Геометрия скользящих векторов

Квант 1985, №8 с. 9-16 Тег T254

Кандидат физико-математических наук Ю. П. СОЛОВЕВ,
кандидат физико-математических наук А. В. СОСИНСКИЙ

…Да Лебедь рвется в облака,
Рак лягится назад, а Шука тянет в воду.

Вы, конечно, помните вынесенные в эпиграф строки замечательной бази И. А. Крылова. А задумывались ли вы над тем, как расчитать движение воздуха, если известно, с какими силами его тащат лебедь, рак и шука? Задача эта совершенно естественная, можно сказать, типичная: к некоторому твердому массивному телу в определенных местах приложены силы — что произойдет? Как ни странно, привучный векторный аппарат, изучаемый в школе на уроках физики и математики, совсем непригоден для решения подобных задач. Когда мы должны принимать в расчет не только массу, но и размеры тела, когда мы имеем дело не с абстрактной матерIALной точкой, а с настоящим предметом, то не всегда ясно, как складывать векторы, приложенные к предмету в разных местах, что можно и чего нельзя делать с этим векторами и, собственно говоря, что представляют собой такие «настоящие» векторы.

Ответ на эти вопросы — в виде необольной математической теории (теории скользящих векторов) — и составляет предмет нашей статьи.

Какие бывают векторы?

Вектор в пространстве или на плоскости приято изображать направлением отрезком AB. Он задается двумя точками: своим началом (или точкой приложения) A и концу B. Если отрезок AB неограниченно продолжить в обе стороны, получается прямая, которая называется линейной действая вектора AB.

Все векторы, в зависимости от того, какие геометрические или физические величины они представляют, могут быть разбиты на три следующих типа.

1°. Можно сучиться, что два геометрических вектора изображают одну и ту же физическую или механическую величины. (Напомним, что в геометрии два вектора (направленных отрезка) называются равными, если их линии действия параллельны, длины равны и порядок точек задает одно и то же направление на их линиих действия, или, другими словами, если они совмещаются параллельным переносом.) Такого рода векторы, не имеющие ни определенной линии действия, ни определенной точки приложения, называют свободными. Например, вектор магнитной индукции постоянного магнитного поля или вектор скорости одной инерцальной системы относительно друг — свободные векторы; их можно считать приложенными к любой точке. Математики, как правило, тоже изучают свободные векторы; простейший пример — вектор, заданной параллельной перенос: приложенный к любой точке, он указывает своим концом образ этой точки при данном переносе.

2°. С другой стороны, встречаются также физические величины, что изображаются их векторы не могут быть отделены от своей точки приложения. Такого рода векторы называются связными (или закрепленными). Так, вектор мгновенной скорости движения точки в данной момент времени — пример связанного вектора.

Его нельзя отделить от движущейся точки (если, конечно, все остальные точки пространства не перемещаются с той же скоростью).

3°. Наконец, может служить, что два геометрических равных вектора изобразают равные физические величины лишь при условии, что эти векторы имеют одну и ту же линюю действия, и изобразают не равные физические величины, если они имеют различные линии действия. Таковые, например, векторы, изобразующие силы, действующие на твердое тело. Такие неотделимые от линии действия векторы называются скользывами. Это, так сказать, «настоящие» силы векторы, реализно действующие не на абстрактные «бесконечно малые» тела, а на жесткие предметы, имеющие определенные размеры и форму. Заметим, что здесь условие жесткости тела существенно: тело не растяивается и не скнимается, без потеря передает усиление вдоль линии действия, поэтому не важно, к какой именно точке на линии действия приложена сила; точка приложения может как бы скольить по линии действия.

О скользывах векторах и почти рассказ. В дальнейшем слово «вектор» без определения следует понимать именно как «скользыващий вектор»; а когда речь пойдет о свободных или закрепленных векторах, это будет оговорено.

Мы будем обозначать (скользывание) векторы либо одной полужирной буквой, например $v$ , либо двумя буквами

с чертой сверху, например $\overrightarrow{AB}$ . Свободные же векторы мы будем обозначать буквами со стрелками, например $\vec{v}$ или $\overrightarrow{AB}$ .

