Задачи вступительных экзаменов в различные вузы в 1983 году

54

Задание
вступительных
экзаменов
в различные виды
в 1983 году

Предлагаемnodборку задан вступительных
экзаменов по математике и физике в некоторых
учиверситеты — Белоруссий, Донецкий,
Казанский, Киевский, Саратовский, Ташкентский и институты — Кищиневский политехнический, Ленинградский филиал Московского
технологического института, Московский аввационный технологический, Московский здро-
мелюративный, Тбилисский педагогический.

Математика
Писменный экзамен

Алгебра

1. Сумма квадратов двух последовательных
   целых чисел на 29 больше утроенного меньшего
   числа. Найдите эти числа.
2. Определите три числа, образующие их
   геометрическую прогрессию, если сумма этих
   целых разна 31, а сумма их квадратов равна 651.
3. От пристигаи $A$ одновременно отправились
   вниз по текущию катер и плот. Катер спустился
   вниз по текущию на 96 км, затем повернул обратно
   и вернулся в $A$ через 14 часов. Найдите
   скорость катара в стоячей воде, если известно,
   что катер встретил плот на обратном пути
   на расстоянии 24 км от $A$.
4. Точки $A$ и $B$ находятся на окружности
   радуса $R$ см. Если точки начнут дивигаться
   настречу друг другу по меньшей дуге, то встретираться через 5 с, а если по большей дуге, то
   встреча произойдет через 11 с. Если точки будут
   -divigаться в одном направлении, то первая точка
   нагонит вторую через 20 с. Найдите скорости
   точек.
5. Трое рабочих разной квалификации выполнили неокторую работу, причем первый работал
   6 часов, второй — 4 часа, третьий — 7 часов. Если бы первый работал 4 часа, второй —
   2 часа и третьий 5 часов, то было бы выполнен
   лишь 2/3 все работы. За сколько часов рабочие
   закончили бы работу, если бы они работали все
   вместе одно и то же время?
6. Числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ образуют арифметическое прогрессию. Докажите, что

$$\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n}.$$

7. Упростите:

$$\frac{\sqrt{\frac{1+a}{1-a}} + \sqrt{\frac{1-a}{1+a}}}{-\frac{1}{a}},$$

8. Докажите точдество:
   a) $$\frac{1+\text{ctg} 2\alpha \text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg} \alpha,$$
   b) $$\frac{(\alpha + \sqrt{3}\alpha^2) : (\alpha + \sqrt{3}\alpha^2) - 1}{\sqrt{3}\alpha - \sqrt{3}\alpha} = -\frac{1}{3}.$$
9. Докажите точдество:
   a) $$\frac{1+\text{ctg} 2\alpha \text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg} \alpha,$$
   b) $$\cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos 2\alpha \cos 2\beta = 1,$$
   g) $$1 - \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha + \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha.$$
10. Известно, что $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$. Найдите
    $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha.$$
11. Вычислите $\sin (2\alpha + \frac{5}{4}\pi)$, если $\text{tg} \alpha = \frac{2}{3}$.
12. При каких значениях $p$ оба корня квадратного уравнения
    $$(p-2)x^2-2px+p-1=0$$
    положитьны?
13. Найдите все значения $b$, при которых
    ровно один корень уравнения
    $$x^2+2bx-2b=1$$
    удовлетворяет неравенству $x>2$.
14. Решите уравнение:
    a) $$\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 5,$$
    b) $$\sqrt{3x+7} - \sqrt{x+1} = 2,$$
    c) $$\sqrt{x-2} + \sqrt{x} = \sqrt{x-2} - \sqrt{x},$$
    g) $$x^{\log_2 x} + 1 = \sqrt{x-2},$$
    r) $$x^{\log_2 x} + 1 = 100x,$$
    d) $$2 + \log_3(2^x-2) = \log_3 2 + \log_3(4^{x-1}-1),$$
    e) $$4^{x+1.5} + 9^x = 6^{x+1},$$
    j) $$\lg(x-3) + \lg(x+6) = \lg 2 + \lg 5,$$

