Заочная физико-техническая школа при МФТИ

55

67,2, СФРЮ — 62,25, Норвегия — 54,69, Куба — 50,71, Исландия — 31,72 (четыре участника).

О. Волков получил специальный приз за абсолотно лучший результат, С. Мягчилов — за лучшее выполнение экспериментального задания.

На закрытию олимпiadы от участников олимпiadы слова было предоставлено советскому школьнику Олегу Волкову.

Во время олимпiadы ее участникам была предложена интересная культураная программа. Были проведены эксперименты в Королевский институт (в Лондоне), в котором находится музей М. Фарадей, в лабораторию физиических и космических исследований им. Э. Резерфорда, на Гривичскую общевартиру, в Оксфордский университет. Участики олимпiadы посетили parlament, встречались с членом parlamenta. Во время открытия и закрытия олимпiadы слими английских школьников были даны концерты.

Олимпiadа прошла в дружеской обстановке.

Редакционная коллекция и редакция журнала «Квант» поздравляют всех членов советской команды с большой победой на XVII Международной физической олимпiadе и желают им дальнейших творческих успехов.

Информация

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (3ФТШ) при Московском ordenа Трудового Красного Знамени физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учащихся восьми летних и средних школа, расположенных на территории РСФСР, в 8, 9 и 10 классы на 1987/88 учебный год.

Цель школы — помочь ученикам в самостоятельных занятиях по углублению своих знаний по физике и математике. При приеме в 3ФТШ предопочтение отдается учащимся, проживающим в сельской местности и рабочих поселках, где такая помощь особенно необходима.

Обучение в школе бесплатное.

Кроме отдельных учащихся, в 3ФТШ принимаются физико-технические кружки, которые могут быть организованы в любой общеобразовательной школе двумя преподавателями — физики и математики. Руководители кружка набирают и зачисляют в них учащихся (не менее 8—10 человек), успешно выполнивших вступительное задание 3ФТШ. Кружок принимается в 3ФТШ, если директор школа сообщит в 3ФТШ фамилии, имя, отсутствую руководитель кружка и помещенный список членов кружка (с указанием класса в 1987/88 учебном году и итоговых оценок за вступительное задание кружке и математике). Все материалы по организации кружка и конверт для ответа о приеме кружка в 3ФТШ с обратным адресом на имя одного из руководителей кружка следует выслать в адрес 3ФТШ (141700, г. Долгопрудный Московской обл., МФТИ, 3ФТШ, «кружок») до 25 мая 1987 года. (Тетради с работами членов кружка в 3ФТШ не высылаются.)

Учащие 3ФТШ и руководители физико-технических кружков будут получать задания по физике и математике в соответствии с программой 3ФТШ, а также рекомендуемые 3ФТШ решения этих заданий. Задания содержат теоретический материал и разбор характеристик задания и примеров по теме, а также 10—14 задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Работы учащихся-заочников проверяют в 3ФТШ и ее физиалах, а членов кружка — его руководители.

С учащимся Москвы проводятся занятия по физике и математике два раза внеделю по программе 3ФТШ в вечерних консультанционных пунктах (в ряде Москвы школа). Набор в эти группы проводится или по результатам выполнения вступительного задания 3ФТШ, или по результатамочного обучения по физике и математике (справки по телефону 408-51-45).

Вступительное задание по физике и математике каждой ученик выполняет самостоятельное. Работу надо сделать на русском языке и аккуратно переписать в одной школеную терраду. Порядок задачи должен быть тот же, что и в задании. Тетрадь перешлите в большом конверте простой бандероль (только не сварчивайте в трубку). Вместе с решением обязательно вышлите справку из школе, в котором вы учите, с указанием класса. Справку наклейте на внутреннюю сторону терраду. Без этой справки решение рассматривается не будет. На внешнюю сторону терраду наклейте лист бумаги, заполненный по образцу (все фамилии, имя и отсутствua в этойanke должны быть написаны четко печатными буквами в именноном разделе):

56

1. Область (край или АССР)
2. Фамилия, имя, отчество
3. Класс
4. Номер, адрес и телефон школа
5. Фамилия, имя, отчество преподавателя:
   по физике
   по математике
6. Профессия родитель и заимаемая должность:
   отец
   матЬ
7. Подробный домашний адрес
   электронная почта
   телефон
   ВНИЗУ НАЧЕРТИТЕ ТАБЛИЦУ ДЛЯ ОЦЕНК ЗА ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДНИЕ:

Для получения ответа на вступительное задание в террады конверт с вашим домашним адресом.