Системы скользыващих векторов

Итак, (скользыващий) вектор $v=\overrightarrow{AB}$ задается прямой $l=AB$ — своей линий действия — и направлением отрезком $AB$ , лежащим на этой прямой. Два вектора $v=\overrightarrow{AB}$ и $u=\overrightarrow{CD}$ считаются совпадениями, если они задают один и тот же свободный вектор $(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD})$ и, кроме того, у них одна и та же линия действия (прямы $AB$ и $CD$ совпадают).

В дальнейшем нас будут интересовать не отдельно взятые векторы, а конечные системы векторов $(v_1, v_2, \dots, v_k)$ , ведь именно такие системы ответают системам сил, действующим на твердое тело. Порядок перечисления векторов, разумеется, не существует; однако один и тот же вектор может встречаться в системе несколько раз, и его нужно считать столько раз, сколько он в ней встречается.

Наша цель — научиться преобразовать системы друг к другу, совпать — если это возможно — произвольную систему к системе простейшего вида. Для этого нам потребуется

Элементарные операции
и эквивалентность системы векторов

Когда линии действия двух векторов $v$ и $u$ пересекаются, эти векторы

можно сложить естественным образом: если $u = \vec{AB}$ , $v = \vec{AC}$ (А — общая точка линей действия), то суммой $w = u + v$ векторов $u$ и $v$ называется вектор $w = \vec{AD}$ , где точка $D$ получена сложением $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$ по правилу параллелограмма (рис. 1,a). Такое сложение «пересекающийся» векторов будет нашей первой элементарной операцией; она свойит систему из двух векторов $(u, v)$ к системе из одного вектора $(w)$ .

У этой операции есть обратная: если дан любой вектор $v = \vec{AB}$ , то можно выбрать две произвольные прямые, проходящие через любую точку линей действия (скажем, через точку $A$ ), и разложить вектор $\vec{AB}$ по правилу параллелограмма (рис. 1,б). Из одного вектора $(v)$ мы получим систему из двух векторов $(v_1, v_2)$ .

Обратите внимание, что складывать можно только векторы, чьи линей действия пересекаются или совпадают. Особенно просто складываются векторы с общей линейной действия. В частности (рис. 2), так складываются два противоположных вектора, то есть векторы вида $v = \vec{AB}$ и $-v = \vec{BA}$ ; их суммой будет нуль-вектор $0 = \vec{AA}$ .

Наша вторая элементарная операция состоит в уничтожении нуль-вектора, то есть в переходе от системы вида $(v_1, v_2, ..., v_k)$ к системе $(v_1, v_2, ..., v_k)$ . В частности (при $k=0$ ), простейшая система $(v, -v)$ совпается к пустой или нульевой системе, которое мы будем обозначать так же, как нуль-вектор — через 0.

У второй элементарной операции тоже есть обратная — розделение нуль-вектора, то есть переход от системы $(v_1, v_2, ..., v_k)$ к системе $(v_1, v_2, ..., v_k)$ . В частности (при $k=0$ ), простейшая система $(v, -v)$ совпается к пустой или нульевой системе, которое мы будем обозначать так же, как нуль-вектор — через 0.

С точки зрения механики понятно, почему мы интересемся элементарными операциями и эквивалентными системами. Ведь две эквивалентные системы с помощью оказываются на твердое тело, в чем можно убедиться не только экспериментально, а просто продукт氟изической смысл элементарных операций. Приводя же сложные системы мы к более простым, мы получаем возможность легко разобраться в том, какое именно результатое воздействие данной сложная система сил оказывает на твердое тело.

Простейшие системы на плоскости; пары

Рассмотрим теперь подробнее приведение системы векторов к более простым для случая систем векторов на плоскости.

На рисунке 3 показано, как с помощью элементов операций осуществляется приведение некоторых простейших систем векторов к другим системам. Мы советуем читателю внимательно проследить за всеми операциями и даже проделать их самостояльно на бумаге.

Особое внимание следует обратить на рисунок 3, е. На нем показаны системы из двух противоположных векторов равной длины на параллельных линейных действия; такие системы коротко называют параметром. Из рисунка видно, что пары не удается упростить, а можно только «повернуть», превращать в другую пару.

На рисунке 4 показана еще одна серия элементов операций. Здесь происходит не упрощение исходной системы (из одного вектора), а ее условия: из данного вектора мы получаем вектор с другой линейной действия и пару; впрочем, если этот рисунок прочитать в обратном порядке (а это осмысленно, либо каждая элементарная операция имеет обратную), мы получим упрощение (система, состоящая из пары и вектора, приводится к системе из одного вектора). Переход $(v) \rightarrow (u, x, y)$ стоит запомнить, он нам потребуется несколько позже.

