XXVII Международная математическая олимпиада

Савин А. П., Сарычева Т. А., Фомин А. А.

Квант 1986, №12 с. 48-49 Тег FXQ8

XXVII
Международная математическая олимпиада

Кандидат физико-математических наук
А. П. САВИН,
Т. А. САРЫЧЕВА,
кандидат физико-математических наук
А. А. ФОМИН

Когда вспоминаешь десять дней, проведенных в Польше на XXVII Международной математической олимпиаде, в память возникот улицы и площади возожденной Варшавы, небольшой домик в парке города Желязова Воля, в котором родился Федерак Шопен, беседы с руководителем телами команд (а их в этот раз собрались 37), радости и огорченя во время проверки работ и многое другое.

Но самый ярким впечатлением, наверное, был тот момент во время официального закрытия олимпиады, когда на сцены были вызваны трое лучших участников олимпиады, набравших 42 очка из 42 возможных,— наши Володя Роганов и Слава Смирнов и венгр Куш Гиза. Этот момент вы могли видеть в телевизionной программе «Время».

Кроме них, еще 15 участников, набравших не менее 34 очков, также получили первые премии; 41 участник получил вторые премии (от 26 до 33 очков) и 48 — третьи (от 17 до 25 очков). Специальным признаком нагружен американский школьник Джозеф Кин за оригинальное решение задачи № 3.

После закрытия олимпиады фотографировались на память. Всеобщее внимание привлекло совместное фотографирование двух команд СССР и США, и не только потому, что непринуденное общеение этих команд символьизировало атмосферу друзьбы, царившую на этом празднике математики, но и потому, что они разделили I и II места в неофициальном командном переventе, набрав по 203 очка.

Следующие места заняли команды ФРГ (196), КНР (177), ГДР (172), СРР (171), НРБ (161), ВНР (151), ЧССР (149), СРВ (146), Великобритания (141), Франция (131), Австралия (127), Исландии (119), Австралия (117), Канады (112), ПНР (93), Марокко (90), Туниса (85), СФРЮ (84), Алжира (80), Белгии (79), Испания (78), Бразилии (69), Норвегии (68), Греция (63), Финляндии (60), Колумбии (58), Швеции (57), Турция (55), МНР (54), Кипра (53), Кубы (51), Италии (49), Кувейта (48), Израния (37), Люксембурга (22). В каждой команде было по 6 участников, кроме команд Израиля (4), Испании (4), Италии (3) и Люксембурга (2).

Итак, Володя Роганов и Слава Смирнов, набрав по 42 очка, получили первый премии. Остальные четые наших участников получили вторые премии, набрав соответствие: Гена Глушенко — 32 очка, Антон Лунин — 31 очко, Сигитас Крярас и Витя Порошин — по 28 очков.

Если попытаться проанализировать выступление нашей команды, то здесь следует отметить традиционно плоское решение самой простой задачи оlimпиды (№ 1) и традиционно уверенное решение самых трудных задачи (№ 3 и № 6). Вот тексты задач оlimпиды.

Первый день

Пусть $d$ — положительное целое число, отличное от 2, 5 и 13. Докажите, что во множестве {2, 5, 13, $d$ } можно найти два различных числа $a$ и $b$ так, что числа $ab$ — 1 не является квадратом целого числа.
На плоскости даны треугольник $A_1A_2A_3$ и точка $P_0$ . Положим $A_s=A_{s-3}$ для любого целого $s \geqslant 4$ . Строим последовательность точек $P_0, P_1, P_2, \dots$ , так, что точка $P_{k+1}$ есть образ точки $P_k$ при повороте вокруг точки $A_{k+1}$ на угол $120^\circ$ по часовой стрелке ( $k=0, 1, \dots$ ). Докажите, что если $P_{1986}=P_0$ , то треугольник $A_1A_2A_3$ равносторонний.
Каждый вершине пятуугольника приписано некоторое целое число так, что сумма пятей чисел положительных. Если трем последовательным вершинами соответствует числа $x, y$ и $y<0$ , то разрезается следующая соответствие числа $x, y, z$ заменяются соответствием на $x+y, -y, y+z$ . Такие операции последовательно совершаются до тех пор, пока хотя бы одно из пятей чисел отрицательно. Определите, обязателено ли этот процесс завершения за конечное количество шагов.
Второй день
Пусть $A$ и $B$ — соседние вершины правильного $n$ -угольника ( $n \geqslant 5$ ) с центром $O$ . Треугольник $XYZ$ , конгрузный треугольник $OAB$ , вначале совпадает с ним, потом движется в плоскости $n$ -угольника так, что точки

$Y$ и $Z$ остаются на границе, а точка $X$ — внутри данного $n$ -угольника. Какую фигуру опшет точка $X$ , когда точки $Y$ и $Z$ вместе совершают полный оборот по границе $n$ -угольника?

Найдите все функиции $f(x)$ , определяющие на множестве неотрицательных действительных чисел, принимающие значения в том же множестве и удовлетворяющие следующим условиям:
(1) $f(xf(y)) \cdot f(y)=f(x+y)$ для всех неотрицательных $x$ и $y$ ,
(2) $f(2)=0$ ,
(3) $f(x) \neq 0$ для всех $0 \leqslant x < 2$ .
Пусть $M$ — произвольное конечное множество целочисленных точек на координатной плоскости. Всегда ли можно окрасить некоторые точки множество $M$ в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы каждой прямой $L$ , параллельной любой из координатных осей, абсолотная вершина разности между числом белых и красных точек на $L$ не превысходит бы единицы? Ответ обосновите.

Во время проведения оlimпиды состоялось заедание Международного подготовительного комитета по проведению Международных математических оlimпидад под представательством его президента, профессора Московского физико-технического института Г. Н. Яковлева.

На заседании было решено, что в 1987 году оlimпида прошел на Кубе, а в 1988 г. — в Австралии. На рисунке приведен график количества страна-участниц оlimпидад с 1-й по 27-ю и протогноз на следующей два года. Этот протогноз учитывает более широкое представительство латиномейских стран на XXVIII оlimпидад и тихоокеанских стран на XXIX.

XXVII Международная математическая оlimпидад прошла в атмосфере других и стремления к миру. Недаром из задач, которые обменывались участниками I степени в 1984, 1985 и 1986 гг. II премяна на XXVII МMO.

Сигитас Крярас, выпускник школа № 2 г. Моллетай ЛитССР. На Всесоизных оlimпидадх нагradдался в 1984 г. дипломом II степени, в 1985 г. — I степени, в 1986 г. — II степени. II премяна на XXVII МMO.