Задачи М936—М940; Ф948—Ф952

40

Задания

M936 — М940; Ф948 — Ф952

M936. Докажите, что за 3n+1 взвешиваний на чашечных весах без гриь можно выделить самый легкий и самый тяжелый из 2n+2 камней, если:
a) n=3; 6) n — любое натуральное число.
С. В. Фомин

M937. Существует ли такая фигура F, что его нельзя накрыть полукруг радиуса 1, а двумя ее экземплярами можно накрыть круг радиуса 1, если F:
a) произвольная фигура; 6) выпуклая фигура?
Н. В. Васильев, А. Г. Самоват

M938. Радиус круга с центром O равномерно врашает, поворачиваясь за одну секунду на угол 360°/n (где n — натуральное число, больше 3). В начальной момент он занимал положение OM₀, через секунду — положение OM₁, еще через 2 секунды — положение OM₂, еще через 3 секунды после этого — положение OM₃ и т. д., еще через n—1 секунду — положение OMₙ−1.
a) Докажите, что если n — степень 2, то радиус OM₁, …, OMₙ−1 делят круг на n равных секторов.
b) Возможно ли это при других значениях n?
В. В. Произвольов

M939. В клетки таблицы 10×10 записывают каким-либо образом цифры 0,1,…,9 так, что каждая цифра встречается 10 раз.
a) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и каждой столце встречались не более 4 различных цифр?
b)* Докажите, что найдется строка или столец, в котором встречается не менее 4 различных цифр.
Л. Д. Курляндчик

M940*. a) Квадрат разбит на прямогольники. Назовем цепочкой такое множество этих прямогольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытия (рис. 1). Докажите, что любые два прямогольника входят в некоторую цепочку.
b) Докажите аналогично утверждение для куба, разбитого на прямогольные параллелипеды (в определенении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро куба).
в) Верно ли, что любые два параллелипеда в разбиении куба принадлежат одному «слюю» —

41

Множеству параллелепипедов, проекции которых на некоторую грань заполняют ее целиком, не налагаясь друг на друга?

А. И. Гольбер, В. А. Гурвич

Ф948. Известно, что в небольшей «просвет» между машинами, стоящими у тротуара, рекомендуется заездим ходом, а не передним. Почему?

Г. Я. Мякищев

Ф949. Одинаковый ли показания термометров, один из которых помещен у поверхности кипящей жидкости, а другой — в ее глубине?

Т. С. Петрова

Ф950. В запаянной капиллярной трубке, находящая два стольника рутины, разделенные капелькой водного растворора электролита HgI₂. Внутренний диаметр трубки d=0,3 мм. Трубка подключена последовательно с резистором с сопротивлением R=390 кОм к батарее с ЭДС Е=10 В (рис. 2). Через какое время капелька сместится на одно деление шкалы (см. рисунок)?

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Ф951. Определить емкость системы конденсатора, приведенной на рисунке 3. У каждой конденсатора указано значение его емкости, измеренной в микрофарадах.

А. И. Буздин, С. С. Кротов

Ф952. Наблюдатель расматривает удаленный предмет и摄影ино этого предмета, сделанную из той точки, в которой находится наблюдаемый. Что ему кажется бóльшим — предмет или его摄影ическое изображение? Во сколько раз?摄影ия была сделана аппаратом, объективного имеет фокусное расстояние F=3 см; при печатании снимка было сделано увеличение k=2,5.

В. С. Рыбин

Problems

M936 — M940; P948 — P952

M936. Prove that 3n+1 weightings on a plain balance without weights are sufficient to distinguish the lightest and the heaviest of 2n+2 stones, if a) n=3; b) n is any natural number.

S. V. Fomin

M937. Does there exist a plane figure F which does not cover a half disk of radius 1, while two copies suffice to cover a disk of radius 1, if a) F is an arbitrary set; b) a convex one?

N. B. Vasiliev, A. G. Samosvat

M938. The radius of a circle rotates about its centre O, sweeping through an angle of 360°/n each second (where n is a natural number greater than 3). At the initial moment the ra-