Коридор входа

15

КОРИДОР ВХОДА

Доктор технических наук
А. Л. СТАСЕНКО

— Ураа!! — кричали жители Гавра, наполняя собою все давские набережные… Черная масса … шлепунлась в залив … На середине залива барахтались три человек.
— Мы пятьдесят семь дней ничего не ели! — пробормotal худой, как гододный художник, мистер Лунд и расскаал, в чем дело.
А. П. Чехов. Летакшие острова

А дело в том, что вернуть на Землю ничего не проше, чем взлететь в космос. В самом деле, сколько нужно затратить энергии, чтобы поднять неоктору тяжесть (ну, например, себя) на высоту h? Всякий грамотный школьник скажет: mgh. И если спрятнуть с высоты h, то эта (потенциальная) энергия перейдет в кинетическую, а затем превращится в телло. Но кому от нее пользова, — особенно если h равно, скажем, высоте десятиэтажного дома. Ведь желательно приземляться мягко, почти с нулевой скоростью, а это значит, что нужно всю кинетическую энергию, в которой превращается потенциальная энергия, куда-то девать, — например, расходовать на триние овервку, спушенную с десятиого этажа.

Точно так же летательный аппарат при посадке на Луну или на планеты, почти лишенные atmosферы (Меркурий, Марс), должен будет гасить скорость и соответствующую кинетическую энергию при помощи силы тягги ракетных двигаелей, направленной в противоположную сторону.

Однако эти расускения верны, если имеет в виду стандартную рекомендацию школьных задач: «спортивленем atmosферы пренебречь». Но ведь парашют, планер, самолет с выключенными двигаетлями (ставший планером) как раз и признаются, не затрачивая энергии. Их скорость гасится аэродинамической силой — силой, действующей со стороны воздуха. А можно ли использовать atmosферу Земли для планирующего «бесплатного» признания из космоса? Этот вопрос не столько тривиален, как может быть, кажется, если вспомнить печальную судьбу большинства meteorитов, которые так и не добираются до поверхности Земли, а если добавются, то в жалком виде. А нам хотелось бы приземляться «целиком», не затратив ни своей массы, ни своей энергии.

Так можно ли?

Что бы ответить на этот вопрос, составим План. Когда автор этой статьиучился в школе, то для полного раскрытия образа, например, Татьяны Лариной или даже Бабы Яги непреемно требовался План. Вот и сейчас мы будем действовать по плану: сперва вкратце вспомним, как устройна atmosфера, как зависит сила, с которой воздействует на движущесся в нем тело, — ародинамическая сила — от плотности atmosферы и скорости тела, как нагревается и охлаждается это тело при движении в atmosфере, и, наконец, перейдет к Заключению.

Плотность atmosферы

Итак, прежде всего решить об atmosфере Земли. Правда, нечего и надеяться расскаать все, что можно, об atmosфере Земли — об всех ее ветрах, грозах, тайфунх, облаках — этого не сделать даже в очень толстой книге. Но можно сделать то, что делают физики каждой раз, когда все очень сложно (а сложно почти всегда), — можно построить модель atmosферы. Хорошая модель должна быть смысленным смысленным черты объекта или явления, которые мы намерены использовать для работы. А что самое хаскетное для нас в atmosфере? Ну, например, ее плотность — ведь мы собираемся в atmosфере двигаться, причем быстро, а интупитивно ясно, что сила сопротивления двигаению должна зависеть от плотности окружающего среды (ведь

16

вванне с водой руку двигать труднее, чем в воздухе при той же скорости).

Понятно, что с высотой плотность atmosферы должна уменьшаться. Зависимость плотности atmosферы Земли от высоты над уровнем моря приближенно можно выразить так называемой барометрической формулиной Болыцмана

$$\rho \approx \rho_0 e^{-\frac{h}{h^*}}$$

пригодной до $h \approx 80 \div 100$ km. В этой формуле $\rho_0 = 1,3$ кг/м$^3$ — значение плотности на уровне моря, а стоящая в знаменатель показателя степени величины $h^* = 7,16$ km называется масштабным коэффициентом плотности. Понятно, что на высоте $h^*$ плотность atmosферы в $e = 2,72$ раза меньше, чем на уровне моря.

Аэродинамическая сила

На тело, движущемся в воздухе, действует сила. Чтобы убедиться в этом, достаточно например, горизонтальное высотить ладонь в окно движущегося автовуса или вагона поезда (разумеется, осторожно!). При поворотах ладони вокруг горизонтальной оси силы со стороны воздуха будет действовать на кисть то вверх, когда ветер ударяет в ладонь, то вниз, когда в ее тыльную сторону. В первом случае угол атаки $\alpha$ (между плоскостью ладони и вектором скорости $\vec{v}$ набегающего потока) считается положительным, во втором — отрицательным (рисунок 1).

От чего эта сила зависит?

