Простые, двойные, гармонические

Квант 1982, №7 с. 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 Тег PIFQ

В. Тадеев

Простые, двойные, гармоничческие

Никто теперь точно не знает, как в 1640 году семнадцатилетний Блез Паскаль (о его жизни см. брошюру С. Г. Гиндикина «Рассказы о физиках и математиках» (M., «Наука», 1981)) допумался до теоремы, носящей ные его имя. Возможно, продолжив зачем-то стороны вписаного в окружность шестиугольника, он просто заметил, что точки пересечения M, N и K оказались на одной прямой (см. заставку). Слушайно ли это? Юноша взял другой шестиугольник, но точки M, N и K упорно ложились на одну прямую.

Мы не знаем, какие эмоции возникли в его душе. Известно только, что он довольно быстро продолжал доказательство обнаруженного им красного факта и тут же его обобщил. А затем… затем из теоремы, как из рода изобилия, посылась следствия. Воспследствии теорема Паскала оказалась одним из важнейших положений нового раздела математики — проективной геометрии, нашейшего интересные применения в геодезии и картографии.

В этой статье мы докажем теорему Паскала для okружности и обсудим некоторые «проектные понятия», позволяющие ее обобщить.

Простые отношения

Пусть на прямой l заданы точки A, B и C (рис. 1). Для коллинеарных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ существует такое (единивенное) число $\lambda$ , что $\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{CB}$ . Это число $\lambda$ называется простым отношением точки A, B, C; обозначает оно через (АВС). Когда точки B и C совпадают, простое отношение (АВС) не определяено. Из определения ясно, что

$|(ABC)| = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{CB}|}.$

Точнее, $(ABC) = \frac{|\vec{AC}|}{|\vec{CB}|}$ , если точка C

расположена между $A$ и $B$ , и $(ABC) = -\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|}$ в противном случае.

Фиксируем теперь на $l$ точки $A$ и $B$ и исследуем, как изменяется простое отношение $(ABC)$ в зависимости от положения точки $C$ . Для этого помещим начало координат в точку $B$ , а ось абсцисс направим вдоль $l$ от $A$ к $B$ (рис. 2). Если абсциссу точки $C$ обозначит через $x$ и положить $|AB| = a$ , то $|\overrightarrow{AC}| = a + x$ и $|\overrightarrow{CB}| = x$ . Легко видеть, что $(ABC) = v(x) = -\frac{a+x}{x}$ . (1)

Из графика функции $v$ (рис. 2) видно, что положение точки $C$ на прямой $AB$ однозначно определяется числом $(ABC)$ .

Возьем на плоскости прямые $l$ , $l'$ и точку $P$ вне их. Произвольной точке $A$ прямой $l$ поставим в соответствии точку $A' = (PA) \cap l'$ прямой $l'$ . Это отображение прямой $l$ в прямую $l'$ , которое естественно называть центральным проектированем (примой $l$ в прямую $l'$ ), в дальнейшем будет играть важную роль.

К сожалению, если $l \parallel l'$ , простое отношение точки при центральном проектировании не сохраняется (рис. 3). Однако из него легко строится другое отношение, уже обладающее нужным нам свойством.

Двойные отношения

Пусть на прямой $l$ заданы точки $A, B, C$ и $D$ (рис. 4). Число $\frac{(ABC)}{(ABD)}$ называется двойным (или сложным, или ангармоничским) отношением точки $A, B, C, D$ ; обозначает оно через $(ABCD)$ . Таким образом,

$|(ABCD)| = \frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|} : \frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{DB}|}.$

Когда точки $A$ и $D$ совпадают, $(ABD) = 0$ (см. (1)); в этом случае двойное отношение $(ABCD)$ не определяено. Не определено оно, конечно, также при $B = C$ . При $B = D$ естественно положить $(ABCD) = 0$ .

