Парадоксы плоского конденсатора

Квант 1985, №8 с. 52-56 Тег 0K8N

Доктор физико-математических наук
С. М. КОЗЕЛ

«Какие могут быть здесь парадоксы, — скажет читатель, — ведь это такая простая электрическая система». И действительно, что может быть процес плоского конденсатора? Из школьного учебника физики мы знаем, что так называют систему, состоящую из двух параллельно расположенных на небольшом расстоянии проводящих пластин, между которых находится слой диэлектрика.

Если пластины (обкладки) конденсатора подсоединить к полосам батерен, то на одной из них появится некоторый заряд $+q$ , а на другой — заряд $-q$ . Электрическое поле плоского конденсатора содержит ценное, в основном, в пространстве между пластинами. Это поле однородно, то есть вектор направности $\vec{E}$ одинаков во всех точках. Емкость плоского конденсатора выражается формулой

$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d},$

где $\Delta \varphi$ — разность потенциальов между обкладками конденсатора, $S$ — площадь каждой пластины, $d$ — расстояние между ними. $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Казалось бы, все ясно. А между тем многое абитуренты, «встретились» на экзамене с плоским конденсатором, испытывали определенные затруднения. В ряде случаев они, опираясь, вводе бы, на хорошо известные факты, приходит к противоречным результатам, и возникает парадоксальная ситуация. Разумеется, все эти парадоксы можно легко разресть, если глубоко и неформально разобраться в законах электростатики. Приведем несколько конкретных примеров.

Парадокс 1. Расмотрим заряженный плоский воздушный конденсатор. Разность потенциаль между его обкладками

$\Delta \varphi = \frac{q}{C} = \frac{qd}{\varepsilon_0 S}.$

Обратим внимание на то, что $\Delta \varphi$ пропорционально расстоянию $d$ между пластинами конденсатора. Это значит, что, разделяя пластины заряженного конденсатора, мы можем увеличивать разность потенциаль между ними. Зарядив, например, конденсатор до разности потенциальов 10 В и увеличив затем зазор $d$ в $10^3$ , $10^4$ , … раз, мы получим $\Delta \varphi$ равным, соответствующим, $10^4$ В, $10^5$ В и т. д. Какой простой и хороший способ создания ускорителя заряженных частиц! Неправда ли?

Мы явно встречаем здесь в противоречие со здравым смыслом, который подсказывает нам, что еще один шаг, и мы приедем к нарушению одного из основных принципов физики — закона сохранения энергии.

И все же, правильны или нет наши рассуждения? Obviously абитуренты сразу ответают, что такого быть не может, но далеко не все указывают физическую причину этого. А на самом деле все очень просто. Приведенная формула для емкости плоского конденсатора справедлива только при малых значениях $d$ , то есть когда $d$ существенно меньше линейных размеров пластин. При больших зазорах между обкладками поле перестает быть однородным и разность потенциальов $\Delta \varphi$ перестает линейно зависит от $d$ .

Мы затронули здесь очень важный вопрос о пределах применимости физических результатов. Любая физическая модель всегда имеет ограниченную применимость. Нельзя, например, применять модель идеального газа к реальным газам при высоких давлениях и низких температурах. Формула для емкости плоского конденсатора перестает «работать», когда рассстояние между обкладками становится достаточно большим и электрическое поле между ними оказывается

неоднородным. Нельзя непосредственно применять закон Кулона для определения силы электрического взаимодействия между пластинами плоского конденсатора. К сожалению, абитуренты передко в этом случае пишут формулу $F = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$ , в то время как правильное выражение для силы имеет вид $F = q \frac{E}{2} = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S}$ (при этом сила не зависит от расстояния $d$ ).

Тепер сформируем задачу для самостоятельного решения.

Задача 1. Попробуйте оценить, во сколько раз можно увеличить разность потенциаль между обкладками заряженного плоского конденсатора, если удалить их на очень больше расстояние друг от друга.ЛИнейный размер пластин $a = \sqrt{S}$ и начальное расстояние $d$ между ними считать известными.

Заметим, что такого рода задачи на оценки, где точный расчет затруднительен, играют в физике большую роль. Они требуют выбора упрощенной физической модели и позволяют оценить масштабы явления по порядку величины.

Парадокс 2. Возьмем заряженный и изолированный плоский конденсатор и просверлим в его пластинах два маленьких ответствия — одно направив другого. При этом поле внутри конденсатора практически не изменится и останется однородным. Пусть через одно из ответств в конденсатор влегает с небольшой начальной скоростью заряженная частота так, чтобы электрическое поле конденсатораускорило ее (рис. 1). (Для этого, очевидно, частота должна влиять в конденсатор через ответствие в одномimeно заряженной пластине.)

Провелев через конденсатор, частiza вылетает из другого ответствия, прибрета дополнительную энергию $\Delta W = q\Delta\varphi$ . Тепер предлагается с помощью магнитного поля изменить направление движения частцы таким образом, чтобы она снова влетала

Рис. 1.

через первое ответствие в конденсатор. Напомним, что сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частцу, не совершает работы, так как она перепедикулярна вектору скорости частцы.