3. $$\log_{16} x^3 + \log_x \sqrt{x} = 2,$$
   i) $$\cos 4x + 2 \cos^2 x = 1,$$
   k) $$5 \text{ctg} x - 4 \text{tg} x = \frac{9}{\sin x},$$
   l) $$5 \sin 2x - 12(\sin x - \cos x) + 12 = 0,$$
   m) $$\sin x \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x,$$
   n) $$\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cdot \cos x,$$
   o) $$4 \log_2 \sin x + 2 \log_1 \cos(2x + \frac{\pi}{4}) + 1 = 0,$$
   п) $$4 \sin x - 2^{-\frac{1}{2}} + \sin x = 1,$$
   p) $$\cos \left(\frac{4\pi x}{x^2 + x + 1}\right) = 1.$$

14. Определите, какие значения $x$ из отрезка
    $[-\pi; \pi]$ удовлетворяют уравнению
    $$\frac{1}{\cos x} = \sin x + \cos x.$$
15. Найдите все решения уравнения
    $$\frac{2}{\cos 6x - \cos 2x} = \frac{1}{\cos 8x \cos 2x},$$
    удовлетворяющие неравенству $0 \leq x \leq \pi/2$.

55

16. Сколько решений в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение
    $$|x + \frac{1}{x} - 4| = a?$$

17. При каких значениях параметра $a$ уравнение
    $$\sqrt{2a - 3 - 3\cos 2x} = \sqrt{2}(1 - \cos x)$$
    иметре решения? Найди их.

18. Решите неравенство:
    a) $7 - 3\sqrt{x+1} \ge 2x$,
    b) $\sqrt{x^2 - x - 6} < x + 5$,
    c) $x^6 + \sqrt{x^2 - 1983} \ge 1983^3$,
    d) $x \cdot \sqrt{1983 - x^2} < \sqrt{1982}$,
    e) $|1 - \log_{1983} x| + |\log_{1983} x - 3| > 4$,
    f) $\log_{\frac{1}{2}}(1 - |x-1|) < 0$,
    g) $\frac{|1 - 3x| - 2}{\sin(x + \frac{\pi}{3})} \ge 0$,
    h) $\log_{|x-1|}(x^2 - 1) < 1$,
    k) $\log_2(x^2 + x - 2) - \frac{2}{\log_{|x-6|}4} \ge 0$,
    l) $(x^2 + 2x + 2)\cos(x + 1) \ge 2x^2 + 4x + 3$.

19. Решите систему уравнений:
    a) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3}, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{array} \right.$
    b) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{4\sqrt{x+y}}{x-y} - \frac{4\sqrt{x-y}}{x+y} = 2, \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{array} \right.$
    c) $\log_2 y \cdot \log_{1/x} 2 = 1 - \log_2 x, \log_3 2 \cdot \log_{\sqrt{2}} x = 1;$
    d) $10^{3-1\lg(x-y)} = 250, \sqrt{x-y} + \frac{1}{2}\sqrt{x+y} = \frac{26-y}{\sqrt{x-y}}.$

Аналіз

1. Вычисление

2. В каких точках касательные к кривой $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + 1$ параллельны прямой $y = 2x - 1$?

3. Решите неравенство
   $$y' < -3, \text{ если } y = 5x^2 - 2\ln x - 6x.$$

4. Найди наиболее и наиболее значение функции
   a) $y = x^3 - 3x^2 - 6x + 10$ на отрезке $[-1; 3]$,
   b) $y = (x-2)^2 \cdot \sqrt{x^2 - 4x + 6}$ на отрезке $[1; 4]$.

5. Найди координаты точки пересечения с осью $OX$ касательной к кривой $y = x^2 + 3x + 3$ в точке $A(-2; 1)$.

6. Найди точки экстремума функции
   a) $y = e^{2x} - 2e^x - 4x + 2$,
   b) $y = -2 \cdot 3^{-4x^2} - 2 \cdot 3^{-3x^2} + 3^{-2x^2} + 1.$

7. Найди интервалы monotonности функций
   $$y = 2x^2 + 5x + 11 + 6\ln \frac{2}{x}.$$

8. При каких $a$ функция
   $$y = -x^3 + ax^2 + a^2x + 5$$
   возрастает на промежутке $[-6; 2]$?

9. Пусть $x_1$ и $x_2$ — соответственно точка минимума и точка максимума функций $y = -2x^3 + 3(1-2a)x^2 + 12ax - 1$. При каком значении $a$ $x_1^2 = x_2^2$?

