Всероссийская олимпиада школьников

59

Всероссийская олимпиада ШКОЛЬНИКОВ

По традиции в дни весенних школьных каникул проходил заключительный этап VIII Всероссийской олимпиады ШКОЛЬНИКОВ по математике и физике.

Всероссийская олимпиада проводится в четыре этапа: первый этап — школьные олимпиады, второй — районные (городские), третий — ресурсikanские (АССР), краевые и областные, четвертый — зональные олимпиады.

В этом году заключительный, четвертый этап проходил одновременно в четырех городах РСФСР: в Костроме, Ставрополе, Ульяновске и Чите. В нем принимали участие команды автономных ресурсик, краев и областей, составленные из победителей третьего этапа. Кроме того, в зональных олимпиадах участвовали победители предыдущей Всероссийской олимпиады, получившие дилломы I и II степени, и победители конкурса журнала «Кваит». В этом этапе участвовали также команды физико-математических школ-интернатов при Ленинградском, Московском и Новосибирском университетах.

Конкурсное задание четвертого этапа по математике состояло из пяты задач, на решение которых отводилось четыре часа. Набольшие затруднения у участвников олимпиады вызвали задачи по геометрии, комбинаторике и математическому анализу.

Задание четвертого этапа по физике включало четыре задачи теоретического типа и две — экпериментального. На решение теоретических задач отводилось четыре часа, а экпериментальных — три. Наболее трудной из теоретических задач оказалась четвертая задача для десятиклассников. С экпериментальными задачими успешно справились все участники.

По решению жорри победители Всероссийской олимпиады были направлены дипломами, памятными признами и ценными подарками. Министерство просвещения РСФСР нагradило грамотами учтелей, подготовивших победителей олимпиады.

Ниже приводятся задачи по математике и физике заключительного этапа и фамилии призеров VIII Всероссийской олимпиады школьников.

Математика

8 класс

1. В треугольнике ABC проведена бисскетриса [AK]. Известно, что центры окружностей — вписанной в треугольник ABK и описанной около треугольника ABC — совпадают. Найдите углы треугольника ABC.

2. В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 1000 рублей. С каждими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочных так, чтобы при отсутствии любых трех из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочный может одновременно работать только на одном станке.

3. В некоторых местах имеется шесть городов. Министерство транспорта получило от короля приказ установлен между каждой двумя городами один из трех видов сообщения: железнодорожный, шоссеный или воздушный. При этом король потребовал, чтобы нижекапне три города не были связанны одним и тем же видом сообщения и чтобы для любого разбиения шести городов на три пары не все виды сообщения в парах были различны. Сможет ли Министерство транспорта выполнить приказ короля?

4. Какое наиболее число точек можно выбрать на отрезке [0; 1] так, чтобы на любом отрезке [a; b], содержащемся в отрезке [0; 1], лежало не более 1 + 100(b-a)² выgbранных точек?

5. Okружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторона [AB], [BC] и [AC] в точках M, N и P соответственно. Известно, что $\vec{AN} + \vec{BP} + \vec{CM} = \vec{0}$. Доказите, что треугольник ABC правильный.

9 класс

1. См. задачу 2 для 8-го класса.

2. Решите в натуральных числах систему уравнений
   $$\begin{cases} x^3 - y^3 - z^3 = 3xyz \\ x^2 = 2(y + z) \end{cases}$$

3. В остругольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H. Обозначим $|AB| = c, |BC| = a, |CA| = b, |AH| = x, |BH| = y, |CH| = z$. Доказите равенство $abc = ayz + xbz + xyc$.

4. Функция $f(x)$ определяная на отрезке [0; 1], такова, что $f(0) = f(1) = 0$ и для любых $a, b \in [0; 1]$ выполено неравенство
   $$f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq f(a) + f(b).$$

Доказите, что уравнение $f(x) = 0$ имеет бесконечно много решений. Выясните, существует ли функция, удовлетворяющая указанным условиям и не равная точедевенно нулю.

5. В футбольном турире участвовали n команда высшей лиги и 2n команда первой лиги. Каждый команда сыграларовно одну игру с каждой другой командой. Отношение числа побед, одержанных командами высшей лиги, к числу побед, одержанных командами первой лиги, равно 7/5. Найдите n, если извлечено, что ничего в турире не было.

