Задачи на газовые смеси

47

Задчи
на газовые смеси

Доктор физико-математических наук
С. М. КОЗЕЛ

На приемных экзаменах в.byзы абитурентам передко предлагают задачи, в которых рассматриются не чистые газы (водород, кислород и т. д.), а смеси нескольких газов. Эти задачи важны потому, что на практике чаще приходится иметь дело именно с газовыми смесями. Так, например, воздуха состоит из смеси азота, кислорода, углекислого газа с примесью других газов. Влажный воздух содержит также и водяной пар.

Задчи на газовые смеси по существу мало отличются от задачи на законы идеальных газов. Если по условию задачи состав газовой смеси не изменяется, можно рассматривать смесь как один идеальный газ с некоторым усереденным значением молярной массы. Так, сухому воздуха часто приписывают молярную массу $M_B=29$ г/mоль, усереденно по его основным компонентам. Однако, если состав смеси изменяется, понятие усереденной молярной массы теряет смысл, и с использованием уравнения газового состояния воздуха неокоторы затрудняния. В этом случае полезно вести понятие парциального давления — так принято называть давление, оказываемое каким-либо чистым газом из состав смеси, когда все другие газы из сосуда удалены.

Если газы достаточно разрежены (так что их можно считать идеальными) и химически не взаимодействуют друг с другом, молекулы разных газов не оказывают влияния друг на друга, и каждый газ в смеси ведет себя так, как если бы других газов не было вовсе. Отсюда следует, что общее давление смеси равно сумме парциальных давлений:

$$p=p_1+p_2+\dots+p_n.$$

Этот закон экспериментально установлен англійским физиком Дальтоном и был назван его именем. Поясним закон Дальтона и понятие парциального давления на примере.

Два разных газа $A$ и $B$ помещены в две камеры одинакового объема и создают давления $p_1$ и $p_2$ (см. с. 48). При помощи поршня газ из одной камеры через клапан выталкивается в другую камеру. Температура при этом поддерживается неизменной и одинаковой во всей системе. В результате во второй камере устанавливается

48

Давление $p = p_1 + p_2$. Давления $p_1$ и $p_2$ в данной случае и есть парциальные давления разных газов, а в соответствии с законом Дальтона они складаются в общие давление $p$.

Отметим еще раз, что закон Дальтона справедлив только для идеальных газов с незначимой структурой молекулами. Как показывает опыт, при достагоно высоких давлениях (порядка десятков атмосфер) наблюдаются отклонения от этого закона.

Если для каждой газа записать уравнение Менделеева — Клапейрона, то из закона Дальтона для смеси газов получим

$$pV = \left( \frac{m_1}{M_1} + \frac{m_2}{M_2} + \dots + \frac{m_n}{M_n} \right) RT,$$

или

$$pV = (v_1 + v_2 + \dots + v_n)RT,$$

где $v_i = m_i/M_i$ — число молей данного газа в смеси. Это соответствие называют уравнением состояния газовой смеси. Учитывая закон Авогадро, согласно которого моль любого вещества содержит $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ молекул ($N_A$ — число Авогадро), последнее равенство можно переписать в виде

$$pV = \left( v_1 N_A + v_2 N_A + \dots + v_n N_A \right) \frac{R}{N_A} T = (N_1 + N_2 + \dots + N_n) kT = NkT.$$

Здесь $N_i = v_i N_A$ — число молекул состояствующего газа, $k = R/N_A = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/K — постоянная Больцмана. Таким образом, оказывается, что давление смеси газов при заданной температуре зависит только от полного числа молекул и не зависит от их сорта. Это одно из основных следствий молекулярно-кипетической теории идеальных газов.

Рассмотрим ряд задач на применение закона Дальтона и уравнения состояния газов смеси. Все эти задачи в разные годы предлагались абитурirement на письменном примемом экзамене в Московский физико-технический институт.

Задача 1. В сосуд объемом $V = 10$ л, наполненный сухим воздуха при давлении $p_1 = 10^5$ Pa и температуре $T_1 = 273$ K, вводят $m = 3$ г воды. Сосуд нагреваютdo температуры $T_2 = 373$ K. Каково давление влажного воздуха при этой температуре?

Давление влажного воздуха в сосуде складывается из парциальных давления сухого воздуха и водяного пара:

$$p = p_B + p_\pi.$$

При этом

$$p_B = p_1 \frac{T_2}{T_1} = 1,37 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Считая пар идеальным газом с молярной массой $M = 18$ г/mоль и предполагается, что все вода испарится, найдем

$$p_\pi = \frac{m}{M} \frac{RT_2}{V} = 0,52 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Это давление меньше давления насыщенного пара при температуре 373 К, которое равно $p_\pi = 10^5$ Pa. Следовательно, пар ненасыщен, и наше предположение было правильным.

Таким образом,

$$p = p_B + p_\pi = 1,89 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Задача 2. В сосуд постоянного объема при температуре $T_1 = 300$ К находится $v_1 = 1$ molle neона и $v_2 = 2$ molle водорода. Давление в сосуде $p_1 = 10^5$ Pa. Когда температура повышила до $T_2 = 2400$ К, давление возросло до $p_2 = 8,8 \cdot 10^5$ Pa. Какая часть молекул водорода диссоцировала при этом на атомы?

При температуре $T_1$ для смеси neона и молекулярного водорода можно записать уравнение

$$p_1 V = (v_1 + v_2) RT_1,$$

где $V$ — объем сосуда.

Если обозначить степень диссоциации водорода, т. е. относение числа распавшихся молекул к общему числу молекул до диссоциации, через $\alpha$, то при температуре $T_2$ в сосуде оказывается $v_1$ молле neона, $(1 - \alpha) v_2$ молей молекулярного водорода и $2\alpha v_2$ молей атомарного водорода. Уравнение состояния газовой смеси применяют вид

$$p_2 V = (v_1 + v_2)(1 + \alpha) RT_2.$$