10. Найди все значения параметра $a$, при которых функция $f(x) = \left(\frac{\sqrt{a+4}}{1-a} - 1\right)x^5 - 3x + \lg 5$ убывает.

11. По двум взаимно перпендикулярным дорогам к перекрестку двинутся две автоматины со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч соответственно. В данной момент они находятся от перекрестка на расстоянии 20 км и 30 км соответственно. Через сколько времени расстояние между минимами будет минимальным?

12. К графику функции $y = (x-1)^2, x \in [0; 1]$ проводятся касательные. В какой точке нужно проверить касательную к графику этой функции, чтобы пршадь треугольника, ограниченной этой касательной и осями координат, была наиболее?

13. Представьте число 48 в виде суммы двух натуральных слагаемых так, чтобы сумма куба первого числа с квадратом второго была минимальная.

14. Найди расстояние между ближайшими точками графиков функций: $y_1 = x^2 + x + 1$ и $y_2 = 2x - 2$.

Геометрия

1. Даны три непустьвых вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, каждые два из которых не кодились. Найди их сумму, если вектор $\vec{a} + b$ колипейрен вектору $\vec{c}$, а вектор $b + \vec{c}$ колипейрен вектору $\vec{a}$.
2. Вычислите $ABC$ треугольника $ABC$, заданного координатами его вершин
   $$A(2; 2\sqrt{3}), B(0; 0), C(-\sqrt{3}; 1).$$
3. В правильный треугольник вписана окружность радиуса $r = 5\sqrt{3}$ м и через центр окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найди длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
4. Найди площадь квадрата, вписанной в правильный треугольник со сторонами $a$.
5. В равноведренный треугольник с основанием $a$ и углом $a$ при основании вписан прямой треугольника наиболее плоской площадь, если длина катаета $AC$ равна $a$, а длина другого катаета равна длине отрезка $CD$.
6. Вычислите длину биссертрисы угла $C$ треугольника $ABC$, если $|AB| = c, |AC| = b, |BC| = a$.

58

8. Человек, масса которого $m=70$ кг, сидит на середине трапеции (рис. 2). Палка трапеции подвешена на вервках длиной $l=8$ м. При качании человека прохідит положение равновесия со скоростью $v=6$ м/с. Каково натяжение каждой вервки в этот момент?

9. К концу однородной палочки массой $m=4$ г подвешен на нити алиминивый шар радиуса $R=0,5$ см (рис. 3). Палочка кладут на край стакана с водой, добавяясь равновесия при погружении в воду поливины шарика. Определите, в каком относительной длине палочка точкой опоры. Плотность алиминира $\rho_a=2,7 \cdot 10^3$ кг/м³.

10. Какой максимальный уклон может преодолеть электровоз мощностью $N=7 \cdot 10^5$ Вт, дивяя состав массой $m=6 \cdot 10^6$ кг со скоростью $v=7,2$ km/ч, если коэффициент треня $\mu=0,002$?

11. Деталь, образытываемая на станке, прижимается к шлифовальном камню диаметром $D=4 \cdot 10^{-1}$ м с силой $F=1,0 \cdot 10^3$ Н. Какая мощность затрачается на шлифовку, если коэффициент треня камня о деталь $\mu=2 \cdot 10^{-1}$ и камень врашается с частотой $n=2$ об/с?

12. Определите мощность гидротурбины при условии, что за время $t=1$ с высоты $h=100$ м падает $V=250$ м³ воды. КПД турибины $\eta=90\%$.

13. Брусок массой $m_1$ движется по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью $\vec{v}_1$. Пуля массой $m_2$, летевшая в горизонтальном направлении со скоростью $\vec{v}_2$, затревает в бруске. Угол между векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ $\alpha=90^\circ$. Какое количество теплоты выделилось в бруске?

14. Пуля массой $m=10$ г, летящая горизонтальное со скоростью $v=500$ м/с, попадает в ящик с песком массой $M=50$ кг, подвешенный на вервке, и затревает в нем. На какую высоту поднимается ящик, отклоняясь после попадания пули?

15. Нейtron сталькиется с покояшимся ядром и после упругого удара отскакивает от него в прямом противоположном направлении. Измерения показали, что относение энергии нейтрона после стольновения к его энергии до стольновения равно $(11/13)^2$. Определите массовое число ядра.

