Эффект Ганна

11

Эффект Ганна

Около двадцати лет назад, в начале шестидесятых годов, английский физик Джон Ганн решил исследовать волтамперные характеристики сравнительно новых тогда полупроводников — арсенда галлия и фосфида индия — в сильных электрических полях. Неожиданно Ганн обнаружил удивительное явление: когда направление, приложенное к образцу, превышает определенное значение, ток в полупроводнике при постоянном напряжении начинает переодвигаться со временем. Это было妒азительно и совершенно непонятно.

Опытный экспериментатор, известный специалист в области физики полупроводников, Ганн не мог подыскать никакого объяснения этому эффекту. Он описал результаты своих наблюдений в 1963 году в короткой заметке, которая сразу привлекла внимание десятьков физиков и инженеров во всем мире. Физикам представлялось интересным объяснить это удивительное явление. Инженеры сразу поняли, что открытие Ганна ознакомает появление нового полупроводникового генератора, который может работать в области сверхвысоких частот. Такие генераторы были очень нужны во многих областях радиоэлектроники, в том числе — в радиолокации и системах связи.

Десятки специалистов размышляли над природу открытого Ганном явления. Однако прошел год, пока его удалось объяснить.

Попытаемся и мы разобраться в природе эффекта Ганна.

Представим себе, что мы, как в свое время Ганн, задались цель изучить волтамперную характеристику (то есть зависимость тока от напряжения) какого-нибудь полупроводника, например германия (Ge), кремния (Si) или арсенда галлия (GaAs).

Пусть в нашем распоряжении имеется массивный monокристалл, представляющий собой полупроводник n-типа (в нем основные носители заряда — электроны) с удельным сопротивлением q. Сначала вырежем из этого monокристалла образец правльной формы, удобнее всего — примугольный параллелипед.

(Дело это непростое, так как полупроводники довольно трудно поддаются механической обработке, и нам придется воспользоваться инструктом, режима кромка которого содержит сверхверdie материалы — корунд, эльбор или алмаз.) Теперь прикосновся к боковым граям образца изменительными концами тестера (прибор для измерения сопротивления). Естественно ожидать, что сопротивление изменленного нами образца будет равно

$$R_0 = \varrho \frac{l}{S} = \frac{l}{\sigma S} = \frac{l}{\sigma hd},$$

где $\sigma = 1/\varrho$ — удельная проводимость полупроводника, а $l, h, d$ — геометрические размеры образца (рис. 1). Однако значение сопротивления, которое загистирует прибор, оказывается в миллионы раз больше, чем величины, предсказываемая этой формулой. Дело в том, что в местах сопротивления металлических концов тестера с полупроводником возникнет тонкий приповерхностный заряженный слой — так называемый

Рис. 1. Образец с контактими.

12

Новые полупроводниковые материалы получают обычно в виде крошечных монокристаллов размером в доли миллиметра. Однако такие хорошего изучение и широко применяемые полупроводники, как Ge (1), Si (2), GaAs (3), современная технология позволяет получить в виде monокристаллов объемом в десяти и сотни кубических сантиметров.

барьер металл — полупроводник, и прибор будет изменять сопротивление барера, а не сопротивление образца.

Что быойти эту трудность, боковые грани образца необходимо сначала «омическим контактими», в которых бареры отсутствуют. Как правило, такие контакты получают, вплавляя в боковые грани определенные металлы (индий, олово) или сплавы (германий — золото, германий — серебро). Изготовить хороший «омический контакт» нельзя. Приходится подбирать материал контакта, температуру и режим вплавления, атмосферу, в котором следует произвольить вплавление (чаsto это бывает атмосфера водорода или инертного газа), определенным образом подготовливать поверхность боковых граней.

Но вот все трудности позади, и тестер, подключенный к боковым граям образца, показывает, что сопротивление равно расчетному значению $R_0$. Теперь можно приступить к измерению волтамперной характеристики.

Пока напряжение $U$, приложенное к образцу, не велико, ток, как и следует ожидать, пропорционален напряжение — выполняется закон Ома $I = U/R_0$. Однако при больших напряжениях ток начинает растить значительное быстрое, чем это требует закон Ома (кривая 1 на рисунке 2).