При повторном prolете через конденсатор частица вновь прибрета дополнительную энергию $\Delta W$ , вследующем цикле — еще $\Delta W$ и т. д. Мы с вами «изобрел» циклическийускоритель, который не нуждается в источнике энергии. Еще немного фантази — и мы конструкируем так называемый двигатель, работаюший без потребления энергии!

К этому ошибочному результату мы пришли потому, что не принял во внимание одно из фундаментальных свойств электристатического поля — его потенциальный характер. Потенциальность электристатического поля означает, что если из одной точки пространства в другую мы переносим заряженное тело, то работа электрических сил не зависит от формы пути, а определяется только положениями начальной и конечной точки. Отсюда следует, что если заряженное тело переносить по замкнутой траектории, то при возврашении в исходную точку полная работа электрических сил обращается в нуль. (Напомним, что таким же свойством обладает и граBITационное поле.) Именно это свойство позволяет ввести понятия потенциальной энергии и потенциальа.

В нашем случае при движении заряженной частицы внутри конденсатора электрическое полеускоряет, а вне конденсатора — тормозит ее, и когда частица подлегает к ответию в первой пластине, ее энергия принимает прежнее значение. Это означает, что в рассматриваемом примере мы прициппально не можем пребрать полем вне плоского конденсатора. Разумеется, оно значительное слабое поля между обкладками, но в нем частца пролетает городадо большей путь; в результате в тормозшем поле вне конденсатора она теряет как раз ту энергию, которое сообщило ейускорющее поле внутри конденсатора.

Парадокс 3. Вот еще один пример, показывающий, что пребрежение внешним полем плоского конденсатора (или, как его называют, полем

рассения) может привести к принципально неверным выводам.

В школьном учебнике сказано, что тела, в том числе и проводящие, расположенные вне конденсатора, практические не влияют на его emкость. Чаще всего так и бывают. Пусть, например, выззи обкладки плоского конденсатора расположена еще одна проводящая незаряженная пластина «a» (рис. 2). Эта пластина не изменит поля внутри конденсатора, и его emкость остается прежней. Поднесем теперь к конденсатору еще одну пластину — «6» и расположим ее выззи второй обкладки конденсатора. И эта пластина не оказывает влияния на emкость конденсатора.

Тепер соединим внешние незаряженные пластины проводником. Наш конденсатор оказывается как быставленным внутри проводящей коробки. Что при этом произойдет?

Многие абитриенты утверждают, что и в этом случае поле между обкладками конденсатора не изменится (так как внешние пластины были не заряжены) и, следовательно, emкость конденсатора тоже не изменится. А между тем схема, изображенная на рисунке 2, при замкнутых крайних пластинах эквивалентна цепи из трех конденсоров (рис. 3). Если все промежутки между пластинами одинаковы, то emкость такого сложного конденсатора равна $C = \frac{3}{2} C_0$ , где $C_0$ — первоначальная emкость. Таким образом, emкость изменяется, а именно — увеличивается в 1,5 раза. Как это можно обьясить?

Оказывается, прийной всему — поле рассечения конденсатора. Под его действием происходит перераспределение зарядов на внешних пластинах, в результате чего верхняя пластина «a» оказывается заряженной отрицательно, а нижняя «6» — положительное. (Кстати сказаны, из рисунка 3 следует, что если одну из внешних пластин соединить проводником с одной из пластин данного конденсатора, то emкость становится равной $2 C_0$ .)

Парадокс 4. Пусть мы имеем два одинаковых конденсатора (далее не обязаательно плоских) emкость $C$ каждой. Один из них заряжен зарядом $q_0$ , а другой не заряжен. Электрическая энергия, запасенная в конденсаторах, равна

$i = \frac{1}{R} \left( \frac{q_0 - q}{C} - \frac{q}{C} \right) = \frac{1}{RC} (q_0 - 2q).$

Если принять во внимание, что по определению ток равен изменению заряда в единицу

времени (производной от заряда по времени):
$i = \frac{dq}{dt},$
то мы получим уравнение
$\frac{dq}{dt} + \frac{2}{RC} q = \frac{1}{RC} q_0.$

Удобнее записать уравнение не для заряда, а для тока, поэтому написанное выше соответствие процедного процедногоференцируем по времени:
$\frac{di}{dt} + \frac{2}{RC} i = 0,$
или $\frac{di}{i} = -\frac{2}{RC} dt.$

Посленее уравнение легко проинтегрировать. При этом левую часть нуждного проинтегрирования в пределах от первогоначального значения тока $i_0$ до значения тока $i(t)$ в рассматриваемый момент времени, а правую — от 0 до $t$ :
$\ln i(t) - \ln i_0 = -\frac{2}{RC} t,$
или
$i(t) = i_0 e^{-2t/(RC)}.$

Значение тока $i_0$ в первый момент после замыкания ключа можно определить из следующих физических сообщений: в первый момент левый конденсатор заряжен до разности потенциалов $q_0 v/C$ , а правый — не заряжен. Поэтому падение напряжения на резисторе как раз равно $q_0/C$ . Отсюда следует, что $i_0 = q_0/(CR)$ .

