Модель Пуанкаре

Квант 1984, №6 с. 5, 6, 7, 10 Тег JTFW

Модель Пуанкаре

Кандидат физико-mатематических наук
К. Л. САМАРОВ,
Кандидат физико-mатематических наук
В. М. УРОЕВ

Ни одна геометрия не может быть более истинна, чем другой.
Анир Пуанкаре

Ко второму веку до нашей эры завершилось аксиоматическое построение геометрии, изложенное Евклидом в тринадцатитомном труде «Начала». Накопленный поколениями практический опыт измерения углов, длин и площадей превращался в стройную математическую теорию с аксиомами и построатами, теоремими, определениями, доказательствами. Выявились основные действияuzione лица геометрии: точка, плоскость, прямая.

Но нечто тиннственное ощушалось в этих абстрактных понятиях. Практическая деятельности людей, особенно в то время, не могла подсказать, что же произходит с прямыми линяями очень далеко, «на бесконечности». Возможно, по этой причине значенную аксиому о паралельных (V постулат) Евклидс формулировал осторожно: если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньшие двух прямых, то при неодранченной продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.

По-видимому, древние описались операровать с бесконечностью, считая плоскость как бы скленной из привъявных сознанию одинаковых конечных кусков. Это не случайно. Согласно господствоващим тогда представленям, Земля считалась большим плоским диском. Настолько большим, что изменить его было невозможно. Да и не нужно, не было в этом необходимости — сликом уже узкими были пространственные границы познанного мира.

В эпоху дальнейх страсти и географических открытий эти границы значительно развинулись; но потребовались еще столетия, прежде чем изменение представленной об окружающей мире сказалось на развитию геометрии. Так или иначе, в XVIII веке, в книге английского педагога Плейфера, поступ-

лат о паралельных появляся в своей современной, более смелой и лаконичной, формулировке: через точку вне прямой можно проведити только одну прямую, не пересекающий данную и лежащую с ней в одной плоскости.

В двадцатых годах XIX века рождается геометрия Лобачевского*). В ней сохраняются все аксиomy и поступаты геометрии Евклида, кроме одного — пятый постулат заменяется на следующие утверждение: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную и лежащие с ней в одной плоскости.

Почти все современники Лобачевского были уверены, что его геометрия — ошибочная. Они не только отрицали ее применимость к внешнему миру, но считали ее порочной изнутри — внутренне противоречивой, то есть считали, что при дальнейшем развитии теории из поступата о паралельных, принятого Лобачевским, неизбежно будет получены противоречие друг друга утверждения.

Мы не будем касаться здесь сложного вопроса о связи геометрии Лобачевского с внешним миром — он раскрывается во всей глубине лишь в теории относительной, созданной в начале нашего века**). Наша цель иная — расссказать о том, как математик удалость с геометрию Лобачевского обвининие в противоречивости. Именно для этой цели в конце прошло века французский математик А. Пуанкаре построил модель геометрии Лобачевского (1882 г.). Но чтобы расссказать, что представляет собой модель Пуанкаре и почему она установливает непротиворечивость геометрии Лобачевского, нам придается сначала заняться свойствми… общковенной окружности.

Построение ortogonalных окружностей и прямых

Назовем две линии — окружности или прямые — ortogonalными, если они пересекаются под прямым углом.Напомним, что под углом между окружностями понимается угол между

*) Об истории ее становления см. Квант, 1982, № 11, с. 12 и № 12, с. 7.
**) Об этом написано, например, в книге «Релятинский мир» В. Н. Дубровского, Я. А. Смородинского, Е. Л. Суркова (М., Наука, 1984).

Рис. 1.

Инверсия и ее свойства

Инверсия ( $O, r$ ) (или симметрией относительной окружности с центром $O$ и радиусом $r$ ) называется преобразование плоскости, при котором каждой точке $M$ ставится в соответствие такая точка $M'$ на луче $OM$ , что
$|OM| \cdot |OM'| = r^2.$
Точку $O$ называют центром инверсии (это единственная точка, где преобразование не определяено), число $r$ — радиусом инверсии, а окружность ( $O, r$ ) — окружность инверсии.