В этом нет ничего удивительного: когда ток и напряжение велики, образец разогревается джоулевым теплом. Как известно, полупроводники тем, в частности, и отличются от металлов, что с ростом температуры их проводимость увеличивается, то есть удельное сопротивление уменьшается. При нагревании полупроводника все больше электронов разрывают свои связи с атомами кристаллической решетки и становятся свободными. Увеличается концентрация свободных электронов — падает удельное сопротивление материалов и уменьшается сопротивление образца. Значит, при том же напряжение на образце ток становится больше. Увеличение ток bleibt за собой еще больше разогреев образца, еще больше увеличение концентрации электронов, и т. д. Вот почему так резко возрастает ток, когда разогреев образца джоулевым теплом становится заметным.

(Решив задачу 1, помещенную в конце статьи, можно найти, при каких напряжениях и токах волтамперная характеристика начинает отличаться от омической за счет нагрева образца протекающим током.)

Интересно оценить, какова скорость упорядоченного перемещения электронов вдоль поля (дрейфовая скорость электронов) в условиях, когда джоулев разогреев начинает вызывать резкое увеличение ток в об-

13

разце с ростом напряжения. Движение электров в полупроводнике подбно движению тела в вязкой жидкости: внешняя сила определяет установившуюся скорость движения. Поэтому дрейфовая скорость электров $v_\pi$ пропорциональна напряженной электрической поля —

$$v_\pi = \mu E = \mu \frac{U}{l}.$$

Коэффициент пропорциональности и называют подвижностью. Как видно из формулы (*), подвижность численного равна дрейфовой скорости при напряженной поля, равной единице. Если размерность $v$ — м/c, а размерность $E$ — В/m, то размерность $\mu$ — $\frac{m^2}{(B \cdot c)}$. Диапазон значений подвижности электров у различных полупроводников очень широк: от $\sim 10^{-5} \text{ m}^2/(B \cdot c)$ до $\sim 10^2 \text{ m}^2/(B \cdot c)$. При комнатной температуре для Ge $\mu \approx 0,5 \text{ m}^2/(B \cdot c)$, для Si — 0,1 $\text{ m}^2/(B \cdot c)$, для GaAs — 0,8 $\text{ m}^2/(B \cdot c)$. Как показывает расчеты (см. задач 1), значение напряженности поля, при котором влияние джоулева разогрева начинает искажать вид волтамперной характеристики, не превышает $\sim 10^4$ В/m. При этом значения дрейфовой скорости электров — не больше $10^3-10^4$ м/c.

Важно подчернуть, что когда вследствие джоулева разогрева полупроводника ток начинает резко увеличивать с ростом напряжения, величины подвижности не меняется. Ток возратает за счет того, что разогрев вызывает появление «дополнительных» электров.

Итак, джоулев разогрев искажает форму волтамперной характеристики полупроводника в области высокого кинетического напряжения ток растет медленнее, чем по линейному закону. При очень больших напряжениях ток практические перестановы зависит от напряжения — насыщается (кривая 2 на рисунке 2).

Провода эксперименты с образцами различных длины $l$, можно заметить, что отклонение от закона Ома и насыщение всегда наступают при одних и тех же значениях напряженности электрического поля $E = U/l$.

Первое, что приходит в голову при попытке обязывать это явление, — предположить, что по какой-то причине с ростом поля $E$ начинает убивать концентрация $n$ электрионов в области. Однако это не так. Kontrolные эксперименты показывают, что в чистых Ge и Si концентрация электров при тех полях, в которых наблюдается насыщение ток, от поля не зависит. Поскольку сила ток

14

Рис. 3. Зависимость дрейфовой скорости электронов $v_d$ от напряжности электрического поля $E$ для Ge (кривая 1) и Si (кривая 2).

равна $I = env_d hd$, насыщение тока при неизменной концентрации электронов означает, что в Ge и Si дрейфовая скорость электронов в сильных электрических полях от напряжности поля не зависит.

На первый взгляд такая ситуация кажется очень странной. Электрическое поле, ускорящее электроны, растет, а скорость направленного движения электронов не меняется. Вспомним, однако, что дрейфовая скорость электронов определяется двумя процесами: ускорением электронов полем и их торможением в результате стольновей с атомами кристаллической решетки. Величина подвижности как раз и определяется процесами стольновения электронов с кристаллической решеткой. Так вот оказывается, что при больших полях эфективность этих процессов повышается, и подвижность электронов в Ge и Si с ростом поля уменьшается. В очень сильных полях подвижность падает обратно пропорционально напряжности поля. При этом (см. формулу (*)) дрейфовая скорость электронов перестает зависять от напряжности поля $E$ — насыщается (рис. 3).

