Окружность девяти точек и прямая Эйлера

34

Окружность
девяты точек
и пряма Эйлера

Самый простой из многоугольников — треугольник — издавана привлекательными геометров. После Евклида красивые теоремы доказывали о нем такие замечательные ученыые древности, как Аполлоний, Герон, Менелай и Птолемей. Ближе к нашему времени треугольник увлекались Эйлер, Понселе, Симсон, Дезарг, Клейн, Адамар.

В нашей дни треугольник немного вышел из моды, но не утратил своей быющей красоты. В этом вы сможете убедиться, прочитав про связанные с треугольником окружность и прямую, носящие имя Леонарда Эйлера. А рассмотренные затем задачи, мы надемся, покажут, что вокруг треугольника еще есть, над чем подумать.

Окружность Эйлера
Начнем со следующей замечательной теоремы, опубликованной Эйлером в 1765 году:

Основания высот, основания медиан и точки, расположенные на середина отрезков от ортцентра*) до вершин треугольника, лежат на одной окружности.

Окружность эта получила название окружности девяты точек или окружности Эйлера (рис. 1).

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, обратим внимание на несколько простых, но полезных фактов, связанных с геометрией треугольника (рекомендуем доказать их самостояльно).

Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $M$ — точка пересечения его медиан (остальные обозначения см. на рисунке 1).

(1) Точки $A_3, B_3, C_3$ являются центрами окружностей, описанных, соответствующего около треугольников $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$. (Указание. АН, ВН, СН — диаметры этих окружностей — см. рис. 2).

(2) Треугольники $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$ подобны между собой и подобны исходному треугольнику $ABC$. (Указание. Соответствие вершины обозначены одинаковыми буквами; $ABC = A\widehat{HC} = A\widehat{B_1C_1}$).

(3) Пусть $A, B$ и $C$ — величины соответствующих углов треугольника $ABC$. Если эти углы — остые, то величины углов треугольника $A_1B_1C_1$ равны, соответствующей, $180^\circ - 2A, 180^\circ - 2B, 180^\circ - 2C$; если же, например, $A > 90^\circ$, то они равны $2A - 180^\circ, 2B, 2C$ (рис. 2).

(4) Расстояние от точки $O$ до каждой стороны треугольника ввода меньше, чем расстояние от противолюшной вершины до ортцентра $|A_2O| = \frac{1}{2}|AH|, |B_2O| = \frac{1}{2}|BH|, |C_2O| = \frac{1}{2}|CH|$.

(Указание: Расстояние треугольника, стороны которого проходят через точки $A, B, C$ паралелно $BC, AC, AB$ соответственно.)

35

Прямая Эйлера

Заметим, что из утверждения (4) сразу следует, что точки O, M и H лежат на одной прямой, поскольку прямая OH делит медиану AA₂ в том же отношении, что и точка M. Эта прямая носит название прямой Эйлера треугольника ABC. Легко видеть, что |OM| = $\frac{1}{2}$ |MH|.

Докажем теперь, что точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности. Ограничимся рассмотренем случай остроугольного треугольника ABC. (Для тупоугольного треугольника проведите рассужждение самостояльно.)

Сначала заметим, что точки A₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности (рис. 3), поскольку B₂A₁ и C₂A₁ — медианы прямогольных треугольников AA₁C и AA₁B, проведенные на гипотенузы, и, следовательно, B₂A₁C₂ = B₂A₁A + AA₁C₂ = A₁A B₂ + A₁A C₂ = A = B₂A₂C₂. Абсолютно аналогично доказывается, что точки B₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности (точка B₁ — точка «того же сорта», что и A₁!) и что точки C₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности. Таким образом, шесть точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ лежат на одной окружности. С другой стороны, если мы рассмотрим, например, четырехугольник A₃B₃A₂C₃ (рис. 4) и выразим какие-то два его противоположных угла через углы A, B и C (что нетрудно сделать), мы убедимся, что их сумма равна 180°; отсюда следует, что четырехугольник A₃B₃A₂C₃ — вписанный. Таким образом, шесть точки A₃, B₃, C₃, A₂, B₂, C₂ также лежат на одной окружности. Значит, все девять точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности (точки A₂, B₂, C₂ входят в общестерки). Теорема Эйлера доказана.

Свойства прямой и окружности Эйлера

(5) Радуус окружности девяты точек равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и центром琢отции в точке H (именно так расположены по отношению друг к другу треугольники ABC и A₃B₃C₃).

(7) Эти же окружности琢отции, но уже с коэффициентом $(-\frac{1}{2})$ и центром琢отции в точке M (так расположены по отношению друг к другу треугольники ABC и A₃B₃C₃).

(8) Центр окружности девяты точек лежит на прямой Эйлера в середине отрезка OH.