Инверсия — действительное своего рода симметрия относительной окружности; она «выворочивает» внутренность окружности в ее внешность (и наоборот), своеобразно искажает форму и размеры фигур (см. иллюстрации к статье «Инверсия» в «Кванте» № 5, с. 26). Основные свойства инверсии ( $O, R$ ) показаны на рисунке 2, где можно проследить, что

точки, лежащие внутри окружности инверсии, переходят в точки, лежащие вне нее, и наоборот;
точки окружности инверсии, и только они, остаются на месте;
прямые, проходящие через центrium инверсии, переходят в себя;

3’) прямые, не проходящие через центrium инверсии, переходят в окружности;

окружности, проходящие через центrium инверсии, переходят в прямые;

4’) окружности, не проходящие через центrium инверсии, переходят в окружности;

величины между линиями сохраняется;
инверсия, как и другие виды симметрии, образна самой себе; другие словами, двукратное применение инверсии возвращает все точки (кроме $O$ ) на место.

Эти свойства не сложно доказываются; читатель может найти их доказательства в статье «Инверсия» в предыдущем номере «Кванта», однako для понимания дальнейшего их разбор не обязательен. Приведем (уже с доказательством) еще одно важное свойство инверсии.

Любая окружность, отгоющаяная окружности инверсии, переходит в себя при этой инверсии.

Доказательство. По свойству 4’), данная окружность $\gamma$ переходит в окружность $\gamma'$ . По свойству 2), точки пересечения $A$ и $B$ окружности $\gamma$ с окружностью инверсии остаются на месте, значит, $\gamma'$ проходит через $A$ и $B$ . По

противоречи, то то же самое имело бы место и для перевод этих двух теорем, сделанных при помощи нашего словааря; но эти переводы субт теоремы объективной геометрии (…), которая свободна от противоречи`.

Это рассужждение показывает, что из непротиворечности эклидовой геометрии следует непротиворечность геометрии Лобачевского. Именно в этом смысле Пуанкаре говорил, что ни одна геометрия не может быть более истинна, чем другая.

Таким образом, чтобы установить непротиворечность геометрии Лобачевского, осталось проверить, что все ее аксиомы выполняны для построенной выше модели.

Проверка аксиом

Мы не будем проверять все аксиомы геометрии Лобачевского для модели Пуанкаре — это скучное и утомительное дело, а ограничимся доказательством лишь несколько характеристик основных положений геометрии Лобачевского. Именно следующих.

I. Любое перемещение переводит «плокость» λ в себя, причем «прямы» переходят в «прямы».
II. Через любые две «точки» плоскости λ проходит одна и только одна «прямя».
III. «Перемещения плоскости» λ сохраняет улы между «прямыми».
IV. Любые две «прямы» конгрузиты, то есть существует «перемещение плоскости», переводящие одну в другую.
V. Через каждую точку, не принадлежую данной «прямой», проходят по крайней мере две «прямы», не имеющие с ней общих точек. (Это «аксиома параллельных» Лобачевского; рис. 5).

Докажем утверждение I—V.
I. Поворот кругга λ вокруг его центра и симметрия относительно его диаметров, очень непроведят λ в себя. Что же касается инверсии относительно любой окружности τ, ortогonalной γ, то она переводит γ в себя (свойство 7)), притом две области, на которые τ разбиивает λ, меняются местами, то есть λ переходит в себя.
II. Это вытекает из следствия задачи 5.
III. Это верно для всех основных перемещений (см., в частисти, свойство 5)), а значит, и для их композиций.
IV. Это следует из задачи 4.

V. Пусть данная прямая т пересекает γ в точках A и B. Рассмотрим сперва частный случай, когда данная точка не что иное, как центр O кругга λ. Тогда диаметры (OA) и (OB) — прямые, не пересекающие τ. Наломним, что точки окружности γ, в частиности точки A и B, «точками» «плокости Лобачевского» не являются. Общий же случай сводится к рассмотрению частному случаю с помощью задачи 3.

Итак, основные положения (I—V) геометрии Лобачевского доказаны в модели Пуанкаре. Тем, кто хотел бы дальше изучать геометрию Лобачевского на этой модели, в конце статьи мы предложаем несколько задачи. А пока ответим на один из вопросов, возникший еще в начале статьи.

А что же все-tаки проискодит «на бесконечности»?

Одно из приемуществ модели Пуанкаре состоит в том, что на ней — с нашей эклидовой точки зрения — можно видеть танистенное множество «бесконечно удаленных» точек геометрии Лобачевского.

Покажем, что граничную окружность γ естественно рассматривать как «бесконечно удаленную окружность» плоскости Лобачевского λ. Для этого возвратимся на заданное в обычную инверсию плоскость и посмотрим, как с помощью перемещений эклидовой плоскости сдвинуть заданную фигуру сколь годно далеко от ее первого嗽ального положения. Например, это можно сделать так. Выберем на эклидовой плоскости две параллельные несовпадующие прямые $l_1$ , $l_2$ и отразим плоскость симметрично относительно прямой