Используем для ответа на этот вопрос теорию размерностей. Сначала выпишем те характеристики процесса, от которых, как мы ожидаем, ладона бызисеть упомянутая сила.

Ну, разумеется, она зависит от скорости $v$ (совсем разные силы действуют на вытянутую руку, когда едешь, скажем, на экалаторе метро и когда высушень руку из окна мчащегося автоматили). Далее, если, например, проводится ладонь в воздухе и в воде, то (при одинаковой скорости движения) во втором случае сопротивление больше, чем в первом. Значит, важное еще, в какой среде происходит движение, — сила ладонь зависит от плотности среды $\rho$. А еще от чего? Конечно, от размера движения тела: попробуйте при одинаковых скорости взмахнуть в воздухе ладонь без вверх и с вверх — сразу станет ясно, что вверх_maxать труднее. Итак, аэродинамическая сила зависит еще и от характеристика тела $L$.

О форме будущего «Востока» спорили долю. Предлагались конус, полусфера, цилиндр и, наконец, — сфера, шар. С. П. Королеву он сразу поправился. Для него легко рассчитывать аэродинамические характеристики, у него хорошая устойчивость, наименьшие суммарные тепловые потки при торможении в атмосфере Земли. На участке приземления скорость спускаемого аппарата (CA) газилась парашютной системе.

17

Перечислим эти величины вместе с их размерностями:

$$[v] = \frac{M}{c}, [\rho] = \frac{\kappa \Gamma}{M^3}, [L] = m.$$

Как из них составить комбинацию, имеющую размерность силы, т. е. ньютон: $[F] = H = \kappa \cdot m/c^2$? Сразу видно, что размерность кг входит из наших трех параметров только в $\rho$, а секунда — только в размерность скорости, причем там она в значенателе в первой степени, а нам надо во второй. Следовательно, уж точно сила будет пропорциональна произведению $\rho v^2$. Но размерность этой величины есть $\kappa \cdot (c^2 \cdot m)$, а нам необходимо, чтобы метр стойл в числитель, — стало быть, нужно умножить еще на квадрат размена $[L]^2$ (а $L^2$ имеет размерность площади). Итак, единственная комбинация параметров $v$, $\rho$, $L$, имеющая размерность силы, есть $\rho v^2 L^2$, так что $F \sim \rho v^2 L^2$. Про коэффициенты пропорциональности (безразмерные!) теория размерностей нам ничего сказаить не может.

«Не позвольте! — воскликнет вдумчий читатель. — Ведь, по крайней мере, сила сопротивления может зависеть еще и от вззости воздуха, а мы про вязкость совсем забили?!» Это так. Более того, в некоторых случаях именно вязкость определяет силу сопротивления: например, на добинку, опускающийся на дно банки с медом, действует так называемая сила Стокса, пропорциональная не площади, а радиус шарика и не второй, а первой степени скорости. В этом примере течение media вокруг шарика настолько медленное, что даже называется ползушим. Но это движение в густом, вззом медленно положим. Но это движение в густом, вззом медленно воздействия на объективе скимаемым воздейством большого летаального аппарата, движущегося со сверхзвуковой скоростью. (Такое влияние размера тела на характер движения (масштабный эффект) былает и в других случаях: например, стабильно или можно застать плавать на поверхности воды в ванне, а стабнойлом, очень похожий на большую иглу, — едва ли, — может попробовать сами. В случае игры существенно поддерживающая сила поверхности поверхности, пропорциональная первой степени размера, а в случае лома превалирует сила тяжести, пропорциональная кубу размера, и эту силу уже не могут «перебороть» ни поверхности натяжение, ни архимедова сила.)

Разложим суммарную аэродинамическую силу $\vec{F}$, действующего на объективе тело со стороны воздуха, на две составляющие: $F_y$ — перpendикулярную к вектору скорости $v$, и $F_x$ — направленную вдоль этого вектора (рисунок 2). Первая из них — $F_y$ — называется подъемной силой, вторая — силой сопротивления. Очевидно, что обе эти компоненты имеют одну и ту же размерность — Н; значит, и $F_y \sim \rho v^2 L^2$, и $F_x \sim \rho v^2 L^2$. В формулах для $F_y$ и $F_x$ должны стать какие-то коэффициенты (безразмерные), зависимости, по крайней мере, от угла атак (ведь если крыло или ладонь поставить пер-

18

пендикулярно скорости $v$, то сопротивление будет, а подъемной силы — нижкой). Один из этих коэффициентов (в случае подъемной силы) называем коэффициент подъемной силы $C_y$, а другой (в случае сопротивления) — коэффициент сопротивления $C_x$.