36

Трудная задача

На тему окружности девяты точек и прямой Эйлера составлено много интересных задач. Вот одна из них, опубликованная в книге «Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly» (M., «Мир», 1977):

Дан треугольник ABC; AA1, BB1, CC1 — его высоты. Доказать, что прямы Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C пересекаются в такой точке P окружности девяты точек треугольника ABC, для которого один из отрезков PA1, PB1, PC1 равен сумме двух других отрезков (рис. 5).

Пусть, как и прежде, H — ortоцентр треугольника ABC, A3, B3, C3 — середины отрезков AH, BH, CH (они, напомним, является центрами окружностей, описанных около подобных треугольников AB1C1, A1BC1, A1B1C).

Докажем сначала вспомогательное утверждение. Если через точки A3, B3, C3 проведены прямы, одинаково расположенные по отношению к треугольникам AB1C1, A1BC1, A1B1C, то такие прямы пересекются на окружности девяты точек треугольника ABC.

Обозначим через P точку пересечения ккихнбуд двух из этих прямы — направер, прямы, проведенных через A3 и C3 (рис. 6). Так как прямы A3P и C3P одинаково расположены относительно треугольников AB1C1 и A1B1C, A1A3P=A1C3P. Значит, окружность, проходящая через точки P1, A1, C3, пройдет через точки A3. Но тогда эта окружность — окружность девяты точек треугольника ABC! Таким образом, любые две из проведенных прямы пересекются на окружности девяты точек треугольника ABC, отстояла легко заключить, что все три прямы пересекются в одной точке.

Для завершения доказательства предположим теперь, что P — точка пересечения прямы Эйлера. Легко видеть (проверьте!), что числа |PA1|, |PB1|, |PC1| пропорциональны

(*) To есть образующие с соответствующими сторонами одинаковые углы.

Рис. 5.

Рис. 6.

синусом углов PA3A1, PA3B1, PA3C1. Положим PA3A1=φ.

Предположим, что △ABC — остроугольный. Пользовать свойством (3) и рисунком 5, найдем
PA3B1=φ+A1A3B1=φ+A1C1B1=
=φ+180°-2C,
PA3C1=A1A3C1-φ=A1B1C1-φ=
=180°-2B-φ.

Таким образом, нам нужно доказать, что одно из трех чисел
sin φ, sin (2C-φ), sin (2B+φ)

(в данном случае — второе) является суммой двух других.

Рассмотрим треугольник AOH (рис. 7). Поскольку △ABC≈△AB1C1 и точки O, A3 является центром описанных около этих треугольников окружностей, AOH=φ и OAC=HAB=90°-B. Значит,
OAH=A-OAC=A1AB=
=A-(90°-B)-(90°-B)=2B+A-180°,
откуда sin OHA=sin (360°-2B-A-φ) =
=sin (2B+A+φ).

Если R — радиус окружности, описанной около △ABC, то |OA|=R; в силу свойства (4) и равенства A2OB=1/2 COB=A

|AH|=2|OA2|=2R cos A.

По теореме синусов для треугольника OAH получаем
R/(sin (2B+A+φ))=2R cos A/sin φ,
sin φ=2 cos A sin (2B+A+φ),
sin φ=sin (2A+2B+φ)+sin (2B+φ),
sin φ=-sin (2C-φ)+sin (2B+φ),
sin (2C-φ)=sin φ+sin (2B+φ).

Попробуйте самостояльно проделать доказательство в случае, когда треугольник ABC — тупоугольный.

В заключение приведем без доказательства еще один замечательный факт, связанный с окружностью девяты точек:

Теорема Фейербаха. Окружность девяты точек касается впи-

37

Санной и трех внешисанных окружностей*) данно треугольника.

Все известные нам доказательства этого утверждения весма громоздки и носят, по существу, чисто вычислительной характеристик. Возможно, вам удastore найти хорошее геометрическое доказательство теоремы Фейербаха.

Желающим поближе ознакомиться с геометрией треугольника мы рекомендуем две книги:

С. И. Зетель «Новая геометрия треугольника» (М., «Учредгиз», 1962).

*) Внешисанная окружность — это окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолженной двух других его сторон.

Колебания и матрики

(Начало см. на с. 30)

становится равной нулю. Это означает, что произшла полная передача энергии от первого матрика ко второму. Затем процесс поддет в обратном направлении.

Гораздо труднее математически описать колебания связанных матриков с разными массами, но одинаковыми длинами нитей (при желании попробуйте сделать это самостояльно). Заметим только, что в этом случае амплитуда первого матрика в нуль не обращается — энергия хотя и передается другому матрику, но не полностью. Это вы тоже наблюдают на опыте.

Если же длинны матриков не одинаковы ($l_1 \neq l_2$), то, как вы видели на опыте, резонанса не будет. В математическом описании это скажется в том, что станет невозможным переходот системы (4) к системе (5).

В заключение советует вам самостояльно исследовать вопросы о зависимости колебаний связанных матриков от жесткости пружинки, от положения места ее крепления к нитям и от масс матриков. Попробуйте, например, решить задачу для случая, когда масса одного матрика города больше массы другого, и сравните полученный результат с опытом (для этого один из матриков прикрепите пружинкой к стене).