60

10 класс

1. Докажите, что для любых значений α, β, γ хотя бы одно из чисел sin α cos β, sin β cos γ, sin γ cos α не больше 1/2.
2. См. задачу 3 для 9-го класса.
3. См. задачу 4 для 9-го класса.
4. См. задачу 5 для 9-го класса.
5. При каких натуральных n ≥ 3 существует различные натуральные числа a₁, a₂, …, aₙ такие, что 1 ≤ aₙ ≤ n+1 для любого k=1, 2, …, n и все n моделей |a₁−a₂|, |a₂−a₃|, …, |aₙ−1−aₙ|, |aₙ−a₁| различны?

Физика

Teoretическая террория

8 класс

1. Под колоколом воздействного насоса нахождения грубых сделяями, погруженная открытом коном в шрифтской сосуд со рутью (рис. 1). Закрытым коном грубка подвешена к диаметру. Показания F диаметра можно наблюдать через стекло колокола. Когда воздейств из под колокола был полностью откачан, разность h уровень грубке и всуде равнялась нулю, а диаметр показывает F₀. Из-за оцененного просчитания воздейства под колокол разность уровень постепенно изменяется. Нарисуйте иObсяните график зависимости F от h.

2. На столе стоит высокая стеклянная тонкостенная грубка радиусом R=3 см. В грубку вложен плоский пакет из тонкого полинтилена длиной l=30 см и шрифтной d=10 см. Пакет доверху заполнило водой. Удержится ли пакет с водой в грубке, если грубку осторожно поднять? Козффициент трения полинтилена по стеклу μ=0,3.

3. Две одинаковые высокие теплопроводные грубки заполнены до высоты h=25 см. Первая — льдом, полученным при замораживании воды в той же грубке, вторая — водой при температуре tₘ=10°C. Воду выливают на лед и сразу же отмешают уровень. После установления теплового равновесия оказалось, что он повышался на Δh=0,5 см. Какова была начальная температура льда? Плотность льда ρₙ=900 кг/м³. Удельная теплота плавления льда λ=340 кДж/кг, удельная тепломкость льда cₙ=2100 Дж/(кг·К).

4. Жесткая болванка зажата между двумя направляющими диризем — вправо со скоростью v₁, нижняя — влево со скоростью v₂. Точки касания 1 и 2 в данной момент лежат на вертикальной прямой. Ужжение множества точек болванки, имеющих в данной момент времени скорости v₁ и v₂ (по абсолотной величины).

9 класс

1. Из шланга почти вертикально бетстря с расходом воды Q=1,5·10⁻³ м³/c. Какова площадь S поперечного сечения струп на высоте h=2 м над коном шланга, если при выходе из шланга площадь S₀=1,5 см²?

2. Виссшая на высоте H сосулька массой M подтача и начала падать. Когда она оказывается на высоте H/2, в нее попал снежок массой m, который мгновенно прилип к ней. В момент попадания в сосульку снежок дивала горизонтальное со скоростью v₀. Найдите скорость, с которой сосулька упадет на землю.

3. В баллоне объемом V=2 л находится 1 моль водорода и немного воды. Вначале давление в баллоне составляет pₙ=17 атм. Затем баллон нагревается, и давление в нем увеличивается до pₙ=26 атм. Найдите начальную и конечную температуры, а также количество испарившей воды. Значения давления насыщенных паров воды при нескольких температурах приведены в следующей таблице:

| p, 10⁵ Па | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 10 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| t, °C | 100 | 120 | 133 | 152 | 170 | 180 |

При.meчание. Для выполнения задачи необходимо использовать данные лист миллиметров бумаги.

4. Зависимость напряжения источника питания от тока нагрузки приведена на рис.

61

3. Найдите максимальный мощность, которую источник может отдать в нагрузку. Каким должно быть сопротивление нагрузки, чтобы мощность была максимальной?

10 класс

1. Математический матник, в котором нить заменена жестким невесомым стержнем, совершает свободные колбания малой амплитуды. На сколько процентов, самое большое, можно изменить период колбании, если превращить математический матник в разновидность физического, закрепив в определенной точке стержня груз той же массы, что и на конце?

2. Трубка длиной $l=1$ м и радиусом $r=0,08$ м имеет массу $m_1=4$ кг. В трубке находится поршень массой $m_2=10$ кг. На одном конце трубки имеется уплотнительное колюцо, не пропускающей воздух, а на другом — фиксатор, способный удерживать поршень в крайнем положении. Когда поршень находится поршеним колюцом кровной вертикальной стене (рис. 4). После этого поршень передвинуты к противоположному концу трубки и закрепили фиксатором, а трубку отпустили. Удержится ли трубка на стене? Козффициент треня уплотнительного колца о стену $\mu=0,5$, атомсферное давление $p_0=10^5$ Па.