Срок отправления решения — не позднее 1 марта 1987 года (по почтовому штемпелю места отправления). Вступительные работы обратно не высылаются. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 1987 года.

Тетрадь с выполненными заданиями (обязательно и по физике, и по математике) присылайте по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Московский физiko-технический институт, для 3ФТШ.

Учащие Архангельской, Вологодской, Калининской, Калининградской, Кировской, Костромской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Пермской, Псковской и Ярославской области, Каральской, Коми и Удмуртской АССР высылают работы по адресу: 198904, г. Старый Петергоф, ул. 1 Мая, д. 100, ЛГУ, филиал 3ФТШ при МФТИ.

Учащие Амурской, Иркутской, Камчатской, Кемеровской, Магаданской, Новосибирской, Омской, Сахалинской, Томской, Томенской и Читинской области, Алтайского, Краскирского, Приморского и Хабаровского края, Бурятской, Тувинской и Яктской АССР высылают работы по адресу: 660062, г. Красноярск, пр. Свободный, д. 79, Государственный, филиал 3ФТШ при МФТИ.

Ниже приведется вступительные задания по физике и математике.

В задании по физике задачи 1—5 предназначены для учащихся седьмых классов, задачи 4—9 — для восьмых классов, задачи 8—14 — для девятьх классов.

В задании по математике задачи 1—5 предназначены для учащихся седьмых классов, задачи 3—9 — для девятьх классов.

Вступительное задание
Физика

1. Движущая равномерно подводная лодка посылает по ходу движения ультразвуковые импульсы дилительностью T. Импульсы отражаются от неподвижного прейстствия и возврашаются к лодке, причем их дилительность оказывается равну г. Определите скорость лодки, если скорость звука в воде равна v.

2. Человек стоит на расстоянии 6 м от реки. В 34 м от реки горит костер. Расстояние между перpendикularями, соединяющими прямой нейный берг реки с человеком и костром, равно 30 м. Человек безит со скоростью 5 м/c к реке, зачерпадает ведром воды, затем безит к костру и заливает его. Каково минимальное время, необходимое ему для этого, если на то, чтобы зачерпнуть воду, нужно 5 с?

3. Высота надводной части лодки-плосодонки равна 20 см. К днишу лодки со стороны воды по всей его плосади приклеили пластину пенопласта (плотность равна 0,4 г/cm³) толщиной 5 см. Определите высоту надводной части лодки после наклеивания пенопласта.

4. При изготовлении лода в домашнем холодильнике потребовалось 5 мин, чтобы охладить воду от +4 °C до 0 °C, и еще 1 ч 40 мин, чтобы превращать ее в лед. Определите удельную температуру лода, если удельная температура воды равна 4,2·10³ °C).

5. В термое хранить жидкий азот при температуре —195 °C в количестве 2 л. За сутки испарились половина азота. Определите удельную температуру испарения азота, если известно, что 40 г лода в том же термое тает за 22 ч 30 мин. Скорость подвода тела в термосропорциональна разности температуры внутри и снаружи термоза. температура окружающей воздуха 20 °C. Плотность жидкого азота равна 300 кг/м³.

6. Легкая пружина с жесткостью k и длиной l стоит вертикально на столе. На нее падает

57

шарик массой $m$. На какой высоте от поверхности стола шарик будет иметь максимальную скорость?

7. Искусственный спутник, использемый в системе телесзязи, запущен в плоскости земного экватара, так, что все время нахождения в зените одной и той же точки земного шара. Во сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли, равного 6400 км? Ускорение свободного падения у поверхности Земли равно 9,8 м/c².

8. Два одинаковых нагреваемых включены последовательно в сеть с напряжением 220 В. В сеть с каким напряжением нужно включить эти два нагреваемые, соединенные параллельно, чтобы на них выделялась та же мощность?

9. Ядро толкнул горизонтальное, сообщив ему кинетическое энергия 45 Дж. При падении в песок скорость ядра была направлена под углом 30° к горизонту. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе о песок. Ядро в полете не врашало.

10. Шайба скольzt по льду хоккейной площадки от одних верот к другим. Первую половину пути, где лед расшищен, она движется в области с коэффициентом треня $\mu_1$, а вторую — с коэффициентом треня $\mu_2$. Найдите отношение коэффициентов треня, если известно, что скорости шайбы у первых верот, в середине площадки и у вторых верот относится как 4:3:1.

11. Баллон газовой плитки с объемом 0,5 л содержит 300 г пропана под давлением 16 атм. Что можно сказать об агрегатном состоянии пропана в баллоне: газ это или нет? Химчесякая формула пропана $C_3H_8$.

