Треугольник Паскаля

45

А. Бендукидзе

Треугольник Паскала

Возьмите лист бумаги и начерните на нем квадратную таблицу в 100 клеток (десять строк и столько же столбцов). При выборе размеров таблицы учтите, что в ее клетки вам придется вписывать числа, некоторые из которых будут трехзначными.

Ну как, готово?

Отлично! Начните заполнять таблицу.

В клетки первого столбца нашище число 1, а в клетки первого строки, кроме, конечно, самой левой, в которой уже стоит единица, — число 0. Остальные клетки таблицы заполняйте по очереди, двигаясь слева направо и сверху вниз, по закону перехода, показанному на рисунке 1.

Посмотрите теперь внимание на полученную таблицу. Ее нулевые элементы образуют треугольник, две стороны которого (вертикальная и косая) составят из единиц, а третья (горизонтальная) имеет вид

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

(Разумеется, построение можно продолжить и дальнейше или оборвать, не доходя до десятий строки.)

Полученный треугольник называется треугольником Паскала, в честь великого французского ученого Блеза Паскала (1623—1662), который придумал и исследовал его. Чем этот треугольник заменален? А это мы сейчас и увидим.

Послеем подмножества

Рассмотрим множество $M_4$, состоящее из четырех разных мячей — теннисного, волейбольного, футбольного и баскетбольного (рис. 2). Найдем все его подмножества (включая пустое $\varnothing$ и все множества $M_4$), группы

Рис. 1. Рис. 2.

Озелементов 1 элемент 2 элемент 3 элемент 4 элемент

Рис. 3.

46

Рис. 4.

руя их по числу элементов (рис. 3), и выпишем в строчку, сколько подмножеств polluchilosь в каждой группе:

1 4 6 4 1

Знакомая строчка? Да, получилась пятая строчка треугольника Паскала. Это не случайно. Если мы взяли множество $M_3$ из трех элементов, мы получили бы таким образом 1 3 3 1 — четвертую строчку треугольника Паскала. Вообще, если взять множество $M_n$ из $n$ элементов и составить строчку из числа его 0-элементных подмножеств, числа 1-элементных, числа (n-1)-элементных и числа n-элементных подмножеств, получится $(n+1)$-я строчка треугольника Паскала.

Проверим это еще для $n=0, 1, 2$. Действительно, все в порядке (рис. 4).

Чтобы доказать это в общем случае, достаточно проверить, что каждая строчка получается из предыдущей по такому же закону перехода, как треугольник Паскала. А это действительное так.

Например, посмотрим, как получается число 2-элементных подмножеств $M_4$. Для этого на время спрячем в карман теннисный мяч — polluchим множество $M_3$. В нем уже есть три 2-элементных подмножества:

Рис. 5.

Чтобы получить остальные, нужно вынуть из кармана теннисный мяч и добавить его к темм 1-элементным подмножествам $M_3$:

Рис. 6.

Получим $3+3=6$, как и полагается по закону перехода. Ясно, что это рассуждение общее, его можно провести для нахождения закона перехода к числу $k$-элементных подмножества из $n$ элементов для любых $k \leq n$.

Теперь, чтобы установить число подмножеств, скажем, из пятей элементов в множество, скажем, из восеми элементов, нет необходимости произвольить сложные перечисления. Готовый ответ (70) написан на пятом месте девятой строки треугольника Паскала.

No треугольник Паскала полезен не только для этого.

Раскроем скобки

Послеовательно раскрывая скобки и привод подобные члены, нетрудно найти, что

$$(1+x)^2=1+2x+1x$$
$$(1+x)^3=1+3x+3x^2+1x^3$$
$$(1+x)^4=1+4x+6x^2+4x^3+1x^4$$

Найти $(1+x)^5$ таким способом уже сложнее, а $(1+x)^8$ не захочет сосчитать самый трудолюбивый из вас. А впрочем, нужно ли считать? Не заготовлен ли ответ в соответствии строке треугольника Паскала?

47

В начале строки коэффициентов
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

совпадают с начальными строками треугольника Паскала. Чтобы доказать, что так будет и далее, вовь достаточно найти действующий здесь закон перехода. Но, например,
$(1+x)^5 = (1+x)(1+x)^4 = (1+x)(1+4x+6x^2+4x^3+1x^4)$;
козффициент, скажем, при $x^3$ получается (при раскрытии последних скобок) как сумма коэффициентов при $x^2$ и $x^3$ из предыдущего строки — получим $10=6+4$, как в треугольнике Паскала. Ясно, что и это рассуждание — общее.

Мы установили, что последовательность коэффициентов при возратастоящих степенях $x$ в раскрытии двумлена $(1+x)^n$ совпадает с $(n+1)$-й строкой треугольника Паскала.

Вновь треугольник Паскала экономит нам время: взглянув на него, мы без вычисления сразу можем написать
$(a+b)^9 = a^9 + 9a^8b + 36a^7b^2 + 84a^6b^3 + 126a^5b^4 + 126a^4b^5 + 84a^3b^6 + 36a^2b^7 + 9ab^8 + b^9$.

Свойства треугольника Паскала

Отбросив нулы, нашу таблицу можно переписать в более симметричной, треугольной форме:

Рис. 7.
2. Сколько существует a) двухначных b) трехначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке?
3. Треугольным числом называется число точек в треугольниках такого вида, как на рисунке 8. Как найти треугольные числа в треугольнике Паскала?

Рис. 8.
4. Представьте в виде суммы одночленов a) $(a-b)^6$; 6) $(x-2y)^5$.