Задачи М1046—М1050; Ф1058—Ф1062

19

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмещаются звездочек. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 1 сентября 1987 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 6-87» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1046» или «Ф1058». В графе «…адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике или «…новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школьных и класс, в котором вы учитесь.

M1046. Встроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведенными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

В. Погребян, ученик 10 кл., Винница

M1047. В шахматном турипе, проводимом в один круг, не менее 3/4 всех сыгранных к некоторому моменту партий закончился вничью. Докажите, что в этот момент неокторы два участника набрали одинаковое число очков.

M. Бона, ученик гимназии, Венгрия

M1048*. Один из двух играющих («начинающий») ставит на некоторую клетку шахматной доски коня. Затем играки по очереди передвигают коня по общим правилам (буквой «Γ»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побивал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто может добиться победы (независимо от действия противника) — начинающий или его партер a) на доске 8×8; 6) на доске m×n, где m≥n≥3?

В. Зудилин, ученик 10 кл., Вельцы

M1049. Будем говорить, что в цилиндр Ц1 вписан боком другой цилиндр Ц2, если две образующие второго цилиндра лежат на основаниях первого, а четые точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого (рис. 1). Взяв цилиндр Ц1, у которой отношение диаметра к высоте равно k, пишем в него боком (если это возможно) цилиндр Ц2, в него вписем боком Ц3, в него — Ц4 и т. д. При каких значениях k a) можно вписать Ц2, но нельзя Ц3; 6)* можно вписать Ц10, но нельзя Ц11; 8)* можно вписать бесконечную последовательность Цn (n=1, 2, …)?

В. Столин, ученик 11 кл., Вильнюс

M1050. На отрезке [−1, 1] выбрано k различных точек, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных k−1 точек и через S обозначена сумма обратных величины этих k произведений. Докажите, что a) S≥2 при k=3; 6)* S≥4 при k=4.

Л. Д. Курляндчик

Ф1058. Шарик катится вдоль ребра прямогоного железа ACB (рис. 2) со скоростью v без просальзывания; расстояние AB равно радиусу шарика. Какие точки шарика обладают максимальной скоростью? Чему равна скорость?

С. С. Кротов

Ф1059. В некоторой точке пространства необходимое создать максимальное возможную направнюю поля (ускорение свободного падения), имея в распоряжении заданную массу вещества неизменной плотности.

a) Какую форму необходимо придать веществу?
b) Каково должно быть взаимное расположение тела и точки?

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

20

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than 1 st September 1987, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KVANT’S PROBLEMS” adn the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an unstamped selfaddressed envelope — we shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant

Ф1060. Математический матник представляет собой неевесомый стержень длиной $l$, к свободному концу которого прикреплен маленький массивный грузик. На стержень надета бусинка такой же массив, которая может свободно скользить по горизонтальной направляющей, проходящей на уровень середины стержня (рис. 3). Найти перiod малых колебаний такого матника. Трене отсутствует.

Л. Г. Маркович

Ф1061. Плама спиртовки, перед тем как погаснуть, начинает мерцать и потрескивать. Почему?

А. С. Бутов

Ф1062. Космическая частица, движущаяся со скоростью, близкой к скорости света, попадает в резервуар экспериментальной установки, наполненной жидкостью с показателем преломления $n=1,6$. Проходжение частицы через жидкость сопровождается свечением. Через небольшой промежуток времени после попадания частицы в резервуар был включен прибор, находящийся в точке $C$, который зафиксировал в момент включения две светящиеся точки $A$ и $B$ (схема опыта в определенном масштабе приведена на рисунке 4; дан вид сверху, точки $C$, $A$ и $B$ лежат в горизонтальной плоскости). Объясните наблюдающееся явление и, используя рисунок, найти скорость частицы. Торможением частицы в жидкости претензь.

А. И. Вуздин

Problems

M1046—M1050, P1058—P1062

M1046. In the acute triangle $ABC$ the angle $A$ is $60^\circ$. Prove that one of the bisectors of the angle between the two altitudes drawn from the vertices $B$ and $C$ passes through the circumcircle of the triangle.

V. Pogrebnyak, 10th form student, Vinnitsa

M1047. In a one round chess tournament no less than 3/4 of the games concluded at some moment were drawn. Prove that at this moment at least two players had the same number of points.

Miklos Bona, gymnasium student, Hungary

M1048*. The first of two players places a knight on an empty chessboard. Then the players make ordinary moves in turn with the knight, never placing it in a position which it occupied before. The player who can’t make such a move loses. Who can win (independently of his opponent’s moves) — the first player or the second a) on an 8 by 8 board; b) on an $m$ by $n$ board, where $m \geq n \geq 3$?