12. В теплом процессе объем идеального газа изменяется линейно с давлением по закону $V=\beta p$, где $\beta$ — постоянная. Во сколько раз изменяется давление газа при уменшении температуры от 450 К до 200 К?

13. Внутри откачанной до глубокого вакуума установки расположен герметичный теплозлопованный сосуд, заполненный идеальным одноатомным газом. Сосуд закрыт сверху теплопропищаемым поршнем. Газ занимает объем $V$. На поршень ставят гирю той же массы, что и масса поршня. Найдите объем газа в новом положении равновесия.

14. Взрывная камера заполняется смесью кислорода и водорода при температуре 300 К и объем давления 1 атм. Парциальные давления кислорода и водорода одинаковы. После терметизации камеры производится взрыв. Найдите давление внутри камеры после охлаждения продуктов реакции до температуры 373 К.

Математика

1. Лодка спускается вниз по течение реки на 6 км, а затем возвращается обратно. Скорость течение реки равна 2 km/ч. В каких пределах может лежать собственная скорость лодки, если известно, что поедка заняла не менее 4 часов?

2. В прямогольном треугольнике из вершины пряного угла проведены высота, биссертация и медиана. Докажите, что биссертация делит угл между медианной и высотой на две равные части.

3. Найдите последнюю цифру числа $19^{87}-87^{19}$.

4. В четырехугольнике $ABCD$
   $$\angle ABD=\angle ACD=90^\circ, AB=BD=5, CD=1.$$
   Найдите $BC$.

5. Докажите, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, что $3x-y^2=1987$.

6. Докажите, что если $m$ и $n$ — натуральные числа, то и
   $$\frac{(1+m+...+m^n)^2-m^n}{1+m+...+m^{n-1}}$$
   — натуральное число.

7. Корни уравнения
   $$x^3-3x^2+ax+1=0$$
   обращют аргументческую прогрессию. Найдите значение параметра $a$ и решите уравнение.

8. Найдите многочлен четырех степени с целыми коэффициентами, корнем которого является число $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

9. Найдите все точки на земном шаре, обладающие следующим свойствам: если проят из такой точки 1 km на юг, затем 1 km на восток и 1 km на север, то вы снова оказывается в исходной точке.

10. Дан параллелограмм $ABCD$ площади $s$. Точка $P$ лежит на прямой $BD$, $\vec{DP}=\vec{BD}$, точка $Q$ — на прямой $DC$, $\vec{CQ}=\vec{DC}$. Найдите площад треугольника $APQ$.

11. Решите уравнение
    $$4\sin^2x-4\cos x\cdot\sin y-5=0.$$

12. На координатной плоскости рассматриваются правильные треугольники, у которых две вершины лежат на прямой $y=x+2$, а координаты треугольники удовлетворяют неравенству
    $$x^2\leq y\leq x+2.$$
    Найдите наиболее возможное значение площади рассматриваемых треугольников.

К нашим читателем

Если вы не успели подписаться на журнал «Квант» на 1987 год, не огорчайте. Подписку можно оформить в агентствах «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи, начиная с любого места (только это нужно сделать заблаговременно — не позднее чем за полтора месяца). Индекс нашего журнала в каталоге «Союзпечати» 70465, цена одного номера 40 копеек.

58

Избранные школьные задачи

1. По условию $1 = (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2xy+2xz+2yz$, но $xy+xz+yz=0$.

2. Пусть $K$ — середина AF и L — середина BF (сделайте рисунок). Четыреугольник EFKL — параллелограмм, поскольку EK параллельна BF и EL параллельна AF (EK и EL — средние линии в треугольнике ABF). Пусть H — середина EF; тогда KL проходит через H, причем KH=LH. Точно так же доказывается, что отрезок MN, соединяющий середины отрезков DE и CE, проходит через точку H и делится этой точкой пополам. Поэтому четырехугольник KLMN — параллелограмм.

3. В точке D. Указание. Построите графики движения обихх пловцов и убедитесь в том, что пловцы будут через раз встречаться в точках C и D.

4. $\frac{\pm 3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Указание. Положите $u = \frac{x+2}{x+1}$, $v = \frac{x-2}{x-1}$. Тогда $u^2+v^2 - \frac{5}{2}uv = 0$, откуда либо $u=2v$, либо $v=2u$.