Фиксируем теперь на $l$ точки $A, B$ и $C$ . Поместим начало координат в точку $B$ и направим ось абсцисс

Рис. 5.

$(BACD) = (ABDC) = (CDBA) = (DCAB) = \frac{1}{\omega}$ ;
$(BDAC) = (DBCA) = (ACBD) = (CADB) = 1 - \omega$ ;
$(DACB) = (ADBC) = (CBDA) = (BCAD) = 1 - \frac{1}{\omega}$ ;
$(DBAC) = (BDCA) = (ACDB) = (CABD) = \frac{1}{1 - \omega}$ ;
$(ADCB) = (DABC) = (CBAD) = (BCDA) = \frac{1}{1 - \frac{1}{\omega}}$ .

Докажем, что двойное отношение при централином проектировании сохраняется (рис. 5). Обозначим, соответственно, через $h$ и $h'$ расстояния от $P$ до прямых $l$ и $l'$ . Расматривая площади, например, треугольников $PAC$ и $PA'C'$ , получаем

$\frac{h \cdot |AC|}{h' \cdot |A'C'|} = \frac{|PA| \cdot |PC|}{|PA'| \cdot |PC'|}.$

Отсюда

$|A'C'| = |AC| \cdot \frac{|PA'| \cdot |PC'|}{|PA| \cdot |PC|} \cdot \frac{h}{h'}$

Из аналогичных равенств для $|C'B'|$ , $|A'D'|$ и $|D'B'|$ получаем

$\frac{|A'C'|}{|C'B'|} : \frac{|A'D'|}{|D'B'|} = \frac{|AC|}{|CB|} : \frac{|AD|}{|DB|}$

Поскольку точки $A, B, C, D$ на $l$ и $A', B', C', D'$ на $l'$ расположены в одинаковом порядке, простые отношения $(ABC)$ и $(A'B'C')$ , а также $(ABD)$ и $(A'B'D')$ имеют одинаковые знаки. Значит, $(A'B'C'D') = (ABCD)$ .

Рис. 6.

Паскалевы тройки

Тепер можно пожинать плоды на ших трудов.

Постройте (только аккуратно) вписанный в окружность шестиугольник $ABCDEF$ и продление пары сторона $FE$ и $BC$ , ED и $AB$ , DC и $FA$ до пересечения в точках $M, N, K$ соответственно*). Если вы проделаете эти построения достаточно точно, вы увидите, что точки $M, N, K$ лежат на одной прямой (рис. 6). Эту тройку точек называют паскалевой тройкой, утверждение об их колlinearности — теоремой Паскалая.

Кстати, сколько вам лет? Семнадцать? Если вы внимаете прочитали предыдущие

*) О случае, когда хотя бы одна пара прямых не пересекается, будет сказано ниже.

страницы, вы находите на равных с Паскалем, только что сделавшим свое наблюдение. Не хотите ли посмотреть, сколько времени вам потребуется, чтобы самостоятельно найти доказательство теоремы Паскаля?

Докажем эту теорему. Расмотрим две четверки прямых: FE, FD, FC, FA и BE, BD, BH, BN. Они конгруэнтны, так как углы между соответствующими прямыми равны (например, EFD = EBD, либо они опираются на общую дуг DE). Значит, по доказанному в предыдущем разделе (RDCK) = (EDHN) (здесь R = (FE) ∩ (CD), H = (BC) ∩ (ED)).

Обозначим точку пересечения прямых MK и EH через N’. Тогда (EDHN’) = (RDCK). Следовательно, (EDHN) = (EDHN’), откуда N’ совпадает с N.

Упражнения

Выбирая всевозможными способами пары прямых, соединяющих вершины вписанного в окружность шестиугольника ABCDEF, убедитесь, что имеется 60 парaclesых треок.

3*. Исследуйте взаимное расположение 60 парых, на которых лежат эти треоки.

