Задачи М1016—М1020; Ф1028—Ф1032

26

Задачи

M1016—M1020; Ф1028—Ф1032

M1016. Многоугольник описан около окружности с центром O. Пусть P — центр масс многоугольника, K — центр масс его контура. Доказите, что точки P, O и K лежат на одной прямой, причем PO=2PK. (При определении центра P мы рассматрием многоугольник как однородную плоскину, центра K — как контур из однородной проволоки.).

И. З. Вайштейн

M1017*. Каждый вершинное правильного пятугольника приписано некоторое целое число так, что сумма всех пятей чисел положительная. Разрешается проделать следующую операцию: если trem последовательным вершинам приписаны числа x, y, z и y<0, то эти числа заменяются соответственно на x+y, —y и z+y. Такие операции выполняются, пока хотя бы одно из пятей чисел отрицательно. Обязательно ли этот процесс закончится через конечное число шагов?

M1018. Пусть A и B — соседние вершины правильного n-угольника с центром O. Треугольник XYZ, равный треугольнику OAB, вначале совпадает с ним, а потом движется в плоскости n-угольника так, что точки Y и Z остаются на контуре, а X — внутри n-угольника. Какую фигуру опишет точка X, когда Y и Z совершат полный оборот по границе n-угольника?

M1019. На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество M узлов (точек пересечения линей сетки). Доказите, что всегда можно окрасить некоторые точки множество M в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линей сетки разность между числом белых и красных узлов по modulo не превысала 1.

M1020*. На сфере радиуса 1 проведена a) кривая, длина которой меньше π;
b) замкнутая кривая, длина которой меньше 2π. Доказите, что найдется плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая проведенной кривой. (Можно считать, что кривая на сфере — это «ломана», состоящая из двух больших кругов.)

В. В. Прасолов, Г. А. Гальперин

Ф1028. Легкийстерень с массивным шариком на верхнем конце начинает падать из вертикального положения без начальной скорости. Нижний

27

конец стержня упирается в уступ на горизонтальной плоскости (рис. 1). Какой угол с вертикалью будет составлять скорость шарика в момент удара о плоскость?

Е. И. Бутиков

Ф1029. При Staционарном падении струпы воды на плоское блюдце можно наблюдать такую картину: в некотором радиuce $r$ от места падения струпу уровень воды очень низок, а на расстоянии $r$ уровень испытывает скачок (рис. 2). Оцените радиус $r$, если расход воды $q$, высота падения $H$, высота водной ступени $h$. Считать, что начальная скорость истечения воды из крана $v_0 \ll \sqrt{2gH}$.

А. А. Алабузин, А. В. Уманский

Ф1030. На невескомой нити жесткостью $k$ высит тело массой $m$. Максимальное натяжение, которое выдерживает нить, равно $T$. Тело приподнимают на высоту $x$ от положения равновесия и отпускают. При каком минимальном $x$ нить порвется?

В. Г. Харитонов

Ф1031. Проводация сфера разбилась на несколько осколков, разлетшихся на большие расстояния друг от друга. Осколки в произвольном порядке соединяют тонкими проводами. Что больше: электроемкость получившейся системы осколков или электроемкость сферы? Емкость проводов пренебречь.

И. М. Луценко, ученик 10 класса

Ф1032. На автоматических для обзора проискодияшегося задачи используется зеркало заднего вида. Это зеркало может быть плоским или выпуклым. Распространено мнение, что одним из недостатков выпуклого зеркала является неравномерность прироста изображения равномерного приближающегося к нему предметов, из-за чего водитель автоматия с таким зеркалом обращает внимание на нагоняющий автомать в потоке транспорта, лишь когда тот выходит из ряда для обгона. Верно ли это представление?

Найдите связь скорости равномерного движущегося воды главной оптической оси сферического зеркала предмета со скоростью изменения размеров его изображения в зеркале. Сравните выпуклое зеркало заднего вида с плоским. Каковы его преимущества и недостатки?

В. А. Котов

Problems

M1016 — M1020; P1028 — P1032

M1016. Let $P$ be the centre of mass of a polygon inscribed in a circle of centre $O, K$ — the centre of mass of its boundary. Prove that the points $P, O$ and $K$ are on one straight line and $PO = 2 \cdot PK$. (In determining the point $P$, we view the polygon as a uniform plate; for the point $K$ — as a uniform wire contour.)

I. Z. Vainshtein