5. $30^\circ$. Решение (доступное воспоминание). Пусть $C'$ — точка, симметричная точке C относительно прямой AB (сделайте рисунок). Опишем около треугольника CAC’ окружность. Поскольку $\angle CAC' = 150^\circ$, дуга CAC’ содержит 60°, и поэтому корда CC’ равна радиусу окружности, а точка B является ее центром. Отсюда $\angle B = 30^\circ$.

6. $\frac{5}{2} \leq x \leq 3$. Указание. Положите $y = \sqrt{2x-5}$. Тогда $y \geq 0$, и $(y+3) + |y-1| = 4$. Отсюда $0 \leq y \leq 1$.

7. $2\sqrt{S_1S_2}$. Решение. Пусть площадь треугольника ABC равна S. Треугольник ABC подобен треугольником AMK и CLM (сделайте рисунок), поэтому

$$\sqrt{\frac{S_1}{S}} = \frac{AL}{AC}, \quad \sqrt{\frac{S_2}{S}} = \frac{LC}{AC},$$

откуда

$$\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{\sqrt{S}} = \frac{AL + LC}{AC} = 1,$$

то есть $S = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1S_2}$.

8. Имеем

$$tg \alpha tg \beta + tg \gamma(tg \alpha + tg \beta) < 1,$$

$$tg \gamma \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha tg \beta} < 1$$

(по условию $(1 - tg \alpha tg \beta > 0)$),

$$tg \gamma tg (\alpha + \beta) < 1, \quad tg \gamma < ctg (\alpha + \beta),$$

$$tg \gamma < tg \left( \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta \right), \quad \gamma < \frac{\pi}{2} - \alpha - \beta,$$

$$\alpha + \beta + \gamma < \frac{\pi}{2}.$$

9. $x = y = z = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Указание. Ясно, что $x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$. Докажем, что $x = y = z$. Пусть не все эти числа равны. Выберем из них наиболее. Предположим, что это $x$, то есть $x \geq y$, $x \geq z$. Так как $y = (x-1)^2$, $z = (y-1)^2$ и $x = (z-1)^2$, из него влияет $(z-1)^2 \geq (x-1)^2$, из которого следует, что $z \geq x$. Поэтому $x = z$. Аналогично $x = y$.

10. Построим $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CN}$; пусть $P$ — середина отрезка MN, $Q$ — середина отрезка N’M (рис. 1). Имеем $\overrightarrow{N'N} = \overrightarrow{AC}$, следовательно, $\overrightarrow{QP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$. Треугольник AN’M равенедельный, так что точка Q безит по биссертрисе угла, равного углу B. Точка P получается из точки Q сдигром на постоянный вектор. Таким образом, искому геометрическое место — отрезок. Его концы легко находятся.

Ответ (мы считаем для определения, что $AB > BC$): отрезок, соединяющий середину стороны AC с серединой отрезка BB’; где $B'$ — такая точка стороны AB, что $AB' = BC$. (Кстати, этот отрезок параллелен биссертрисе угла B.)

11. $(1 + \sqrt{3}) \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Указание. $(1 + x)^4 = 2 + 2x^4$, а $(1 + x)^4 - (1 - x)^4 = 2 + 12x^2 + 2x^4$, откуда $(1 - x)^4 = 12x^2$, то есть $(1 - x)^2 = \sqrt{12} |x|$. Случай $x \leq 0$ решений не имеет; в случае $x > 0$ получаем квадратное уравнение $(1 - x)^2 = 2\sqrt{3}x$, корни которого $x_{1,2} = 1 + \sqrt{3} \pm \sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (1 + \sqrt{3}) \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

12. a) $b_c = \frac{2ab}{a+b} \cos \frac{\gamma}{2}$. Указание. Если $CL$ — биссертриса угла C, то $S_{CAL} + S_{CBL} = \frac{1}{2} b \cdot l_c \sin \frac{\gamma}{2} + \frac{1}{2} a l_c \sin \frac{\gamma}{2} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \times ab \sin \gamma$.

13. Пусть $l_c = l_b$. Докажем, что углы C и B равны. Предположим, что это так. Пусть $\angle C = \gamma$, $\angle B = \beta$ и для определения $\gamma > \beta$. Тогда $c > b$. Сравнивая теперь выражения $l_c = \frac{2ab}{a+b} \cos \frac{\gamma}{2}$ и $l_b = \frac{2ac}{a+c} \cos \frac{\beta}{2}$, получаем, что $l_c < l_b$ (поскольку $\cos \frac{\gamma}{2} < \cos \frac{\beta}{2}$ и $\frac{b}{a+b} < \frac{c}{a+c}$). Противоречие. (Попутно мы доказали, что в треугольнике меньше углу соответствует большая биссертриса.)