Молекулярная физика. Теплоовые явления

1. Сколько кислорода выдает при каждом вдохе альпинист, находящейся на высоте, где давление воздуха $p=50 \cdot 10^3$ Pa? Известно, что у поверхности Земли, где давление $p_0=100 \cdot 10^3$ Pa, человека выдxaет за один раз $m_0=1,0 \cdot 10^{-3}$ кг кислорода. Изменением температуры воздуха с высотой можно пребегнуть.

2. На сколько градусов необходимо нагреть газ при постоянном давлении, чтобы объем его увеличился вдвое по сравнению с объемом при $0^\circ C$?

3. На какой глубине объем пузырка воздуха, поднимающегося со дня водоема, вдвое меньше, чем у поверхности? Наружное давление $p_0=760$ мм рт. ст.

4. В баллоне объемом $V=1,0 \cdot 10^{-3}$ м³ находится газ. При постоянной температуре часть газа выпускается из баллона, при этом давление в нем уменьшается на $\Delta p=55$ кПа, а масса баллона с газом — на $\Delta m=1,0 \cdot 10^{-3}$ кг. Найдите плотность газа при нормальном давлении $p_0=101,3$ кПа и температуре опыта.

5. Два сосуда соединены тонкой трубкой с краном. В одном сосуда, объем которого $V_1=2$ л, находится азот при давлении $p_1=1,4 \cdot 10^5$ Pa и температуре $t_1=7^\circ C$, в другом, объемом $V_2=4$ л, — углекислый газ при давлении $p_2=1,6 \cdot 10^5$ Pa и температуре $t_2=47^\circ C$. Какое установится давление в сосудах, если кран будет открыт, а температурастанet равной $t=27^\circ C$?

6. На сколько градусов надо нагреть воздуха внутри сообщающего с атмосферой воздуха шара, сферическая оболочка которого имеет диаметр $d=10$ м и массу $m=10$ кг, для того, чтобы шар взлетел? Atmosферное давление $p_a=735$ мм рт. ст., температура $t_a=27^\circ C$. Молярную массу воздуха приять равной $M=29$ кг/моль.

7. При изобарном нагревании $m=2$ кг кислорода была совершена работа $A=65$ кДж. На сколько градусов нагревании газ? Молярная масса кислорода $M=0,032$ кг/моль.

8. Автомобиль совершает длиной $s=120$ км со средней скоростью $v=60$ км/ч.

59

На этом пути израсходано $V=15$ л бензина. КПД мотор $\eta=30\%$. Какую среднюю мощность развивал motor во время пробета? Теллота сгорания бензина $q=4,6 \cdot 10^7$ Дж/кг, а его плотность $\rho=800$ кг/м$^3$.

9. Сколько необходимо сжечь угля, чтобы $M=6 \cdot 10^3$ кг воды, взятой при $T_1=283$ К, нагреть до $t_2=100^\circ C$ и $m=1,0 \cdot 10^3$ кг ее образить в пар? КПД котла $\eta=70\%$. Удельная тепломкость воды $c=4190$ Дж/(кг·К), удельная теплота парообразования воды $r=2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг, теплота сгорания угля $q=3 \cdot 10^7$ Дж/кг.

10. Какую максимальную работу может совершить идеальный двигатель, если он в каждом цикле получает количество теплоты $Q=10^3$ Дж от нагревателя с температурой $T_H=1000$ К? Температура окружающей среды (холодильника) $T_x=20^\circ C$.

Основы электродинамики

1. На шелковых нитях длиной $l=1$ м висят, соррикаясь друг с другом, два шарика малого диаметра с массой $m=1,5 \cdot 10^{-3}$ кг каждой (рис. 4). На какое расстояние разойдутся шарики, если каждому из них сообщить заряд $q=6 \times 10^{-9}$ Кл?

2. Поле создано двумя точными зарядами $q_1=4 \cdot 10^{-9}$ Кл и $q_2=9 \cdot 10^{-9}$ Кл. В каких точках направленность равна нулю, если расстояние между зарядами $l=2 \cdot 10^{-1}$ м?

3. В вершинах правального шестиугольника со стороны $a$ почередно расположены заряды $+q$ и $-q$ (рис. 5). Определите направление поля, создаваемого всеми зарядами, в центре фигуры.