3. Из батарейки, двух одинаковых волтметров и двух одинаковых миллиамперметров собрана схема (рис. 5). Соединенные паралельно приборы показывают $U_1=0,26$ В и $I_1=0,75$ мА. Второй миллиамперметр показывает $I_2=1$ мА. Определите направление на клеммах батарейки и сопротивления прибора.

4. Два жестких невесомых стержня длиной $l$ каждой скрепленны концами в шарнире массой $m$. На концах стержней укреплены шарики, массы которых $m$ и $2m$. Конструкция поставлена на стол вертикального шарниром вверх и начинает разъездаться от малого толка так, что стержни все время остаются в вертикальной плоскости (рис. 6). Треня нет. 1) Найдите скорость шарнира перед удалом о стол. 2) Найдите скорость шарника массой $2m$ в тот момент, когда угол между стержнями равен $90^\circ$.

Экспериментальный тур

8 класс

1. Определите коэффициент треня подставки (тела) о поверхности стола.

Оборудование: шатин с лапкой, подставка от универсального шатива (или кусок металла произвольной формы массой около 2 кг), суровая нить, деревянная линейка, динамиометр.

2. Определите плотность неизвестной жидкости.

Оборудование: мензурка, пробка или шарик для настоящего тенниса, пластлин, сосуд с водой, сосуд с неизвестной жидкостью, нить.

9 класс

1. Определите неизвестное сопротивление.

Оборудование: источник тока BC-4-12, шатин с двумя лапками, электронная демонстрационная, резистор (6 Ом, 2 А) — 2 шт., нить, гайка железная, соединительные провода — 6 шт., неизвестное сопротивление, деревянная линейка.

2. Определите работу, необходимую для надувания воздуха шарик.

Оборудование: воздушный шарик, манометр U-образный, тройник стеклянный, сантиметр, резиновая трубка, миллиметровая бумага.

Указание. Перед измерениями следует 2—3 раза надуть и сдуть шарик.

10 класс

1. Постройте иObсяните график зависимости глубины резкости от диаметра диффрамы при фиксированном расстоянии между лампой и линзой.

Оборудование: линза школьная, экран белый, подставка с лампочкой направленем 2,5—6,3 В, источник тока (2,5—6,3 В), линейка ученическая, бумага черная, ножницы, бумага миллиметровая.

Указание. Подглубиной резкости подразумевается разность между максимальным и минимальным расстояниями между линзой и экраном, при которых изобравнение еще остается резким.

2. Определите, во сколько раз потери теплы в calorimetре с коэффициентом меншше, чем в calorimetре без коэффициента.

Оборудование: calorimetр школьный, термометр, резистат (6 Ом, 2 А) — 2 шт., источник тока BC-4-12, провода соединение — 8 шт., амperметр школьный (2 А), сосуд с водой (200 мл), нагревальная спираль на колодке.

О. Овчинников, С. Резниценко, Г. Яковлев

Призеры Всероссийской Олимпиады Школьников

Matematika

Дипломы 1 степени

по 8 классам получили:
Абакумов Е. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Астерлин А. (Новосибирск, с. ш. № 121),
Весник Р. (Петрозаводск, с. ш. № 18),
Губарев А. (Фатеж, с. ш. № 1),
Матвеев О. (Свердловск, с. ш. № 79);

по 9 классам —
Биллце Ю. (Калинин, с. ш. № 6),
Итенберг И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Князев А. (Краснойск, с. ш. № 101),
Кудинов О. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Кузнецов Д. (Горький, с. ш. № 36),
Орлов Д. (Владимир, с. ш. № 8),
Шкляренко Д. (Брянск, с. ш. № 46),
Юровский С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ);

по 10 классам —
Антонов В. (Обнинск, с. ш. № 6),
Добровадных О. (Белорец, с. ш. № 14),

62

Корсуков А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Николаев И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Слуцкий Б. (Новосибирск, с.ш. № 130),
Фреер В. (Вольск, с.ш. № 12),
Чальх О. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ).