14. Из точки прямой $y = -\frac{1}{4}$. Указение. Уравнение касательной, проходящей через точку $(c; c^2)$ графика функции $y = x^2$, имеет вид $y = 2c(x - c) + c^2 = 2cx - c^2$. Если через некоторую точку $(x_0; y_0)$ плоскости проведены две каса-

59

Атомная физика в задачах

1. $\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_1 + \frac{hc}{e} \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2} = 2,24$ В.

Указание и ЭДС фороэлемента определяется задерживающим напряжением: $\mathcal{E} = U_3 = E_k / e = (hv - A_{\text{ввх}}) / e$.

2. Поскольку скорость электрона созмерима со скоростью света, для определения кинетической энергии электрона надо использовать релятивистскую формулу:

$$E_k = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m_0 c^2 \approx 7,4 \cdot 10^{-15}$$ Дж.

Тогда

$$\lambda_k = \frac{hc}{E_k} \approx 2,7 \cdot 10^{-11}$$ м.

3. $E_k \min = 2\Delta E_{\text{возб}} = 3/2E_{\text{ион}} = 20,4$ эВ.

4. $T = \frac{\tau}{\log_2(\Delta t_1/\Delta t_2)} \approx 934$ мин ≈ 15,6 ч.

XXVII Международная математическая олимпиада

1. Для решения задачи достаточно доказать, что для любого натурального числа $d$ хотя бы одно из чисел $2d-1$, $5d-1$ или $13d-1$ не является квадратом целого числа. Костати, числа $2\cdot 5-1=9$, $2\cdot 13-1=25$ и $5\cdot 13-1=64$ являются квадратами целых чисел.

Доказательство проведем методом «от противного» — предположим, что при некотором натуральном числе $d$ имеют место равенства $2d-1=n^2$, $5d-1=m^2$, $13d-1=k^2$. Из записи числа $n^2$ следует, что оно нечетно, значит и $n$ — нечетно, то есть $n=2p+1$; подставляя это значение вместе $n$, получаем $2d-1=4p^2+4p+1$ или $d=2p(p+1)+1$, но произведение двух последовательных целых чисел всегда что, поэтому $p(p+1)=2r$, а $d=4r+1$. Заменяя $d$ на полученное выражение в остальных двух соответствиях, получим $m^2=20r+4$, $k^2=52r+12$. Отсюда видно, что $m$ и $k$ — четные числа; обозначим $m=2a$, $k=2b$. Заменяя $m$ и $k$ на $2a$ и $2b$ в этих равенствах и сокращая на 4, получим $a^2=5r+1$, $b^2=13r+3$. Вычитем из второго равенства первое: $b^2-a^2=8r+2$.

Следовательно, $b^2-a^2$ делится на 2, но не делится на 4; но $(b^2-a^2)=(b-a)(b+a)$ и, если $a$ и $b$ числа одинаковой четности, $b^2-a^2$ делится на 4, а если разной, то не делится на 2.

Противоречие.

Можно было получить решение и проще, рассмотрев остатки от деления этих чисел на 16, затемив при этом, что квадрат целого числа при делении на 16 может давать в остатке лишь числа 0, 1, 4 и 9.

2. Решение задачи легко следует из следующого утверждения: если совершено несколько поворотов с суммой углов, кратной $360^\circ$, то результатирующее преобразование плоскости есть параллельный перенос. Доказательство этого утверждения таково. Пусть при таком преобразовании точка $M$ перешла в точку $M_1$, а точка $N$ в точку $N_1$. Если мы доказем, что $\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{NN_1}$, то утверждение будет доказано. Расмотрим вектор $MN$; после каждого из поворотов еголина не меняется, а направление изменяется на угол поворота. После последнего поворота его направление совпадает с первоначальным, поэтому полученный вектор $\overrightarrow{M_1N_1}$ равен вектору $MN$; следовательно, четы-

60

рехугольник $MNM_1N_1$ — параллелограмм, отсюда и следует нашей утверждение.

Телерь показет, как отсода вытекает решение задачи. Если точка $P_3$ не совпадает с точкой $P_0$, то последовательность первых трех поворотов на 120°, рассматриваемых как повороты плоскости, есть параллельный перенос на вектор $-\overrightarrow{P_3P_0}$, а 1986 поворот есть 1986:3=662 таких параллельных переnosа, то есть $\overrightarrow{P_0P_{1986}}=662\overrightarrow{P_0P_3}$.