Заметим еще, что примыты приведения плоских систем бывают полезны и при рассмотрении пространственных задач. Так, пространственная система $(\mathbf{l}, \mathbf{p}, \mathbf{ш}, \mathbf{т})$ ( $\mathbf{l} = -\mathbf{t}, |\mathbf{p}| = |\mathbf{ш}|$ ) применением операции разложения вектора приводится (рис. 5,a) к паре $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ : $\mathbf{l} = \mathbf{a} + \mathbf{v}, \mathbf{ш} = \mathbf{b} + \mathbf{u}$ , а плоская система $(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{л}, \mathbf{т})$ , остающаяся после выделения из системы $(\mathbf{l}, \mathbf{p}, \mathbfш, \mathbf{т})$ пары $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ (рис. 5,a), как легко видеть, приводится к нулю (рис. 5,б)

Момент вектора и момент пары

Выше мы видели, что пар векторов нельзя привести к одному скользываемому вектору. Однако пара допускает

Простейшее преобразование плоских систем:

a) два пересекающих вектора → один вектор;

b) два соправленных вектора → два пересекающих вектора;

c) два противоправленных вектора разной длины → два пересекающих вектора;

d) два противоправленных вектора равной длины (пара) → другой пара.

Рис. 3.

удобную векторную характеристику. Чтобы получить ее, нам придется на часть издалека.

Пусть дан вектор $v = \overline{AB} \neq 0$ и точка $O$ , не лежащая на его линии действия; тогда момент вектора $v$ относительно точки $O$ называется (закрепленный!) вектор $OM$ (приложенный к точке $O$ ) с линейной действия, перpendикулярной плоскости $OAB$ , длины $OM = r \cdot |v|$ (где $r$ — плечо вектора $v$ относительно $O$ , то есть расстояние от $O$ до прямой $AB$ ) и направленный так, чтобы направление вращения $v$ вокруг $O$ , наблюдаемое из точки $M$ , было положительным (против часовой стрелки; рис. 6); если точка $O$ лежит на линии действия вектора $v$ , или $v = 0$ , то момент принимается равным нулю. Moment вектора играет важную роль в механике при изучении вращательного движения и имеет красивые приложения в геометрии.

Пусть теперь дана пара векторов $v = \overline{AB}, v' = \overline{A'B'}$ и точка $O$ ; пусть $OM$ и $OM'$ — моменты $v$ и $v'$ относительно $O$ . тогда легко проверить (сделайте это!), что длина и направление суммы моментов относительно точки $O$ векторов $v$ и $v'$ не зависит от выбора этой точки, то есть сумма является свободным вектором. Его называют (веktorным) моментом пары $(v, v')$ . Легко проверяется, что длина векторного момента пары $(v, v')$ равна $d \cdot |v|$ , где $d$ — расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $A'B'$ . Пользоваться этим, а также утверждение задачи 3, нетрудно доказать, что пара приведется к нулю тогда и только тогда, когда ее векторный момент равен нулю.

Приведение плоских систем к паре или вектору
Мы сейчас доказем следующую замечательную теорему.

Всякая (конечная) система (скользащих) векторов на плоскости прюводятся либо к одному вектору, либо к пале.

Доказательство. Если данная система состоит из одного вектора — теорема доказана. Если в системе есть векторы с пересекающимся линиями действия, то их можно попарно упрощать (см. рис. 3,a), пока не останутся лишь векторы с параллельными линиями действия. Если таких векторов три или более, то по крайней мере два из них соправлены, и мы можем упрощать систему дальше (см. рис. 3,б). Таким образом, переходы 3, б и 3, а позволяют нам свести доказательство теоремы к случай двух противоположно направленных векторов с параллельными линиями действий. Если длины векторов различны, то переход 3, б с последующим переходом 3, а дает нам один вектор, а если длины равны, то мы получили пару; теперь теорема доказана полностью.

Заметим, во-первых, что доказательство не только устанавливает справедливость теоремы, но и дает эффективный способ для того, чтобы найти вектор (или пару), эквивалентный исходной системе. Во-вторых, если заранее выбрать некоторую фиксированную точку, то можно так проводить наш элементарные операции, чтобы привести данную систему к системе из одной пары и одного вектора, чья линия действия проходит через эту точку. Действительно, это верно, если система приводится к одной паре. Если же она приводится к одному вектору, то операция, показанная на рисунке 4, позволяет привести вектор к паре и вектору, чья линия действия проходит через заданную точку.