Дипломы II степени
по 8 классам получили:
Бурадо А. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Дулов Н. (Киров, с.ш. № 59),
Масляков И. (Иваново, с.ш. № 22),
Пронин О. (Владивосток, с.ш. № 23),
Трусов И. (Орел, с.ш. № 1);

по 9 классам —
Бердюzin А. (Ангарск, с.ш. № 10),
Викторов В. (Рязань, с.ш. № 45),
Виноредов А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Гаврилов С. (Шадринск, с.ш. № 4),
Карпенко Н. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Садзтов С. (Ростов-на-Дону, с.ш. № 14),
Шценин И. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ);
по 10 классам —
Галкин И. (Горький, с.ш. № 36),
Горбунов С. (Петрозаводск, с.ш. № 30),
Елисеев М. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Мазуров О. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Мамий Д. (Майкоп, с.ш. № 22),
Поутаnek Ю. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Соколов А. (Ангарск, с.ш. № 19).

Дипломы III степени
по 8 классам получили:
Кабанов А. (Ногинск, с.ш. № 6),
Кумыков М. (Нальчик, с.ш. № 5),
Просёлков Д. (Омск, с.ш. № 69),
Шимкунас Э. (Казань, с.ш. № 131);

по 9 классам —
Аверин А. (Челябинск, с.ш. № 127),
Гальниц И. (Чита, с.ш. № 5),
Домашов О. (Воронеж, с.ш. № 58),
Макаренко И. (Ломоносовский р-н Ленинградской области, Гостилицкая с.ш.);

по 10 классам —
Жуков А. (Барнаул, с.ш. № 42),
Зиганшин И. (Димитровград, с.ш. № 5),
Лоунов И. (Саратов, с.ш. № 13),
Соловьев С. (п. Черноголовка Московской области, с.ш. № 82).

Физика
Дипломы I степени
по 8 классам получили:
Вахрушев Я. (Архангельск, с.ш. № 49),
Писарев А. (Невиномысск, с.ш. № 11),
Плюсин К. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Хомяков Н. (Улан-Удэ, с.ш. № 35),
Ярунин Н. (Павлово, с.ш. № 1);

по 9 классам —
Банков В. (Алексин, с.ш. № 1),
Гребнев И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),

Ершов М. (Ярославль, с.ш. № 33),
Малышеев В. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Мокеев И. (Ангарск, с.ш. № 10),
Рыбенков В. (Махачкала, с.ш. № 13),
Симаков С. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Сыскин В. (Новосибирск, с.ш. № 130),
Хлухенский К. (Чебоксары, с.ш. № 27);

по 10 классам —
Арбузов В. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Бибиков П. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Боко С. (Братск, с.ш. № 18),
Иваценко Л. (Тольятти, с.ш. № 26),
Пироженko А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Соньков С. (Саратов, с.ш. № 13),
Шпеткин А. (Калининград, с.ш. № 32).

Дипломы II степени
по 8 классам получили:
Абанов А. (Краснойрск, с.ш. № 170),
Епифанов С. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Курриков И. (Гатчина, с.ш. № 1),
Молчанов С. (Саратов, с.ш. № 13),
Паршин Н. (Пенза, с.ш. № 6);

по 9 классам —
Бурщенко А. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Лазутин Ф. (Апатиты, с.ш. № 2),
Малиновский А. (Павлово, с.ш. № 1),
Марихин В. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ),
Савров М. (Азов, с.ш. № 13),
Черныйцов И. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Шмелев Е. (Мирный, с.ш. № 19);

по 10 классам —
Альтфедер И. (Нальчик, с.ш. № 9),
Амихмин С. (Казань, с.ш. № 131),
Баталов С. (Арзамас, с.ш. № 2),
Еремев С. (Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ),
Ксенофонтов Л. (Верхневилюйск, с.ш. № 2),
Малышеев В. (Волгоград, с.ш. № 131),
Склокин А. (Апатиты, с.ш. № 1),
Сультанов А. (Москва, ФМШ № 18 при МГУ),
Шмаков И. (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ).

Дипломы III степени
по 8 классам получили:
Балаура В. (Волгоград, с.ш. № 92),
Erшов А. (Златоуст, с.ш. № 25),
Молдцов В. (Рыбинск, с.ш. № 21),
Оженев А. (Ленинск-Кузнецкий, с.ш. № 2);

по 9 классам —
Дьячков М. (п. Черноголовка Московской области, с.ш. № 82),
Катарzin А. (Салават, с.ш. № 6),
Корчацин А. (Красноармейск, с.ш. № 2),
Фатьянов О. (Курск, с.ш. № 6),
Шенков А. (Чита, с.ш. № 1);

по 10 классам —
Алискендаров З. (Махачкала, с.ш. № 16),
Дьячкин В. (Ярославль, с.ш. № 33),
Качаев И. (Краснойрск, с.ш. № 10),
Кирюшин И. (Горький, с.ш. № 36).