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC$ правильно треугольника $ABC$ за точку $C$. Точка $K$ — середина [СЕ]. Прямая, проходящая через точку $A$ перpendикулярно ($AB$), и прямая, проходящая через точку $E$ perpendикулярно ($BC$), пересекаются в точке $D$. Найти углы треугольника $BKD$.

7 (МГУ, физак, 1976). В треугольнике $KLM$, все стороны которого разлины, биссерриса угла $KLM$ пересекает сторону $KM$ в точке $N$. Через точку $N$ проведена прямая, пересекающая сторону $LM$ в точке $A$ такой, что $|MN| = |AM|$. Известно, что $|LN| = a$, $|KL| + |KN| = b$. Найти $|AL|$.

8 (МГУ, химак, 1978). На окружности радиуса 12 см с центром в точке $O$ лежат точки $A$ и $B$. Прямые $AC$ и $BC$ касаются этой окружности. Другая окружность с центром в точке $M$ вписана в треугольник $ABC$ и касается стороны $AC$ в точке $K$, а стороны $BC$ в точке $H$. Рассмотрение от точки $M$ до прямой $KH$ равно 3 см. Найти величины угла $AOB$.

9 (МГУ, физак, 1977). Радиус окружности, вписанной в равноведренный треугольник, в 4 раза меньше радиуса окружности, описанной около этого треугольника. Найти углы треугольника.

Заполним
ПЛОСКОСТЬ КРИВЫМИ

На нашем рисунке показано семейство кривых второго порядка, проходящих через точки $A$ ($0;0$), $B$ ($1;1$), $C$ ($1;2$), $D$ ($-1;2$).

Напомним, что кривой второго порядка называется график уравнения

$$a_1x^2 + a_2xy + a_3y^2 + a_4x + a_5y + a_6 = 0$$

где не все три числа $a_1, a_2, a_3$ равны нулю. Полный список кривых второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающих или паралельных), прямая, точка, пустое множество.

Оказывается, через точки $A, B, C, D$ и любую точку $E$ ($x_0, y_0$), отличную от них проходитровно одна кривая второго порядка.

(Окончание см. на с. 59)