V. Zudilin, 10th form student, Beltsy

M1049. We say the cylinder $C_1$ is inscribed sideways in the cylinder $C_2$ if two generators of the second cylinder lie on the base of the first, and four points of the base circle of the second are on the lateral surface of the first (see figure Pис. 1). Taking a cylinder $C_1$ whose altitude to diameter ratio is $k$, inscribe (if possible) a cylinder $C_2$ into $C_1$ sideways, then a cylinder $C_3$ into $C_2$ sideways, etc. For what values of $k$ is it possible to

a) inscribe $C_2$, but not $C_3$;
b) inscribe $C_{10}$, but not $C_{11}$;
c) inscribe an infinite sequence $C_n$, $n=2, 3, \dots$?

V. Stolin, 11th form student, Vilnius

M1050. If $k$ distinct points are chosen on the closed interval $[-1, 1]$ and the product of distances from a chosen point to the other $k-1$ points is computed for each chosen point, we denote by $S$ the sum of inverses of these $k$ products. Prove that a) $S \geq 2$ if $k=3$; b) $S \geq 4$ if $k=4$.

L. D. Kurlyandchik

22

М1028. а) На плоскости заданы две пересекающие прямые и на их отмею по одному точке (D и E). Построите треугольник ABC, у которого bisсетрисы AE и CD лежат на данной прямых, а их основания — данные точки E и D. б)* Докажите, что если при этом $\angle CDE=30^\circ$, то один из углов треугольника ABC равен $60^\circ$ или $120^\circ$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

М1029. Среди пчленов арифметической прогрессии удалось выбрать кчленов, образующих возрастанию геометрического прогрессию. Докажите

a) Заметим, что прямая AC должна проходить через точки D$_1$ и E$_1$, симметричные D и E относительно данных прямых (рис. 1). Отсюда вытекает следующое построение:

отражаем точки D и E относительно данных прямых OE и OD (О — точка их пересечения); проводим через их образы D$_1$ и E$_1$ прямую до пересечения с DO — в точке C и с EO — в точке A (если D$_1=E_1$, то прямую через D$_1$ проводим произвольно, но так, чтобы она пересекала лучи DO и EO, рис. 2); находим третью вершину B исключого треугольника как точку пересечения прямых AD и CE.

Это построение не всегда осуществимо: может оказаться, что D$_1$E$_1$||DO, D$_1$E$_1$||EO или AD||CE. Но и в том случае, когда треугольник «построится», прямые AE и CD могут оказаться bisсетрисами не внутренних, а внешних его углов. Из равенств

$$\angle DOE = \angle AOC = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle C) = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle B$$

следует, что задача разрешима только при $\alpha = \angle DOE > 90^\circ$. Но это условие не является еще достоинным. Дополнительно надо гарантировать существование точки A и C, а также чтобы точки D, O и E лежали по одному сторону от прямой AC. Можно показать, что задача разрешима тогда и только тогда, когда

$$-2 \cos \alpha < DO : EO < -1/2 \cos \alpha \text{ при } \alpha \neq 120^\circ$$

(в этом случае решение единственного) или когда

$$DO = EO, \alpha = 120^\circ$$

(в этом случае D$_1 = E_1$, решенный бесконечно много). Подробности исследования оставляем читательм.

б) Построим точки D$_1$ и E$_1$, как в решении задачи a). Треугольник DEE$_1$ — правильный ($\angle EDE_1 = 2\angle EDO = 60^\circ, DE = DE_1$). Если D$_1 = E_1$ (рис. 2), то DO и EO — bisсетрисы этого треугольника, следовательно, O — его центр и $\angle DOE = 120^\circ$. По равенству (1) угол B равен $60^\circ$.

Пусть теперь D$_1 \neq E_1$ (рис. 3). Поскольку EE$_1 = ED = ED_1$, треугольник D$_1$EE$_1$ — равнобедренный, а значит,

$$\angle EE_1A = 180^\circ - \angle ED_1A = 180^\circ - \angle EDA$$

(здесь мы пользовемся тем, что точки E$_1$ и D$_1$ лежат внутри угла AOC, т. е. по одному сторону от A, так как угол DOE — тупой). Из равенства (2) следует, что точки A, D, E и E$_1$ лежат на одной окружности (рис. 3). Поэтому $\angle EAD = \angle EE_1D = 60^\circ$, а $\angle BAC = 2\angle EAD = 120^\circ$.