Исчисление системы векторов; базис

Мы научились приводить системы плоских векторов к простым системам. Однако оказались, что системы можно не только приводить одну к другой, но и выражать одну через другие. При этом возникнет исчисление системы векторов, очень похожие на обычное исчисление свободных векторов в пространстве.

Чтобы описать это исчисление, определяем сумму двух системы $N=(u_1, u_2, ..., u_k)$ и $M=(v_1, v_2, ..., v_l)$ как их «свободное объединение», то есть система

$L=N+M=(u_1, u_2, ..., u_k, v_1, v_2, ..., v_l)$

(равенство системы векторов понятия здесь и ниже как их эквивалентность), и произведение

$\lambda N=(\lambda u_1, \lambda u_2, ..., \lambda u_k),$

где $\lambda$ обозначает вектор с той же линейной действия, что $u$ , длины $|\lambda| \cdot |u|$ , направленный так же, как $u$ , если $\lambda>0$ , и в противоположную сторону, если $\lambda<0$ .

Скажем, что система $N$ линейно выражается через системы $M_1, ..., M_n$ , если существует числа $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ , также что

$N=\lambda_1 M_1+\lambda_2 M_2+\dots+\lambda_n M_n.$

Рассмотрим теперь случай системы на плоскости. Пусть $O$ — произвольная точка плоскости, $I$ и $J$ — одновекторные системы, состоящие из ненулевых неоклипнеарных векторов, приложенных к точке $O$ , а $K$ — любая (ненулевая) пара. Тогда системы $I, J, K$ образуют базис в множестве системы плоских векторов, то есть любая система $N$ однозначно линейно выражается через $I, J, K$ :

$N=\alpha I+\beta J+\gamma K$

(числа $\alpha, \beta, \gamma$ однозначно определяны системы $N$ при фиксированных $I, J, K$ ).

Читатель, знакомый с понятием векторного пространства, конечно, понял, что это утверждение означает, что множество классов экзвалентных систем (скользащих) векторов на плоскости относительно операций, определяемых выше, образует векторное пространство размерности 3.

Дояда до этого места, авторы сервисно задумались, а потом запорили: о каких именно приложениях теории скользащих векторов рассказы? Где только эта теория не используется! В статике (теория ферм иверочных многоугольников), в строительном механике, в kinematике и диинамике твердого тела, а ее обобщения использются в некоторых новых разделах геометрии. Но нельзя объять необъятное. Здесь мы приведем только один пример — из kinematики твердого тела, а также, в конце статьи, ряд задач. Еще одно применение скользащих векторов — в строительном механике — рассматривается в заметке «Висячие места» на с. 22.

Вращение твердого тела

Здесь нас интересует такая кинематическая задача: как описать движение твердого тела, врашающегося около некоторой оси, если эта ось в свою очередь врашается вокруг неподвижной оси? Мы будем считать задачу решенной, если дан способ нахождения вектора скорости любой направления заданной точки тела (относительно неподвижной системы отчета).

Ответ красиво формулируется в терминах скользыващих векторов. Однако прежде чем его привести, мы немного расскажем о том, как вообще может двигаться твердое тело. Начнем с простейших примеров.

При равномерном прямолинейном движении твердое тело перемещается с постоянной скоростью в фиксированном направлении. При этом векторы скорсти во всех точках одинаковы, их направление и величины во времени. Все точки движутся по прямым. Движение характеризуется одним своободным вектором скорсти $\vec{v}$ .

При равномерном врашательном движении тело движется с неизменной угловой скоростью (см. «Физику 8», § 17) неподвижной оси. При этом вектор скорсти любой точки на оси врашения — нулевой, а вектор скорсти любой другой точки перепендукулярен плоскости, проходящей через эту точку и ось, и по величины пропорционален расстоянию от точки до оси. Точки оси остаются на месте, а остальные точки движения по окружности с центрами на оси. Такое движение характеризуется одним с коЛЬЗЯЩИМ вектором $\omega$ — угловой скоростью врашения, линия дей-stвия которого совпадает с осью врашения.