Значит, точка $P_{1986}$ совпадает с точкой $P_0$ лишь в случае, когда точка $P_3$ совпадает с точкой $P_0$, то есть параллельный перенос совершается на нулевой вектор.

Возьем в качестве точки $P_0$ точку $A_1$, тогда точка $P_1$ тоже совпадает с точкой $A_1$. Отметим теперь точку $P_2$. Где должна лежать точка $A_3$, чтобы поворот вокруг нее по часовой стрелке перевал точку $P_2$ в точку $P_1$? Из равенства расстояний точки $A_3$ до точки $A_1$ и $P_2$ следует, что точка лежит на биссектрисе угла $A_1A_2P_2$, при этом угол $P_2A_3A_1$ равен 120°. Отсюда уже просто получить, что треугольник $A_1A_2A_3$ — равносторонний, поскольку $A_1A_2A_3=A_2A_3A_1=60^\circ$.

3. См. решения задачи M1017.
4. См. решения задачи M1018.
5. Искомой функцией будет функция равная $2/(2-x)$ для $0 \leq x < 2$ и равная нулево для $x \geq 2$. Докажем это. Сначала показем, что эта функция удовлетворяет всем тем условиям. Пусть $x \geq 2$, тогда условие (1) автоматически выполняется: слева и справа стоят нулей, так как $f(x)$ и $f(x+y)$ равны нулей. Если $x<2$, то $f(y)=\frac{2}{2-y}f(xf(y))f\left(\frac{2x}{2-y}\right)=f\left(2+\frac{2(x+y-2)}{2-y}\right)$.

Телерь, если $x+y \geq 2$, то слева и справа снова стоят нулей, если же $x+y<2$, то $\frac{2x}{2-y}<2$ и $f(y)f\left(\frac{2x}{2-y}\right)=\frac{2}{2-y}\cdot\frac{2}{2-x}=\frac{2}{2-(x+y)}=f(x+y)$.

Итак, предположенная функция удовлетворяет условиям задачи. Докажем ее единственность. Пусть $x \geq 2$, тогда положим $x=2+t$. Подставив в условия (1), получаем $f(x)=f(2+t)=f(2)f(f(2)t)$. Но $f(2)=0$, поэтому $f(x)=0$ при $x \geq 2$.

Пусть $x<2$, тогда положим $t=2-x$, то есть $x+t=2$. Из условия (1) и (2) получаем $0=f(2)=f(x+t)=f(x)f(f(x)t)$. Но из условия (3) следует, что $f(x)\neq 0$; поэтому $f(f(x)t)=0$, а это по условию (3) может быть лишь при $f(x)t \geq 2$; вспомним, что $t=2-x$, получаем, что $f(x) \geq 2/(2-x)$. Покажем, что в первенстве $f(x)t \geq 2$ знак $\geq$ нужно изменить на знак =. Действительно, если $f(x)t>2$, то можно уменьшить число $T$ до числа $t_1$ так, чтобы неверенство все еще имело место, но тогда слева в условия (1) будет по-прежнему стоять 0, а справа будет стоять $f(x+t_1)$, где $x+t_1<2$, и по условия (3) $x+t_1$ отлично от нуля. Таким образом, для $x<2$ имеем $f(x)=2/(2-x)$.

6. См. решения задачи M1019.

«Квант» для младших школьников

1. $(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2$.

2. 15306+15306=30612.

3. Сумерки — это получма между заходом Солнца и наступлением почни. В этот период освещение вызвается рассеянением солнечного света атмосферой на большой высоте, куда еще пропикают лучи Солнца. Высоко в горах слой atmosферы над Землей меньше, поэтому и время, когда этот слой рассеивает солнечный свет после захода Солнца, меньше. Кстати, на планах, лишенных atmosферы, сумерек нет. Нет их и на Луне.

4. Быстрее — от станции Физическая, поскольку после приближения туда путь до дома проходит в воде скорее, чем оставшийся путь от станции Математическая.

5. См. рис. 3

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» № 11)

1. См. рис. 4
2. Шпалы уменьшают давление рельсов на землю и тем самым прейстуют давления их в грунт.
3. 818+88=906.
4. Если относение плея весов было $a:b$, то вес $x$, полученный при первом взвивании, из соответствия $a \cdot x=1 \cdot b$ равен $b/a$, а вес $y$, полученный при втором взвивании, равен $a/b$. Но сумма $b/a+a/b$ всегда 2, если $a \neq b$, так как эта сумма равна $(a-b)^2/ab+2$. Правильно же взввести 1 кг орехов можно так: уравновесить гипо орехами, а потом снять гипо и положить на ее место орехи до уравновесивания.
5. Проведем хорды $AC$ и $BD$ (рис. 5). Углы $CDB$ и $CAB$ равны, как опирающиеся на одну дуг. Из параллельности отрезков $DB$ и $KN$, а также $AC$ и $MN$ теперь следует равновесию расстояниях в задаче углов.