4. Потенциаль электрического поля на расстоянии $r=40$ см от точного заряда равен $\varphi=200$ В. Какая сила будет действовать на точный заряд $q=10^{-9}$ Кл, помещенный в эту точку?

5. Конденсатор, заряденный до направления $U_1=250$ В, соединяется с конденсатором такой же емкости, но зарядным до направления $U_2=150$ В, параллельно. Какое направление установится между обкладками? Рассмотреть два случая: соединение пластин одинаковой и различной полярности.

6. Разность потенциаль между катом и аномом электронной лампы $U=90$ В, расстояние между электродами $d=1$ мм. С каким ускорением движется электрон от катода к аноду? Какую скорость прибретает электрон, подлега к аноду? Поле в пространстве между электродами считать однородным. Масса электрона $m=9,1 \cdot 10^{-31}$ кг, а его заряд $e=-1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

7. В поле плоского конденсатора, расстояние между пластинами которого $d=1,0 \cdot 10^{-2}$ м, находится в равновесии частица массой $m=1,0 \times 10^{-7}$ кг и зарядом $q=1,0 \cdot 10^{-12}$ Кл. Определите разность потенциаль на пластинах конденсатора при условии, что между ними находится воздуха.

8. Если волтметр соединить последовательно с резистором с сопротивлением $R=10$ кОм, то при напряжении в цепи $U=120$ В он показет $U_1=50$ В. Если соединить его последовательно с резистором с неизвестным сопротивлением, то при том же напряжении он показет $U_2=10$ В. Определите величины неизвестного сопротивления.

9. Электродвижущая сила каждой из двух источников, соединенных параллельно, $\mathcal{E}=1,8$ В (рис. 6). Внутреннее сопротивление первогоника $r_1=0,9$ Ом, второго $r_2=0,45$ Ом. Батарея замкнута резистором, причем ток, прохождение в первом источнике, равен $I=1$ А. Чему равно сопротивление резистора?

10. Электрическая плитка мощностью $P_1=550$ В для сети с напряжением $U_1=220$ В была включена в сеть с напряжением $U_2=127$ В. Какая мощность выделяется в литке при таком включении? На какую часть нужно укоротить спираль, чтобы плитка выделяла мощность $P_1$ при напряжении $U_2$?

11. Определите КПД электрического чайника, если при мощности $P=8 \cdot 10^2$ В за время $t=20$ мин можно включить $V=2$ л воды при начальной температуре $t=20^\circ C$. Удельная тепломкость воды $c=4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К).

12. От генератора, направление на выходе которой $U=300$ В, требуется передать на расстояние $l=1$ км мощность $P=10$ кВт. Какогоечение должно быть медный провод, чтобы потери направления на линии не превышали 5%? Удельное сопротивление меди $q=1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м.

13. Для получения меди включенного последовательного $N=400$ электропитческих ванн с площадью катодных пластин $S=16$ м$^2$ в каждой ванне. Плотность тока $j=200$ А/m$^2$. Найдите выпуск меди за время $t=24$ ч и расход энергии за то же время, если направление на ванн $U=100$ В. Электроимпеcii электвалент меди $k=0,33$ мг/Kл.

Колебания и волны

1. В кабине подъемника высит мятник. Когда кабина неодвижна, период его колебаний $T_0=1$ с. В движущейся с постоянным ускорением кабине период $T=1,2$ с. Определите модель и направление ускорения кабины.

2. Математический мятник длиной $l$ совершает колебания влизации в расстоянии $l/2$ от нее в стену забит гвоздь. Найдите период колебаний мятника.

3. На чашку, подвешенную наружные жекости $k$. (рис. 8), с высоты $h$ падает груз массы $m$ и остается на чашке (удар абсолютоно неупру-

60

гий). Определите амплитуду колебаний чашки (массой чашки можно пренебречь).

4. Капли воды падают через одинаковые интервалы времени с некоторой высоты на пластину, закрепленную наружие. Частота собственных колебаний пластины $\omega_0$. Известно, что амплитуда колебаний пластины при этом оказывается максимальным. Найди расстояние между отрывающейся каплей и ближайшей к ней падающей каплей.