При равномерном врашательном движении тело врашается с постоянной угловой скоростью $\omega_0$ неподвижной оси $AB$ , а само тело к тому же врашается вокруг оси $M_1N_1$ с постоянной по величины угловой скоростью $\omega_1$ . (Подчеркнем, что

Как скользыващий вектор эта угловая скорость переменная, $\omega_1 = \omega_1(t)$ , — меняется положение ее линейной дейстивия $M_t N_t$ .) Как описать результатующее движение? Ответ зависит от взаимного расположения осей $AB$ и $M_t N_t$ .

1°. Оси совпадает. Тогда тело врашается около неподвижной оси $AB = M_t N_t$ с постоянной угловой скоростью $\omega = \omega_0 + \omega_1$ . (Пример: движение часов или минутной стрелки часов, лежащих на Северном полюсе.)

2°. Оси параллельны, причем $\omega_0 \neq -\omega_1$ . Тогда в любой момент $t$ скорости всех точек тела также же, как если бы оно равномерно врашалось с угловой скоростью $\omega = \omega_0 + \omega_1$ (здесь имеет в виду сумма скользывающих векторов — см. рис. 3 и рис. 10) вокруг линейной дейстивия $P_t Q_t$ вектора $\omega$ . Говорят, что тело имеет мгновенную угловую скорость $\omega$ и мгновенную ось врашения $P_t Q_t$ . В данном случае мгновенная ось врашается вокруг неподвижной оси $AB$ , оставаясь ей параллельной.

3°. Оси параллельны, причем $\omega_0 = -\omega_1$ . Тогда тело совершает поступательное движение с вектором скорости $\vec{v}$ , равным моменту пары ( $\omega_0, \omega_1$ ), то есть в любой момент $t$ скорости всех точек тела одинаковы и равны $\vec{v}$ . (Пример: движение подвижной части педали; рис. 8.)

4°. Оси пересекаются. Этот случай аналогичен 2°: в любой момент $t$ тело имеет мгновенную ось врашения и мгновенную угловую скорость $\omega = \omega_0 + \omega_1$ . Разница в том, что здесь мгновенная ось описывается не цилиндр, а конус с вершиной в неподвижной точке тела — точке пересечения осей. (Пример: прецессионное движение волчка; рис. 9.)

5°. Оси скрещиваются. В этом случае тело имеет, так сказать, «мгновенную винтовую ось»; подробнее об этом см. в задачах 7, 8.

Мы видим, таким образом, что решение нашей kinematической задачи коротко и просто формулируется в терминах сложения скользывающих векторов. Несложные доказательства утверждения 1°—4° мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Разные задачи

Наозем главным вектором системы скользыващих векторов ( $v_1, \dots, v_n$ ) сумму равных им свободных векторов $\vec{v}_1 + \dots + \vec{v}_n$ , а главным моментом этой системы относительно точки $O$ — сумму моментов векторов $v_1, \dots, v_n$ относительно $O$ . Докажите, что у любых двух эквивалентных систем главные векторы и главные моменты относительно одной и той же точки $O$ совпадают.
Покажите, что любая система векторов, расположенных в одной плоскости, эквивалентна тем вектором, направленным вдоль сторона треугольника, произвольно выбранного в той же плоскости.
Докажите, что плоская система векторов, перпендикулярных к сторонам выпуклого $n$ -угольника в их серединах, эквивалентна нулю, если длины векторов пропорциональны соответствующим сторонам и все векторы обращены внутри многоугольника (или все направку).
Сформируйте и докажите утверждение, аналогичное утверждению предыдущей задачи, для терраэдра.

5*. Покажите, что любая система векторов пространства эквивалентна шести вектора, направленным по ребрам произвольного тетраэдра.

6*. Покажите, что любая система векторов пространства эквивалентна системе, состоящей из одного вектора (проходящшего через произвольное выбранную точку) и из одной пары. Выведите отicioда, что системы скользывающих векторов в пространстве, рассматриваемые с точностью до эквивалентности, образуют шестимерное векторное пространство.

Указание. Сначала приведите систему к трех скользывающим векторам, проходящим через три произвольно выбранные точки (паскладывая каждой вектор системы по тем направленям), затем к двум векторам, один из которых проходит через данную точку, и наконец, примените построение из рисунка 4.

Твердое тело врашается с угловой скоростью $\omega$ около оси, которая в свою очередь движется равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{v}$ . Докажите, что тело: а) совершает