Сформируйте и докажите теорему Паскаля для вписанного в окружность пятугольника (Указание. Расмотите его как шестиугольник с совпавшими вершинами E и F, а касательную в точке E как предельное положение секущей EF), четырехугольника и треугольника.
Постройте одной линейкой касательную к данной окружности из данной точки.

Что бы из теоремы Паскаля получить следствия, о которых говорилось в начале статьи, придется сперва немного потребится. Мы изучим два важных типа преобразования плоскости — паральное проектирование и центральное проектирование. Эти преобразования лежат в основе проектирования.

Вы знаете, что перемещения плоскости оставляют неизменными расстояниям между точками; поэтому они сохраняют размеры и форму фигур. При подобиях сохраняются лишь отношения расстояний — фигуры могут изменяться в размере, но сохраняют свою форму. Хуже обстоит дело с паральным и центральным проектированием — они искажают и форму фигур. Например, при паральном проектировании

лених. Возникновение на экране тени от плоского предмета моделирует центральное проектирование (рис. 12).

Matematическое определение здесь следующое: пусты даны плоскости π и π’ (параллельные или пересекающие) и точка P вне этих плоскостей; каждой точке A ∈ π поставим в соответствие точку A’ ∈ π’ пересечения прямой PA с плоскостью π’ (рис. 13); полученное отображение плоскости π в плоскость π’ называется центральным проектированем (плоскости π в плоскость π’ из центра P).

К сожалению, если плоскости π и π’ не параллельны, центральное проектирование не является ни отображением в сея плоскость π, ни отображением на всю плоскость π’. В самом деле, если через P проведится плоскость π₁, параллельную π’, то точки прямой l = π₁ ∩ π при центральном проектировании из P никака не отображается (рис. 14, а). Аналогично, если через P проведится плоскость π₂, параллельную π, то в точки прямой l’ = π₂ ∩ π’ при центральном проектировании из P никака точек плоскости π не переходят (рис. 14, а).

Постотрим, что делается при центральном проектировании с прямыми плоскости π. Как уже было сказано, прямая l (и любая ее точка) ни во что не переходит. Любая прямая плоскости π, параллельная l, переходит в прямую плоскости π’, параллельную l’ (рис. 14, б). Примая плоскости π, пересекающая l, без точки пересечения — «проколотую прямую» плоскости π’ — в прямую без точки ее пересечения с l’ (рис. 14, в). (В дальнейшем, чтобы не загромождать формулировки отворками, мы в подобных ситуациях будем допускать волность речи и говорить коротко, что прямая переходит в прямую.)

Заметим далее, что пересекающие прямые, если точка их пересечения не лежит на выделенной прямой l, переходит в пересекающие прямые (рис. 14, е), в противном случае они переходят в параллельные (рис. 14, д).

Таким образом, можно сказать, что при центральном проектировании в основном прямые переходят в прямые, притом пересекающие — в пересекающейся. Слова «в основном» означает «кроме исключений и оговорок, указанных выше».

Оговорок об исключительных случаях в формулировках о проектировании можно избежать, если считать, что «параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке» и что «все бесконечно удаленные точки данной плоскости лежат на одной (бесконечно удалённой) прямой». Волее того, словам в качестве можно придать точный математический смысл; тогда, присоединяя к нашей обчиной (евклидовой) плоскости ее «бесконечно удаленные точки», мы получим так называемую «проективную плоскость».

На проективной плоскости теорема Паскала выполняется без оговорок: даже в случае правильного шестиугольника противоположные (параллельные) прямые «пересекаются в трех бесконечно удаленных точках, которые все лежат на одной (бесконечно удаленной!) прямой».

Однако мы здесь не будем занимается этим страным математическим объектом. К этой теме «Квант» вскоре вернется.

Кончексные сечения

Постотрим теперь на примере окружности, в какой мере центральное проектирование искажает форму фигур. Расмотрим окружность S, лежащую на плоскости π, и точку P над этой плоскостью (рис. 15). Во что перейдет окружность S

Рис. 15.