Насыщение дрейфовой скорости электронов в Ge и Si в сильных электрических полях было открыто до того, как Ганн приступил к своим исследованием. Το obstacleство, что свойства электронов в сильных полях могут очень заметно отличаться от свойств электронов в слабых электрических полях, также было хорошо известно. Но эфект, который Ганн наблюдается в образцах

Рис. 4. Зависимость от времени напряжения на образце (a) и тока через образец (б) в экспериментах Ганна. Пунктром показан случай, когда $U < U_n$, с помощью кривими — когда $U > U_n$.

15

образцов: $U_n = E_n l$, где $E_n$ — приближительное одинаковое для всех образцов значение напряженности поля. Для GaAs величина $E_n$ составляла примерное 3,2 · 10⁵ В/m. Период колебаний тока был также пропорционален длине образца и равняяся приближительного $T \approx 2l/v_n$, где $v_n \approx \mu E_n$.

Пытаясь понять, что происходит в образце, когда возникают колбания, Ганг проделал заменательное по уровню экпериментального мастерства исследование открытою им эффектива. Он установил, что, когда напряжение на образце превышает пороговое значение $U_n$, характер протекния тока и распределение напряжения электрического поля в образце совершено меняются. При $U < U_n$ ток в образце представляется собой поток электриов, текущих от того контакта образца, к которой приложен «минус» источника напряжения (от катода), к контакту, к которой приложен «плосос» (к аноду); электрическое поле распределено вдоль образца однородно (пунктирная кривая на рисунке 5). В этих условиях волтамперная характеристика образца соответствует закону Ома. Но как только напряжение, подаваемое на образец, достигает порогово-

Рис. 5. Распределение электрического поля в образце при $U < U_n$ (пунктирная кривая) и при $U \geq U_n$ (сплошная кривая). Стрелка указывает направление распространения дома от катода к аноду. В верхней части рисунка схематически показано движение дома по образцу.

го значения $U_n$, характер распределения поля вдоль образца резко меняется. В образце у катода возникнет uzкая область очень сильного поля — «домен»*). Хотя ширина этой области не велика, но полез в ней настоящо сcilное, что на домен падает значительная часть приложенного к образцу напряжения (рис. 5). Домен движется от катода к аноду со скоростью, приближительного равной $v_n/2$. Достигнут анодного контакта, домен разрушается. Немедленно после этого у катода зарождается новый домен, и все повторяется снова.

Легко понять, как связано периодическое движение дома по образцу с колбаниями тока, которые Ганг наблюдал в своих первых экпериментах.

Пусть к образцу приложили напряжение, равное $U_n$. В образце возникнет и значительная часть напряжения упала на домен. Но это значит, что на долю остальной части образца, где домена нет, приходится теперь меньше напряжения; следовательно, поле вне домена упало (сравните пунктную и сплошную кривые на рисунке 5). Упало и значение скорости электриов, пропорциональное полю, а следовательно, и ток, текущий через образец.

Пока домен движется вдоль образца, ток не меняется. Когда домен, достигнут анода, начинает разушаться, padreние напряжения на нем уменьшается. При этом поле в остальной части образца растет, и, следовательно, растет ток. Но как только поле в образце в района катода становится пороговым значению $E_n$, в образце начинает формировать новый домен, и ток снова начинает уменьшаться. Пока напряжение, приложенное к образцу, превышает пороговое значение $U_n$, этот процесс периодически повторяется (см. рис. 4, б).

*) Слово «домен» произходит от латинского слова dominis (хозяйский, господский). В средние века «домен» называется лячиваюсь личное владение крупного федала. В физике «домен» используется для обозначения области, свойства которой резко отличается от свойств окружающего ее материала. Существуют ферромагнитные, сегнет-электрические домены, домены сильного и слабого поля. На рисунке 5 показан домен сильного поля.

16

Замечательные эксперименты
Ганна позволили «увидеть», что происходит в образце, когда в нем возникают колебания тока. Однако они не отвечали на вопрос, поему в образце образуется домен, в чем физическая причина образования домена.