5. При какой скорости поезда рассорывалов будут особенно сильно колебаться под действием толчков колес о стыки рельсов? Длина рельса $l$, нагрузка на рессору $F$, рассора прогибается на $h$ при нагрузке $f$.

6. Колебательный контур с периодом колебаний $T = 1 \cdot 10^{-6}$ с имеет индуктивность $L = 0,2$ Гн и активное сопротивление $R = 2$ Ом. На сколько процентов уменьшится энергия этого контура за время одного колебания? На протяжении несколько колебаний ток можно считать синусоидальным.

Оптика

1. На поверхности озера находится плот, длина которого $a = 8$ м, ширина $b = 6$ м. Определите размеры полной теня от плота на дне озера при освещении поверхности воды рассеяным светом. Глубина озера $h = 2$ м, показатель проломления воды $n = 1,33$.

2. Угол падения лука из воздуха на стеклянную пластину с толщиной $d$ и показателем проломления $n$ равен углу полного отражения для стекла, из которого изготовлена пластина. Вычислите смесение лука в результате прохождения сквозь указанию пластину.

3. Фокусное расстояние собирающей линии $F = 10$ см, расстояние от предмета до переднего фокуса $l = 5$ см, а линейный размер предмета $h = 2$ см. Определите величины изображения. Где нужно расположить предмет, чтобы получить изображение с увеличением $\Gamma = 10$?

4. С помощью собирающей линии на экране получено уменьшенное действительное изображение предмета. Размер предмета $h = 6$ см, размер изображения $h_1 = 4$ см. Оставляя экран и предмет неподвижными, линзу перемещают в сторону предмета до тех пор, пока не получат второе изображение предмета. Определите его величины.

5. На оптической оси на расстоянии $d = 2$ м от собирающей линии с оптической силой $D = 1$ дитр помещена лампочка (рис. 9). За линейная расстояния $l = 1,75$ м расположено плоское зерколю, установленное перпендикулярно оптической оси. На каких расстояниях от линии будут находиться изображения предмета?

6. При освещении катода светом вначале с длиной волны $\lambda_1$, затем $\lambda_2$ обнаружили, что запирающее напряжение изменилось в $n$ раз ($U_1/U_2 = n$). Определите работу выхода электрона из материалов катода.

7. Какими лучами освещен стронций, если с его поверхности вылетают электрицы с максимальной kinетической энергии $E = 1,8 \times 10^{-19}$ Дж? Красная граница форозфекта для стронции $\lambda_{\max} = 550$ nm.

Ответы, указания, решения

Избранные школьные задания

1. Ответ: 0. Решение. $\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{10}+\sqrt{8}} - \frac{3}{\sqrt{10}-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{8}+\sqrt{7}}{(\sqrt{8})^2-(\sqrt{7})^2} + \frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{8})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{8})^2} - \frac{3(\sqrt{10}+\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2} = \sqrt{8} + \sqrt{7} + \sqrt{10} - \sqrt{8} - \sqrt{10}-\sqrt{7}=0$.

2. a) I способ. Треугольники $ABO$ и $BCO$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$, поэтому их площади относится как длины оснований: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{|AO|}{|CO|}$ (рис. 1); аналогично $\frac{S_4}{S_3} = \frac{|AO|}{|CO|}$. Следовательно, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_4}{S_3}$ и поэтому $S_1S_3 = S_2S_4$. II способ. Оба произведения равны $\frac{1}{4}|AO||BO||CO||DO|\sin^2\varphi$, где $\varphi$ — угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Рис. 1.

6. Ответ: $\sqrt{S_1S_2}$. Указание. (рис. 2) $S_{ABD} = S_{ACD}$ (у них общее основание $AD$ и равны высоты, проведенные к $AD$), поэтому $S_{CDO} = S_{ABO} = S$; после чего obtет немедленно следует из утверждения п. a): $S^2 = S_1S_3$. Другой способ: из подобия треугольников $BOC$ и $AOD$ следует, что $\frac{|AO|}{|OC|} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$. С другой стороны, $\frac{S}{S_1} = \frac{|AO|}{|OC|}$ (см. п. a)), откуда $\frac{S}{S_1} = \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}$ и $S = \sqrt{S_1S_2}$.