M. Волчеквич, B. Н. Дубровский

Поделим все члены геометрической прогрессии на перрыв и выпшем их по возрастанию. Тогда она примет вид 1, q, …, $q^{k-1}$, где $q > 1$. Все эти числа входят в некоторую n-членную арифметическую прогрессию; ее будем тоже считать возрастющей (иначе поменяем знак ее разности). Члены арифметической прогрессии,

24

то
a) $S(M_1) \leq S(M_2)$;
б) $P(M_1) \leq P(M_2)$.

Рис. 2.

Рис. 3.

Ф1038. Три одинаковые нерастяжные нити прикреплены на одинаковых расстояниях друга от друга к колыцу радиусом $r_0$ и аналогичным способом — к колыцу радиусом $2r_0$. Нити пропущены через третье колыцу радиусом $r_0$ (см. рис. 3). Колыцо 1 закреплено в горизонтальной плоскости, и все системы нахождения в равновесии. Найти расстояние между центрами колес 2 и 3. Все колыца сделаны из одной и той же проволоки. Тренец пренебречь.

Поскольку радиус колца 2 в два раза больше радиуса колца 3, его длина в два раза больше длины колца 3, и так как колыца сделаны из одинаковой проволоки, масса колца 2 в два раза меньше колца 3. Если $m$ — масса колца 3, то полный вес, удерживаемый нитями, равен $3mg$. Следовательно, сила натяжения каждой нити между колцами 1 и 3 —

$$F_1 = mg.$$

Так как трене отсутствует, сила натяжения каждой нити одинаковова вдоль всей ее длины:

$$F_2 = F_1 = mg$$

(см. рис. 3).

Запишем теперь условия равновесия колца 3:

$$3F_1 - mg - 3F_2 \cos \alpha = 0,$$

откуда

$$\cos \alpha = \frac{2}{3}.$$

Расстояние между центрами колес 2 и 3 (см. рис. 3):

$$x = r_0 \text{ стg } \alpha = r_0 \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} = r_0 \frac{2}{\sqrt{5}},$$

$$x = \frac{2r_0}{\sqrt{5}}.$$

В. П. Бородин

*) Определим величины внешнего (телесного) угла многограника при вершине $A$ как плоскь сферической части поверхности кусочка $K_A$ при $r=1$. Из нашего расчедения следует, что сумма внешних углов выпуклого многограника равна $4\pi$, т. е. не зависит от многограника.

25

Ф1039. К бруску, лежащему на наклонной плоскости, прикреплена нить, перекинута через проволочную петлю; на другом конце нити высит грузик (см. рисунок). При этом брусок неподвижен. Коэффициент треня скольжения равен μ.

В отсутствие качаний вдоль наклонной плоскости действуют сила треня покоя (ее максимальное значение равно μN=μMg cos α), сила натяжения нити T и составляющая силия тяжесте бруска, равная Mg sin α. Так как брусок неподвижен, то из условия равновесия грузика T=mg≤Mg(μ cos α+sin α) (тренем нити о петлю пребрегаем).

При отклонении на небольший угол φ0 грузик начинает копложению равновесия, т. е. с ростом скорсти, натяжение нити T увеличивается, все время превышая значение mg. Наконец, эта уvelичивающая сила превышает удерживающие брусок силы, и тогда брусок начинает движение. Это наступает при условии

$$mg + \frac{mv^2}{l} > Mg(\mu \cos \alpha + \sin \alpha),$$

т. е. при $v_1^2 > gl(M(\mu \cos \alpha + \sin \alpha) - m)/m$.

Движение бруска будет продолжаться и после прохождения полежения равновесия, когда скорсть и, следовательно, сила натяжения начинает уменьшаться. Далее прохождение значения скорсти грузика $v_1$ брусок еще некоторое время будет продолжать перемещаться по инерции, расходя накопленную кинетическую энергию на работу против силы треня и «скатывающей силы».

После остановки бруска, когда грузик начинает после максимального отклонения при колбании опускаться, процессной подтвердит в обратном направлении. Грузик опять наберет скорсть, и нить снова рыбком «сдернет» брусок, заставляя его пройти некоторое расстояние, меньше по сравнению с предыдущим. Постепенно процесс затухнет.

Г. В. Меледин

Ф1040. Три одинаковые проводящие плоские площадь S каждой расположенной другу другу на расстояниях d1 и d2 (см. рисунок). Вначале на плоские 1 нахождение заряд Q, а плоские 2 и 3 были незаряжены. Затем плоские 2 и 3 присоединяют к батарее с напряжением U, плоские 1 и 3 соединяют проводником. Найти установившее заряды на плоские axes.