На этот вопрос в 1964 году сумел ответить американский физик Герберт Кремер. Он напомнил, что незадолго до открытия Ганна на основании теоретических расчетов было показано, что в арсениде галляя, фосиде индия и некоторых других полупроводниковзависимость дрейфовой скорости электронов от напряженности поля должны иметь такой вид, как на рисунке 6. В определенном диапазоне значений напряженности поля $E$, начинающимся со значения $E_n$, дрейфовая скорость электронов падает с увеличением напряженности поля. Исходя из формулы (*), мы должны заключить, что в этом диапазоне значений $E$ подвижность и электронов уменьшается с увеличением $E$ так резко, что дрейфовая скорость уменьшается, хотя напряжность электрического поля растет.

Как же связанны эффициенты, которые наблюдаем Ганн, с таким видом зависимости скорости электронов от поля?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала очевидную простую задачу.

Пусть к образцу приложено напряжение $U_1 < U_n$. При этом поле вдоль образца распределено одно-

Рис. 6. Зависимость дрейфовой скорости электронов $v_d$ для GaAs от напряжности электрического поля $E$. Аналогичная зависимость характеристика и для многих других полупроводников (InP, GaInSb, InGaAsP и др.).

родно и равно $E_1 = U_1/l$. Дрейфовая скорость электронов $v_1$ равна $v_1 = \mu E_1$ (см. рис. 6), и ток представляется собой поток электронов, текущих со скоростью $v_1$ от κατάда к аноду. Предположим теперь, что где-то в образце случайно образовался небольший участок, в котором направлено поля чуть-чуть больше, чем значение $E_1$. За счет хаотического характера движения электронов в кристалле маленькие отклонения поля от среднего значения $E_1$ (флуктуации поля) возникают непрерывно, иаша задача — проследить за тем, что произойдет с такой флуктуации, когда она возникнет.

Если на каком-то участке образца поле стало несколько больше, чем в остальном образце, то это значит, что на границах этого участка скопились электрические заряды: отрицательный со стороны катода и положительный со стороны анода (см. рис. 5). Иными словами, слева от выделенного участка образовался небольший электронов, а справа — небольший «деффициент» электронов. Складываясь с полем внешнего источника, поля этих «объемных» избыточных зарядов успешают поле внутри выделенного участка.

Что произойдет с такой флуктуации поля дальнейше?

Поскольку мы рассматриваем случае, когда $E_1 < E_n$, скорость электронов пропорциональна полю. Следовательно, электроны внутри флуктуации движения быстро в остальной части образца. Это значит, что флуктуация будет «убегать» от избыточных электронов слева и «догонять» тот участка справа, где электрон не хватает. В результате флуктуация поля рассеется.

А теперь посмотрим, что произойдет с флуктуации, когда напряжение $E_2$ поля в образце несколько больше, чем пороговое значение $E_n$ (см. рис. 6). Будем по-прежнему считать, что вначале поле распределено вдоль образца однородно; за счет флуктуации зарядов возникают объемные заряды; в результате в малом участке образца поле оказывается большим, чем во всем остальном образце. Но теперь больше поло со-

17

ответствует меняя древфовая скорость (см. рис. 6)! Значит, флуктуация движется медленнее, чем электропылева и справа от нее. В результате слева к уже имеющимся в известке электроматрирует, договора флуктуации, новые электропылева, где наблюдается «дефицит» электровов, их станет еще меньше: электропылева «убегут» от флуктуации. Таким образом, объемный заряд станет больше, и увеличится поле внутри флуктуации. Но увеличению поля при $E > E_n$ соответствует уменьшение древфовой скорости. В результате флуктуация станет дивгаться еще медленнее, еще больше электровов накопится слева от флуктуации и еще меньше их станет справа, поле внутри флуктуации станет еще больше, и т. д.

Итак, в условиях, когда древфовая скорость электровов уменьшается с ростом поля, однородное распределение поля неустойчиво по отношению к малой флуктуации поля: разозникнуть, такая флуктуация начинает неудержимо нарастать.

Когда прекратится рост объемного заряда на границах флуктуации и, следовательно, рост флуктуации? Для этого, оченьно, необходимо, чтобы скорость электровов внутри флуктуации сравнялась со скоростью электровов вне ее.