Шахматная страница

(см. «Квант» № 9)

Обе задачи принадлежат известному американскому проблему прошлоого века В. Мередиту.

62

Праслов В. В. Использовая площадь …
Фаддеев Д. К., Соколовский И. Ф.
О касательной к графику функции
Харалмпцев С. Ц. Полос и поляра
относительно окружности

Наш календарь
Доминник Франса Араго 3 9
Д. Фаренгейт и его термометры 10 26
К 175-летию закона Авогадро 12 12
75-летие открытия сверхпроводимости 6 14

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10
Конус треня 1 24
Первый источник электрического тока 1 25
Дифракция волн 1 27
Вторая космическая скорость 3 21
Магнитный момент тока 3 22
О ядерном веществе 3 23
О судьбе некоторых понятий механики 5 20
Энергия электрического поля 5 21
Капельная модель ядра 5 23
Поговорим о средней скорости 9 25
О явлениях переена 9 27
Что такое параметрический резонанс? 9 29
Кинematika врашательного движения 11 17
Тепловой насос 11 19
Номограммы в геометрической оптике 11 20

Математика 8, 9, 10
Задачи на сравнение чисел 2 24
Какой же ответ 2 26
Производная логарифма 4 25
Формулы для sin nx и cos nx 6 25
Об одном способе задания окружности 7 25
Формула Герона 10 20
Где ошибка 10 21
Геометрические преобразования в планиметрических задачах 12 16

Избранные школьные задачи 1, 3, 4, 6, 9, 10

«Квант» для младших школьников
Задачи 1—12
Александров А. С. Загадка этрусков 2 30
Вуздин А. И. Немного о термометре и о термоскопе Фердинана 5 26
Иванова Н. Н. Восстанови стертую фигуру! 1 30
Клюуков А. Н. Недачи одной цивлизации 8 40
Олехник С. Н. Сколько велосипедов? 9 34
Савин А. П. Рисунок помогает расуждать 4 28
Числа Мерсена 10 24
Штейбер А. С. Знакомьтесь: металлическое стекло 11 24
По мотивам Л. Кэрролла
Королевскийрокет 3 26
Под-Котик и его повесь 6 28
Морская кадрль 7 28
Кто украл Крендели? 8 36
Алиса дает показания 12 22
Калейдоскоп «Кванта» 1, 2, 4, 5, 9—11

Задачник «Кванта»
Победители конкурса «Задачник «Кванта» 3 30
Задачи M961 — M1020; Ф973 — Ф1032 1—12

Решения задач M941 — M1000; Ф953 — Ф1012 1—12
Список читателей, пиславших правильные решения 3, 6, 9, 12
Из писем читателей 1 42

Искусство программирования
Абрамов С. А. Поиск в упорядоченной совокупности и упорядочение 1 46
Гальперин Г. А., Корлюков А. В. Бинарный алгоритм 12 40
Каймин В. А. Решение задачи и построение алгоритмов 10 47
Каймин В. А. Построение диалоговых алгоритмов 11 40
Котов Ю. В. Посмотрим на экран 4 43
Математика и программирование (Беседа с академиком А. П. Erшовым) 9 48
Рождественский В. В., Хлебутин С. Г.
Программирование на микрокалькуляторе: ветвление и цикл 3 45
Систенский Л. Н. Программирование на микрокалькуляторе: игры 6 42
Штейберл Л. Ф. Программирование на микрокалькуляторе: простейшие программы 2 46
Штейберл Л. Ф. Зачем микрокалькулятору стек 5 39

Полупроводниковые элементы вычислительной техники
V. Элементарные логические операции 1 44
VI. Логические схемы на граниссторах 2 44
VII. Элемент память — триггер 3 48
VIII. Регистры 4 46
IX. Сумматор 5 44
X. Заключение. Полупроводниковые элементы будущих ЭВМ 6 44