Пусть установившие заряды на плостинах 1, 2 и 3 равны соответствующим q1, q2 и q3.

Будем считать, что поля между пластнами однозначны (т. е. пребрежем искажением поля на краях пластин). Тогда для направленной полей, создавемых каждой пластиной, можно пользоваться выражением для направленности поля бесконечной равномерного заряденной плоскости:

$$E = \frac{q}{2S\varepsilon_0}.$$

После соединения пластин 1 и 3 проводником потенциальы пластин становятся равными. Следовательно,

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \varphi_3 - \varphi_2 = U$$

(так как разность потенциальов пластин 3 и 2 равна напряжению источника). С другой стороны,

$$\varphi_1 - \varphi_2 = E_{12}d_1, \quad \varphi_2 - \varphi_3 = E_{23}d_2,$$

где $E_{12}, E_{23}$ — проекции напряженной полей между пластинами 1-2 и 2-3 на направление «от 1 к 3». Согласно принципу суперпозиции

$$E_{12} = \frac{q_1 - q_2 - q_3}{2S\varepsilon_0},$$

26

$$E_{23} = \frac{q_1 + q_2 - q_3}{2S\varepsilon_0}.$$

Таким образом,

$$\frac{q_1 - q_2 - q_3}{2S\varepsilon_0} d_1 = U,$$

(1)

$$\frac{q_1 + q_2 - q_3}{2S\varepsilon_0} d_2 = -U.$$

(2)

Учитывая, что согласно закону сохранения заряда

$$q_1 + q_2 + q_3 = Q,$$

(3)

из уравнения (1)—(3) находится:

$$q_1 = \frac{Q}{2} + \frac{S\varepsilon_0 U}{d_1},$$

$$q_3 = \frac{Q}{2} + \frac{S\varepsilon_0 U}{d_2},$$

$$q_2 = -S\varepsilon_0 U \left( \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} \right).$$

В. Н. Ивановко

Ф1041. Проводящий стержень длиной $l$ и массой $m$ подвешен на двух несовомых местах стержнях длиной $h$ к горизонтальной оси (см. рисунок). Эта рамка находится в одномродном вертикальном магнитном поле, индукция которого в. Через рамку пропускают импульс тока $I_0$ малой дигельности $t$. Определить максимальное отклонение рамки от вертикальной плоскости. Смеценце рамки за время $t$ очень мало.

При малом смесении рамки за время $t$ результатирующая сила, действующая на стержень, есть

$$F = I_0 Bl.$$

За это время стержень прообретает импульс

$$p = mv = F\tau = I_0 Bl\tau,$$

и кинетическая энергия стержня становится равной

$$E = \frac{mv^2}{2} = \frac{p^2}{2m} = \frac{I_0^2 B^2 l^2 \tau^2}{2m}.$$

В дальнейшем при отклонении рамки потенциальная энергия стержня увеличивается за счет уменьшения его кинетической энергии. В крайнем положении рамки при максимальном угле отклонения $\alpha_{\max}$ потенциальная энергия равна

$$U = mgh (1 - \cos \alpha_{\max}) = 2mgh \sin^2 \frac{\alpha_{\max}}{2}.$$

Из закона сохранения энергии —

$$\frac{I_0^2 B^2 l^2 \tau^2}{2m} = 2mgh \sin^2 \frac{\alpha_{\max}}{2}$$

— находится:

$$\sin \frac{\alpha_{\max}}{2} = \frac{I_0 Bl\tau}{2m\sqrt{gh}}.$$

В. В. Пай

Ф1042. Оцените, на каком расстоянии железнодорожные рельсы какутся слившимися. Предполагается, что вы, хорошего представления физики наблюдаемо явления, может сами задать числовые значения необходимых величины.

Для проведения оценки можно поступить следующим образом. Поставьте на листе бумаги две точки очень близко друг к другу — например, на расстоянии $l \approx 1,5$ мм. Удаляя лист от глаз, оцените расстояние, на котором точки сольются в одну. Если у вас нормальное зрение, это расстояние $d \approx 2$ м. Угол $\alpha \sim \frac{l}{d}$ — минимальное угловое расстояние между точками, при котором они различны глазом как два объекта. Этот угол характеризует ваш глаз.

Рельсы будут казаться вам слившимися, когда угловое расстояние между ними будет $\alpha$. Если рельсы находятся на расстоянии $L \approx 1,5$ м один от другого, то они сольются в точку на расстоянии $D \sim \frac{L}{a} \sim \frac{L}{l} \approx 2$ км.

П. И. Зубков