Задачи

50

Задания

1. При каких значениях $n$ в выражении
   1**2…*$n$ = $n+1$
   можно так расставить знаки «+» и «—» вместе *, чтобы получилось верное равенство?

2. Треугольник со сторонай 3 разбит на двеять маленьких треугольников со сторонай 1 (см. рисунок).

a) Расставьте в них числа от 1 до 9 так, чтобы суммы четырех чисел в трех треугольниках со сторонай 2 были одинаковыми.

6. Какие значения может принимать эта сумма?

3. Двое детей, совершенное запутавшихся в подсчете дней недели, оставилиись по дороге в школе, чтобы во всем разобраться.

— Когда «послезавтра» станет «вчера», — сказал Присилла, — то «сегодня» будет так же далек от воскресения, как и тот день, который был «сегодня», когда «позавчера» было «завтра».

В какой день недели произносился этот голосомный лепет?

4. Можно ли раскрасти квадратную сетку размером $n \times n$ ($n \geqslant 3$) в шесть цветов так, чтобы в любом прямоугольнике $2 \times 3$ содержались бы клетки всех шести цветов?

5. В сказочной стране Перра—Терра среди прочих общеителей проживают кабабасы и барабасы. Каждый кабабас знаком с шестью кабабасами и девятю барабасами. Каждый кабабас знаком с десятью кабабасами и семью барабасами. Когда в этой стране больше — кабабасов или барабасов?

Эти задания нам предложили Ю. Алекков, Ф. Бартенев, А. Кабризон, Н. Нечветаев. Задача № 3 взята из книги С эма Лойда «Математическая мозаика» (М., «Мир», 1980, задача 31).

52

«Прибор» для опыта — своим руками.

Члены жюри готовят опыты для физического конкурса.

Фото Е. Шаблызина и А. Клопотовича люют из двустволок. Одной шайбе пуля попадает в центр, а другой — в бок. Пули застревают в шайбах. Какая шайба быстро дokatится до стены? Треннее отсутствует.

Ответ прост: так как начальный импульс у шайб с пулями одинаков и в данных условиях «шайба — пуля» импульс сохраняется, то обе шайбы достигнут стены одновременно. Но многие, кто решал эту задачу, приводили такие рассудения: энергия пуля, попавшей в бок шайбе, расходуется на врашение и на поступательное движение шайбы, а энергия второй пуля — только на поступательное движение. Значит, вторая шайба имеет большую kineticскую энергию и движется быстрее. Где здесь ошибка?

Задача 2 (теоретическая физика). Один шарик лежит на столе, а другой — подвешен на нити. У какой шарик больше тепломкость, если они абсолотно одинаковые?

Вспомним, что тепломкость — это количество теплоты, которое надо передать телу, чтобы нагреть его на один градус. Поскольку шарики одинаковые, изменение их внутренней энергии одинаково. Оdnako, нагреваясь, тела расширяются. При этом у шарика, лежащого на столе, центр тяжесте поднимается, а у виссящего на нити — опускается. Следова-

53

тельно, шарику, лежащему на столе, надо будет добавить энергию, чтобы приподнять его центр тяжеста, а шарик, висящий на нити, часть своей потенциальной энергии переведет в теплую. Ясно, что у первого шарика теплоемкость большие.

Задча 3 (экспериментальная физика). Если катушка потянуть за нитку, держа ее низко над землей, катушка показится к тянущему. А если поднять нитку выше, катушка показится в противоложную сторону. Почему?

Посмотрите на рисунок 1. Точка A — мгновенный центр врашения катушки. Очевидно, что, если сила натяжения нитки создает опрокидывающий катушка момент относительно точки A, катушка показится в ту сторону, в которой ее опрокидывают. Так, натяжение нитки 1 заставляет катушка катиться влево, натяжение нитки 2 — впраvo, а натяжение нитки 3 лишь приподнимет катушка.

Задча 4 (наука о Земле). Почему бессмысленно указывать в календарях время восхода Солнца в Москве с точностью до секунды?

Оказывается, в различных частях Москвы восхода начинается в разное время, и это различное доходит до двух минут. Но это происходит не потому, что Москва расположена на семи холмах, на вершинах которых восхода встречает раныше, чем в низине, и не потому, что нейсно, что считать восходом — когда Солнце лишь показалось или когда оно целиком вышло из-за горизонтала (об этом всегда можно договориться). Все дело в том, что Москва имеет относительно большую протяженность.

Оценим, какую часть соответствующей параллели занимает Москва. Длину этой параллели найдет, зная длину паряжского меридиана (~40000 км) и широту, на которой расположена Москва (~60°): l~40000 км×0,5~20000 км. Считая, что диаметр Москвы d~30 км, получим, что искомая часть равна d/l~30/20000~1,5·10⁻³. Следовательно, время восхода на восточной окранне Москвы отличается от времени восхода на ее западной окранне на Δt~24 ч·1,5·10⁻³~2 мин.

Задча 5 (игровая математика). На шахматной доске в левом нижнем углу стоит ладья. Двое цераюших по очереди движют эту ладья (за один ход ладья может перемещаться на любое число полей по вертикали или горизонтали). В данной церемонии считается тот, кто привед ладью в правый верхний угол. Кто выщерывает при правальной церемоне: начинающий церру или тот, кто ходит вторым?

Если задча сразу не подается решения, полезно рассмотреть какой-нибудь ее частный случай или, наоборот, обобщить задачу. Расмотрим игру на доске 3×3 (рис. 2). Ясно, что после любого хода первого игрок (на b1, c1, a2, a3) второй может поставить ладью на b3 или c2 и выиграть. Если бы игравлась на доске с полученнойми «крыльями» (рис. 3), второй игрок выигравал бы после того, как первый поставит ладью на эти «крылья» (ходом на b3 или c2). Если теперь свести игру на доске n×n к игре на доске