Практикум абитуриента
Информация о предыдуших публикациях 8 52
Баканина Л. П. Оптические приборы 10 42
Бекер В. М., Гольховой В. М., Ионин Ю. И. Уравнение касательной Белонучкин В. Е. Законы Кеплера и школьная физика 2 49
Болбрух А. А., Уроев В. М., Шабун М. И. Задачи на координатной плоскости 11 43
Буздин А. И., Крогов С. С. Тепловые процессы в газах 4 49
Габович И. Г. Основные углы вправильной парамиде 1 49
Дорофев Г. В. Как расположены корни трехчленов? 7 45
Зильберан А. Р. Цепи переменного тока 9 51
Казанджан Э. П. Школьник — абитуриент — студент — инженер 8 54
Козел С. М. Электромагнитная индукция 6 47
Либерзон М. Р. Вспомогательный куб Самарский Ю. А. Атомная физика в задачах 12 43

Варианты вступительных экзаменов
Задачи вступительных экзаменов в различные виды в 1985 году 6 54
Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченko 5 52
Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герценна 4 57

63

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова 4 53
Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина 4 56
Ленинградский электrotechnический институт им. В. И. Ульянова (Ленина) 4 57
Московский архитектурный институт Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана 5 54
Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина 1 54
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 2 52
Московский инженерно-физический институт Московский институт радиотехники, электронники и автоматики 3 55
Московский институт стан и сплавов Московский институт электронного машиностроения 3 56
Московский физико-технический институт 1 53
Московский энергетический институт Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола 3 57

Олимпиды
Первая Всесоюзная олимпида по математике учащся средних профессionalно-технических училищ 5 57
Задание XLIX Московской городской математической олимпиды 9 57
Избранные задание Ленинградской городской олимпиды по математике 9 57
Задание Ленинградской городской олимпиды по физике 9 58
Избранные задание загубежных математических олимпид: Олимпиды США 9 60
I Всесоюзная олимпида по физике учащся средних профессionalно-технических училищ 10 52
XII Всеросскийая олимпида школьников 10 53
XX Всесоюзная олимпида по математике 11 49
XX Всесоюзная олимпида по физике XXVII Международная математическая олимпида 12 48
XVII Международная физическая олимпида 12 51

Информация
Библиотека «Квант» 10 11
Вечерняя физическая школа при МГУ 8 59
Встреча с читателями 10 51
Заочная физико-техническая школа при МИСиCe 1 58
Заочная физико-техническая школа при МФТИ 12 55
Заочная физическая школа при МГУ 4 58
Заочная школа при НГУ 7 58
Научно-техническая конференции школьников в МФТИ 11 58
Научная конференции школьников в ФМШ при МГУ 11 58
Новый прием во Всесоюзную заучную математическую шкалу (ВЗМШ) 1 56
Новый прием на заучное отделение Малого механита 1 57
Праздник юных математиков 8 59
VIII Турнир юных физиков 8 60

IX Турнир юных физиков 8 62

Игры и головоломки
Путешествия по графам 7 50

Уголок коллекционера
От съезда к съеду 2 4-я с. обл.
Подвгуу — четверть века 5 —» —
Новости космической филателии 8 —» —
М. В. Ломоносов в отчетственной филателии 11 —» —

«Квант» улыбается
Персональные комплютеры в картинах 3 50
Необыкновенная девочка 3 50
У нас в гостях степазета «Андромеда» ФАЛТА МФТИ 5 8
Микрокалькульторы в картинах 6 41
По страницам газеты МФТИ «За науку» 11 59
Всякая всччина 12 39

Смеся
Вычисление биомпалных коэффициентов на калькуляторе ВЗ-34 1 23
Заочная олимпида по программированию 2 58
9 марта 1986 года «Вета 2» встречается с кометой Галлея 4 4
Нам пишут 5 58
Ныютон — ученик, Ныютон — учены 7 64
Советум прочесть 8 7
Спрашивайте — ответаем 8 51
С выходом в пространство 9 56
Признак делимости на 8, 16, 32 9 56
Число делений 11 22
Как проверить ЭВМ? 11 56
Геометрический выбор формулы косинуса суммы 11 57
Возвращаясь к напечатанному 12 50
К нашим читателем 12 57

Шахматная страница
Новое в кодексе 1 3-я с. обл.
ЭВМ и шахматный кодекс 2 —» —
Головоломки в шахматной партии 3 —» —
Неподвижные фигуры 4 —» —
Весконечная доска 5 —» —
Шахматные рекорды 6 —» —
Загадочные маневры 7 —» —
Геометрия шахматной доски 8 —» —
Новые условия комплютера 9 —» —
Компьютерный клуб 10 —» —
На цилиндрической доске 11 —» —
Симметрия и асимметрия 12 —» —

Наша обложка 2, 3, 6, 10

Наша анкета 12 64