Пока избыточное поле внутри флуктуации мало, на ней падает маленькое напряжение, и ее присутствие в образце практических несказывается на скорости электровов вне флуктуации. Однако по мере нарастания поля внутри флуктуации, на ней начинает паать все больше и больше напряжение. При этом напряжение на остальной части образца становится меньше (вдь полное напряжение, приложенное к образцу, постоянно). Поле вне «флуктуации» падает. Слово «флуктуация» взято в кавычки, поскольку как-то неудобно называется «словом, обозначащим необходимо случайное отклонение, — такое образование, которое поглощает заметную долю приложенного к образцу напряжения. Такая сильно выражая флуктуация и есть домен. Вне дома скорость электровов падает с уменьшением поля, т. к. поле вне дома всегда меньше, чем $E_n$. Таким образом, по мере роста дома скорость электровов вне дома уменьшается. В конце концов скорости электровов внутри и вне дома сравняются и рост домена прекратится. По образцу от каода к андугу будет «бежать» неизменный по форме (стабильный) участок сильно поля — домен.

Эти домены и наблюдаются Ганн в своих экспериментах. Максимальное поле в домене $E_{max}$ может быть очень большим. При среднем поле на образце $E_n = U_n/l = 3,2$ кВ/см величины $E_{max}$ может составлять $20 \div 300$ кВ/см.

За годы, прошедшие со времени открытия Ганном эфекта возникновения колбаний тока в GaAs и InP, в научных журналах опубликовано более 2,5 тысяч работ, посвященных исследованию эфекта Ганна и различных связанных с ним физических явления.

Эффект Ганна наблюдается к настоящему времени более чем в двадцатипопроводниковых соединениях: антиимониде индия (InSb), антиimonиде мышьяка (AsSb), в германии, подвергнутом скатанию, в кремнии, охлажденном до низких температур, в тройных полупроводниковых соединениях GaAlAs, InGaSb, InAsP, в четверном соединении InGaAsP и многих других полупроводников.

Основное применение ганновских диодов (так принято называть образцы, в которых наблюдается эфект Ганна) — генераторы сверхвысокой частоты.

Когда отраженный от целей импульс радиолокатора возврашает к антинерадиону установлен, его необходимо услить. Схема чувствительного современного услителя обязательно включает в себя сравнительно маломощный, но очень стабильный и малошумящий генератор (гетеродин). Ганновские диоды успешно работают в качестве генераторов во многих современных радиолокатрах.

Каждай год в мире в результате автоматных катастроф гибнут сотни тысяч людей. Однако из основных принципов авария — превышение дозволенной скорости. В горode за соблю

20

Чтобы уточнить эту оценку, введем понятие вероятности события. Отношение $p$ количество способов, которые может произойти интересующее нас событие, к общему количество равновозможных вариантов называется вероятностью этого события. Очевидно, $0 \leq p \leq 1$.

В нашем случае ($n=2, m=10$) обозначим через $p_0$ вероятность события, состоящего в том, что за лимонадом пошел нулевой участник, а через $p_1$ — что пошел первый. Тогда $p_0 = \frac{61}{121} \approx 0,504, p_1 = \frac{60}{121} \approx 0,496$.

Нетрудно посчитать, что в случае «бросания» на одной руке при $n=2$ и $n=3$ шансы игроков быть выбранными одинаковыми и равны соответственно $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, а при $n=4$ $p_0=0,248, p_1=p_3=0,25, p_2=0,252$. С ростом $n$ перебор вариантов все более успешнее. Он проведен нами с помощью ЭВМ до $n=100$, исходя из следующих сообщений.

Обозначим через $\Pi_m^n(N)$ количество представления числа $N$ в виде суммы $n$ целых неотрицательных слагаемых, каждое из которых не превозходит числа $m$ (при этом представления, различающееся порядком слагаемых, считаются различными!). Обозначим также через $\Pi_i$ количество способов «бросания пальцев», при которых выбор падает на $i$-го участника, через $\Pi$ — общее количество вариантов «бросания пальцев», через $p_i$ — вероятность выбора $i$-го участника. Таким образом, $p_i = \frac{\Pi_i}{\Pi}$.

Числа $\Pi_i$ и $\Pi$ легко выражаются через $\Pi_m^n(N)$. Поскольку максимальное возможное число «выкинутьх пальцев» равно $mn$,

$$\Pi = \sum_{k=0}^{mn} \Pi_m^n(k).$$

Так как выбор падает на $i$-го участника, если число «выкинутьх пальцев» имеет вид $i+kn$, причем, очевидно, $k \leq m$ (заметим, что при $N > mn$ $\Pi_m^n(N)=0$),

$$\Pi_i = \sum_{k=0}^{m} \Pi_m^n(i+kn).$$

(1)