График функции $i(t)$ изображен на рисунке 5. Такие функции называются экспонентами. Они очень часто встречаются при решении физических задач. Время $t$ , в течение которого сила тока уменьшается в $e$ раз, называется постоянной времени системы. В нашем случае $t = CR/2$ . Чем меньше сопротивление $R$ , тем быстрее проинтегрирует затухание тока.

Тепер нам осталось вычислить джоулево тепло:
$Q = \int_0^\infty i^2(t) R dt = \frac{q_0^2}{C^2 R} \int_0^\infty e^{-4t/(RC)} dt = \frac{q_0^2}{4C} = \frac{1}{2} W_1.$

Итак, парадокс разрешен. Независимо от величины $R$ ровно поливна первоначальной энергии конденсатора переходит в тепло, а вторая поливна сохраняет в виде электрической энергии конденсаторов после их перезарядики. Пусть вас не смущает некоторая сложность приведенного расчета. Такие расчеты, намерены экзаменах от вас не потребятся. Нам важно было показать, что строгий расчет полностью разрешает противоречение.

Остается сказать несколько слов о предельном случае $R \rightarrow 0$ . Что, если мы соединим конденсаторы идеальными проводниками (сверхпроводниками)? Формально наш результат остается в силе, так как он вообще не зависит от величины $R$ . Но где же выделяется «потерянная» энергия и в каком виде?

Разумеется, в этом предельном случае джоулева тепла нет, но существенную роль начинает играть излучение электромагнитной энергии. При быстрых изменениях тока в цепи в окружающей пространстве возникнет переменное электромагнитное поле, и половина первоначальной энергии уносится электромагнитной волной.

Следует отметить, что в этом случае необходимо учитывать небольшую индуктивность соединенных проводов. Тогда цепь становится колбательной кондурту с малым (но не бесконечно малым!) затуханием. Процесс перезарядики конденсатора приобретает колбательный характер, и излучением электромагнитной энергии в окружающей пространстве преобразуется никак не нельзя.

Еще один парадокс, очень похожий на предыдущий, попробyte разрешить сами.

Заддача 2. Имеется незаряженный конденсатор емкости $C$ и батарея с ЭДС $\mathcal{E}$ . Подсоединим обкладки конденсатора к полюсам батареи. Тогда на пластинах появится заряд $q = C\mathcal{E}$ , и конденсатор приобретет электрическую энергию $W = C\mathcal{E}^2/2$ . При этом батарея совершит работу $A = q\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2$ . Мы видим, что $W = 1/2A$ . Куда же девальсь вторая поливна работа, совершенной батареей?

Парадокс 5. Плоский воздушный конденсатор емкости $C$ заполнили диэлектрической жидкость с пропиществом $\varepsilon$ и зарядили до напряжения $U$ . При этом конденсатор приобретел электрическую энергию $W_1 = \varepsilon CU^2/2$ . Затем конденсатор отсоединил от источника, жидкость слини и после этого разрядили. Легко сообщить, что при разряде выделяется энергия $W_2 = \varepsilon^2 CU/2 = \varepsilon W_1$ (заряд конденсатора $q = \varepsilon CU$ при сливании жидкости не изменился, а емкость стала равной $C$ ). Получается, что при разряде конденсатора выделится больше

энергии, чем он получил при зарядке. Например, при $\varepsilon=2W_2=2W_1$ . Возникла явно парадоксальная ситуация.

Хотя задача о разряде конденсатора, из которого удален диэлектрик, в разных вариантах хорошо известна, многие абитриенты испытывали сервисные затруднения, пытаясь разрешить этот парадокс. А объяснение здесь очень простое.

При удалении диэлектрика из заряженного конденсатора нужно совершить неокторую внешнюю положительную работу, так как диэлектрик всегда втягается в область более сильного электрического поля (между обкладками). За счет этой положительной работы внешней силы и будет увеличивать электрическая энергия конденсатора:

$W_2 - W_1 = A_{\text{внеш}}.$

В нашем случае жидкий диэлектрик вытекает из конденсатора под действием силы тяжестей, поэтому энергия конденсатора возрастет на величины работы силы тяжестей. Если конденсатор все время оставался подключенным к источнику, то необходимо было бы учитывать еще и работу батареи:

$W_2 - W_1 = A_{\text{внеш}} + A_{\text{бат}}.$

Это соответствие закон сохранения энергии для изолированного конденсатора (и вообще для любой изолированной электростатической системы) при наличии внешних сил, совершающих работу.

Задача 3. Попробуйте самостояльно найти внешнюю работу и работу, которое совершает батарея с ЭДС $\varepsilon$ , при силье жидкого диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ из конденсатора, подсоединенного к ее полюсом. Емкость воздуха конденсатора равна $C$ .

Если в системе есть активное сопротивление, то необходимо учитывать и джойлево тепло. В этомшем случае закон сохранения энергии удобно записать в виде

$A_{\text{бат}} - Q = \Delta W - A_{\text{внеш}}$