при центральном проектировании из точки P, зависит, разумется, от расположения плоскости π′, на которой мы проектируем. На рисунке показаны четыре слуха (плоскости π′1, π′2, π′3, π′4); при этом получаются соответствие, эллипс, парабола, гипербола и пара пересекающих прямых. На рисунке хорошо видно, что совокупность проектировших прямых образует конус; поэтому перечисленные кривы называют конищеским сечениями.

Если центральное проектирование так сильно искажает форму фигур, то что же оно все-tаки сохраняет? Мы знаем, что оно переводит прямые в прямые, то есть сохраняет коллинеарность точек (здесь только нужно помнить об оговорках, сделанных выше!). Кроме того, оно сохраняет двойное отношение четырех точек — это мы фактически доказали ранее. Оказывается, этих двух фактов достаточно, чтобы получить много глубоких геометрических теорем, в частности — следствие из теоремы Паскала.

Упражнения

Сформируйте и доказите теорему Паскала для шестиугольника, вписанного в эллипс, параболе и гиперболе.
Докажите, что эллипс, параболе и гиперболе однозначно определяются пятьюками.
Укажите способ построения одной линейкой по пяту точкам эллипса других его точки.
Постройте одной линейкой касательную к данному эллипсу из данной точки. То же — для парабoles и гипербoles.

Гармонические четырёх

Еще древнегреческие математики называют коллинеарную четырёх точек A, B C, D гармонической, если (ABCD) = —1.

Приведем пример. Возьмем произвольный треугольник NAB и проведем биссертису NC «внутреннего» угла ANB и биссертису ND «внешнего» угла KNB (рис. 16). Как известно («Геометрия 6—8», задача 914), $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{|NA|}{|NB|}$ . Это утверждение можно записать и так:

$ABC = \frac{|NA|}{|NB|}.$

Пусть $A$ — точка на оптической оси, $A'$ — ее изображение, $F$ — фокус зеркала, $a$ — его центр ( $|PF| = |FO|$ ). Тогда четверка точек $P, O, A', A$ является гармоничческой. Доказите это самостояльно, воспользоваться формулой

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$

известной из курса физики.

Древнегреческие учены, кроме арифметической ( $a - b = c - d$ ) и геометрической ( $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ), рассматривали еще гармоничскую пропорцию:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{c} - \frac{1}{d}$ (этому равенству удовлетворяют координаты $a, b, c, d$ гармоничской четверки точек $A, B, C, D$ ). В случае, когда $b = c$ (в этом случае пропорции называют непрерывными), получаются среднее арифметическое $b = \frac{a+d}{2}$ , среднее геометрическое $b = \sqrt{ad}$ и среднее гармоничское $b = \frac{2ad}{a+d}$ .

По преданию, еще Пифагор, занимась математической теории музыки, установил, что длины струп, дюших при одинаковом натяжении ноты $do, mi, colb$ (составляющиеmajorное трехвучие), пропорциональны числом 1, $\frac{4}{5}, \frac{2}{3}$ . Но $\frac{4}{5}$ является средним гармоничским чисел 1 и $\frac{2}{3}$ . Отсюда пришло в математку понятие гармония.

Легко доказать также, что

$(ABD) = -\frac{|NA|}{|NB|}.$

(Указание. Рассмотрите отношение площадей треугольников $NAD$ и $NBD$ , взяв за основания сначала $[NA]$ и $[NB]$ , а потом — $[AD]$ и $[BD]$ .) Следовательно, $(ABCD) = -1$ , то есть четверка точек $A, B, C, D$ .

Упражнение 12. Указите способ построения такой точки с помощью линейки. Указание. См. рис. 17. Точки $P$ и $Q$ на этапах 1 и 5 выбираются произвольно.

Гармоничские четверки встречаются в оптике. Рассмотрим ход лучей в волнутом зеркале 3 (рис. 18).