Число $\Pi_m^n(N)$ может быть подсчитано при помощи простой рекуррентной формулы. Количество интересующих нас представления числа $N$, при которых первое слагаемое есть 0, равно, очевидно, $\Pi_m^{n-1}(N)$; количество таких представлений, при которых первое слагаемое есть 1, равно $\Pi_m^{n-1}(N-1)$; при которых первое слагаемое есть 2 — $\Pi_m^{n-1}(N-2)$; и т. д. Поскольку первое слагаемое принимает одно из значений 0, 1, 2, …, $m$, $\Pi_m^n(N) = \Pi_m^{n-1}(N) + \Pi_m^{n-1}(N-1) + \dots + \Pi_m^{n-1}(N-m) = \sum_{k=0}^{m} \Pi_m^{n-1}(N-k)$ (2)

(в этой сумме неокотряные слагаемые могут равнять 0: если $N$ — «маленькое», то, начиная с неокотряного $k$, может быть $N-k<0$ — тогда $\Pi_m^{n-1}(N-k)=0$; кроме того, если $N$ — «большое», то, вплоть до неокотряного $k$, может быть $N-k>m$ ($n-1$) — тогда тоже $\Pi_m^{n-1}(N-k)=0$).

Вычислив $\Pi_m^2(k)$ при всех $0 \leq k < N$, мы затем с помощью (2) найдем $\Pi_m^3(N)$ и т. д.

Соотношение (2) позволяет также доказать, что $n=m+1$ шансы всех участников равны. Действительно,

$$\Pi_i = \sum_{k=0}^{m} \Pi_m^n(i+kn) = \sum_{k=0}^{m} \left[ \Pi_m^{n-1}(i+kn) + \right. + \left. \Pi_m^{n-1}(i+kn-1) + \right. + \dots + \left. \Pi_m^{n-1}(i+kn-m) \right] = \sum_{k=0}^{m} \left\{ \Pi_m^n(i+km+k) + \right. + \left. \Pi_m^n(i+km+k-1) + \right. + \dots + \left. \Pi_m^n(i+km+k-m) \right\}.$$

«Фигурная скобка» при каждом $k$ имеет вид

$$\Pi_m^n(a) + \Pi_m^n(a-1) + \Pi_m^n(a-2) + \dots$$

Оказывается, «фигурные скобки» при соседних $k$ «стыкуются»: первое слагаемое в «фигурной скобке» с $k=t$ равно $\Pi_m^n(i+tm+t)$, последнее сла-

21

Нетрудно понять, что число $\Pi_m^n(N)$ при $N=0$ равно 1, затем с увеличением $N$ оно растет, при $N=1 = \left[\frac{mn}{2}\right]$ достигает максимума, потом резко убывает и при $N=mn$ вовь становится равным 1. Эта зависимость изображена на рисунке 1.

Таким образом, основной вклад в сумму $\Pi_i$ (см. (1)) вносит слагаемое, для которого $N=i+kn$ близже всего к $\left[\frac{mn}{2}\right]$.

Если $m$ четно, то $\frac{mn}{2}$ — целое число и $\left[\frac{mn}{2}\right] = \frac{mn}{2}$. Значит, максимум функции $\Pi_m^n(N)$ достигается при $\frac{m}{2} \cdot n$ и счет, ведущейся по кругу, составленному $n$ участниками, завершается на игре с номером 0 (см. рис. 2, а).

Если же $m$ нечетно, максимум $\Pi_m^n(N)$ достигается при $N=\frac{m-1}{2}n + \left[\frac{n}{2}\right]$, а максимум $\Pi_i$ приходит на $i=\left[\frac{n}{2}\right]$, то есть на игре*), стоящего на противную нульового (рис. 2, б). В частности, при $m=5$ с наиболееверятностью за лимонадом побежит игрок, стоящий на противного того, с которого начинается счет; при $m=10$ — игрок, с которого начинается счет. Эта разница шансов тем больше, чем больше $n$ и чем меньше $m$.

Для общного класса средней шкoles ($n\sim 40$) при «выбрасывании пальцев» одной руки ($m=5$) встать направив началошго выгоднее (в несколько раз), чем быть им. Однако хотелось бы верить, что овладевшие теории не будут использовать ее в корыстных целях, а расскажут о ней своим одноклассникам.

*) Если $n$ нечетно, то направив нульового игрока стоит два игрок ($i=(n-1)/2$ и $i=(n+1)/2$) и максимум $\Pi_i$ приходит на каждого из них.