3. Ответ: 29. Решение. В момент выхода из порта $A$ выбранный нами пародов встретит в порту $A$ пародов, выведший из $B$ровно 15 суток назад, в момент приближения $B$ — пародов, выходящий из $B$ровно через 15 суток после отправления выборного парода. Значит, все произойдет 31 встреча (столько же, сколько цельных чисел от —15 до 15 включительно), из них — 29 в открытом море.

4. Умножив обе части доказываемого равенства на $S$, где $S$ — площадь треугольника, получим равновесное равенство $\frac{S}{r} = \frac{S}{h_a} + \frac{S}{h_b} + \frac{S}{h_c}$, обе

63

6. $x_1 = -\sqrt{2 \log_3 2}, x_2 = \sqrt{2 \log_3 2}$ — точка максимума, $x_3 = 0$ — точка минимума.

7. Убивает на $0; \frac{3}{4}, \text{возрастает на } \frac{3}{4}; +\infty$.

8. $a \in ] -\infty; -6] \cup [18; +\infty]$.

9. $a = \frac{1}{2}$. 10. $[-4; \frac{3-\sqrt{21}}{2}] \cup [1; +\infty]$.

10. $\frac{23}{41}$ часа. 12. $S_{\max} = \frac{8}{27}, x = \frac{1}{3}$.

11. $48 = 5 + 43$. 14. $0, 55 \sqrt{5}$.

Геометрия

1. $\vec{0}$. 2. $\frac{\pi}{2}$. 3. 20 м. 4. $3a^2(7-4\sqrt{3})$. 5. $\frac{a^2}{8} \text{tg} \alpha$; $a\left(1+\frac{1}{2} \text{tg} \alpha\right)$. 6. 270 см$^2$. 7. 48. 8. $\frac{2}{\sqrt{5}} a^2$.

2. $\frac{\sqrt{ab}((a+b)^2-c^2)}{a+b}$. 10. $\frac{a^2-b^2}{4}(\sqrt{3}-1)$. 11. $h^2$.

3. $\frac{3}{4} b, \frac{3}{4} a$. 13. $\frac{1}{4} ab \sin \alpha$. 14. $\frac{25}{49} S$. 15. 9:1.

4. $\frac{13a+4b}{50} \sqrt{d^2-\frac{1}{4}(a-b)^2}$. 17. 2.

5. $\frac{a^2}{4} \sqrt{3(4 \text{tg}^2 \beta+1)}$. 19. 2 arcsin $\frac{1}{\sqrt{4 \sqrt{12}}}$.

6. $\frac{6a^2h^2}{(a+h)^2}$. 21. 4,5 см. 22. $a^3 \sin \alpha \sin \beta \times \sqrt{\cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)}$. 23. $\frac{\sqrt{2}}{2} a^3$.

7. $\frac{H}{\sqrt{1+4 \text{tg}^2 \alpha+1}}$. 25. $4 \sqrt{3} \pi b^3(27 \sin^3 2\alpha)^{-1}$.

8. $900 \pi$. 27. $\frac{12V}{\pi(1+\sqrt{2})^3}$.

9. $\frac{1}{6} S \sqrt{S} \frac{\sin \alpha}{\sqrt{\pi \sin \frac{a}{2}}}$. 29. $\frac{a^6}{2(a^2-1)^2}$.

10. $-\frac{1}{3} \pi R^3 \text{tg}^3 \alpha \cdot \text{tg} 2\alpha$. 31. $\frac{7}{54} l^3 \sin 2\alpha \cos \alpha$.

11. arcsin $\frac{3}{5}$. 33. $\frac{\pi(\gamma-1)}{\gamma^5}$. Отношение наиболее при $\gamma = \frac{5}{4}$.

Устный экзамен

Алгебра

1. Второе число больше. 2. a) $\frac{17}{4}, 6)$ $\frac{3}{2}$.

2. $\frac{5}{34} \sqrt{34}$. 4. Воспользуйтесь тем, что $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{(k-1)^k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$.

3. 55. 6. a) {1}; 6) {3}; b) {3}; r) $\{\frac{3}{2}\}$;

д) $x=2, y=\frac{1}{2}; e) {2}; jk) x=(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n (n \in Z); 3) x=\pm \arccos \frac{\pi}{6} + 2k\pi (k \in Z)$.

7. a) три решения; 6) два решения; b) бесконечного много решения.

8. $x=k\pi, y=\frac{\pi l}{2}, z=-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi m}{3} (k, l, m \in Z)$.

9. a) $] -\infty; \frac{-1-\sqrt{11}}{2}$] $\cup [-\frac{1+\sqrt{11}}{2}; +\infty$;

6. $[-7; -\sqrt{35}[\cup 0; 5]; b) [-5; 0; r) [1; 2[\cup [8; +\infty[; d) ]0; 2] \cup [3; 7[; e) ]-\infty; -1]\cup [1; +\infty]$.

10. $a \in ] -\infty; 1[ \cup 3; +\infty$.

11. $[(2; 3)]$. 14. $b \in ]-2; 2[$.

Аналіз

1. a) $(3x^2-10x)e^{x^3-5x^2}, 6)$ 0.

2. min $y=y(0)=1$, max $y=y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$.

3. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 4. Убивает при $x \in ] 0; \frac{1}{e}[$, возрастает при $x \in ] \frac{1}{e}; +\infty$.

Геометрия

1. Могут — это треугольник со сторонами 3d, 4d и 5d, где $d>0$.

2. $0 < S \leq \frac{a^2}{4} \text{ctg} \frac{\alpha}{2}$.

3. $S = \left(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3}\right)\left(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} - \frac{1}{h_3}\right) \times \left(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} - \frac{1}{h_3}\right)$.

4. $r_1=r \frac{1+\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}, r_2=r \frac{1-\sin \frac{\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}$.

5. $2\frac{2}{3} l^3 \sin \beta \sin \frac{\beta}{2}$. 7. arccos $\frac{\text{ctg} \frac{\pi}{n}}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2}}$. 8. arctg 3.

Физика

Механика

1. $v_{cp} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} \approx 53,3 \text{ km/ч}$.

2. $\tau = \sqrt{l^2+2l/g} t \approx 1 \text{ c}$.

3. $t = (2v_0 \sin \alpha)/g \approx 80 \text{ c}$; $R = (v_0 \cos \alpha)^2/g \approx 4,8 \cdot 10^4 \text{ m}$.

4. $t = \sqrt{\frac{(m_1+m_2)h}{(m_1-m_2)g}} = 1,4 \text{ c}$.

5. $r = \sqrt{3} T^2 R^2 g/(4\pi^2) \approx 4,2 \cdot 10^7 \text{ m}$.

6. $l_2=2l_1-l$.

7. $F_1 = \frac{m g l}{2(l-l_1)} = 312,5 \text{ H}$; $F_2 = mg-F_1 = 187,5 \text{ H}$.

8. $T = \frac{m}{2} \left(g + \frac{v^2}{l}\right) \approx 500 \text{ H}$.

9. $l_1 = 1 + \frac{4\pi R^3(2\varrho_a-\varrho_b)}{3m} \approx 1,6$ (здесь $\varrho_b = 10^3 \text{ кг/m}^3$ – плоотность воды).

10. $\alpha \approx \frac{N}{mgv} - \mu \approx 0,004 \text{ рад} \approx 0,23^\circ$.

11. $N = \mu F\pi Dn \approx 480 \text{ Bt}$.

12. $N = \eta \varrho g Vh \approx 225 \text{ MBt}$.

13. $Q = \frac{m_1 m_2(v_1^2+v_2^2)}{2(m_1+m_2)}$.

14. $h = \frac{m^2 v^2}{2g(m+M)^2} \approx 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ M} \approx 0,5 \text{ mm}$.

15. $A = 12$.

Молекулярная физика. Телловые явления

1. $m = m_0 p/p_0 = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$.

2. $\Delta t = 273^\circ \text{C}$.

3. $h = p_0/(\varrho g) \approx 10 \text{ M}$ (здесь $\varrho = 10^3 \text{ кг/m}^3$ – плоотность воды).

4. $\varrho = \frac{p_0 \Delta m}{\Delta p V} \approx 1,8 \text{ кг/m}^3$.

Этот цветной геометрический узор — не плод фантации художника, а точный математический чертеж, изображаюющий так называемые зоны Бриллюзия. Каждый из представленных здесь зон дана своим цветом. Их формы различны, но площади одинаковы (они равны площади центрального квадрата). Откуда возникают зоны Бриллюзия и почему они обладают указанным свойством, можно узнать из статьи А. Б. Гончарова в этом номере журнала.