Тепер напишем:

$$F_y = C_y \rho v^2 L^2, \quad F_x = C_x \rho v^2 L^2.$$ (2)

Мы сказали, что $C_y$ и $C_x$ (назовем их аэродинамическими коэффициентами) зависит от угла атаки. А открытая взятя эти зависимости? В некоторых случаях их можно расчитать. Например, такой расчет можно проводить для случая, когда аппарат летит очень высоко, там, где молекул уже мало и они влизации аппарата друг с другом не стalkиваются, а стalkиваются только с ним, с аппаратом; это очень упрощает расстояние.

Давайте рассматривать движение в системе отсчета, связанной с аппаратом, который движется в атмосфере со скоростью $\vec{u}$. В этой системе аппарат поконтся, а молекул воздуха на летятот на него. Мы будем считать, что $u$ много больше тепловых скоростей молекул; тогда можно пренебречьxaотическая темповдвижением молекул и считать, что все они налетают на аппарат со скоростью $\vec{v} = -\vec{u}$.

Рассмотрим прежде всего удар одной-единственной молекулы о твердую поверхность аппарата, наклоненную по отношению к вектору скорости на угол $a$ (угол атаки). В предположении абсолотно упругого удара после стalkновения молекул $v$ не изменится, а вектор $\vec{v}$ повернет на угол $2a$ (рисунок 3). Нетрудно найти изменение скорости молекулы в результате удара (см. рисунок 3):

$$\Delta v = 2v_n = 2v \sin a.$$

А изменение импульса этой молекулы, если ее масса $m$, равно

$$\Delta p_m = 2mv \sin a.$$

Согласно закону сохранения импульса и третьему закону Ньютона, такой же по абсолотной величины импульс получит тело, о которой ударилась эта молекул. А сколько молекул ударя-

20

номила нам много услій: не надо установливать, что сила пропорциональна плотности среды, площади поверхности аппарата, квадрату скорости движення.

Скачок уплотнения

Заметим, что мы в нашем рассмотрении представляли аппарат фактически как пластинку площади $S$, наклоненную под углом $\alpha$ к потоку молекул, а скорости молекул считали одинаковыми по модулю и направлению — аппарат двигался намного быстрее теплового движення самих молекул. То, что проискодило на тыльной подветренной стороне пластинки, нас не интересовало: молекулиу туда не попадали, так что это пространство можно было бы заполнить, например, теплом клина с тем же углом $\alpha$ при вершине. Пусть теперь этот клин опускается в плотные слоны атмосферы и движется все медленнее, но все еще быстрее средней тепловой скорости молекул и, следовательно, быстрее звука. (Ведь ясно, что такой организованный процесс, как звуковое воздействие, не может распространяться быстрее самих молекул, движущихся с тепловой скоростью.) Чтобы как можно сільне тормозиться, давайте плоскость клина начнем наклонять на все больший угол по отношению к потоку (ведь сила сопротивления $F_x \sim \sin^3 \alpha$). Тогда молекулиу будут отскакивать от наветренной полуплоскости под все более прямым углом, и перед поверхностью клина начнет образоваться скатый слой. Когда плоскость расположится перpendикularно потоку, молекулы, налетящие на клин вдали от его края, не будут успеваать сокольнуть с него, начнется настоящая толчер; и набегающее молекулы (они ничего не знают о преястствии — ведь скорость большие скорости звука) с размаху будут временся в эту толщу молекул. У плоскости $S$ возникнет скатый слой, отделенный от невозмущенного газа так называемым прямым скачком уплотнения (рисунок 6). В этом скачке резко (на то он и скачок) падает скорость потока — от сверхзвуковой до медленной дозвуковой.

А что творится с температурой? Давайте сделаем оценку ее величины. Пусть тело движется очень быстро, ну, например, его скорость $v$ (точнее, $u=v$) в двадцать раз большие скорости звука $c$. Иными словами, относение скорости потока $v$ к скорости звука $c$ равно $M=20$ (это относение называется числом Маха), а каждая молекula в набегающее невозмущенном потоке обладает кинетической энергией, приблизительно равной $\frac{mv^2}{2} = \frac{mc^2}{2} M^2$.

Внутри скатого слоя молекулы почти неподвижны относительно тела; значит, их кинетическая энергия почти целиком перешла в теплую, и для оценки температуры $T_1$ в скатом слое можно положить приближенно (для двухатомных молекул воздуха)

$$\frac{mc^2}{2} M^2 \approx \frac{5}{2} kT_1,$$

Первая мягкая посадка на Луну была совершена космическим аппаратом (КА) «Луна-9». На высоте около 75 км был включен тормозной движения, и КА начал снижение. Вблизи поверхности от тормозного отсека отделился сфericalный полезный груз. Коснушись грунт и перекатысь, как самый общий мяч, груз замер. После этого на его верхней полусфере раскрылись 4 лепестка антенны.

21

азота:

$$E = \frac{m_N c^2}{2} M^2 = \frac{1}{2} \cdot 4,7 \cdot 10^{-26} \cdot (300)^2 \times (20)^2 \approx 0,85 \cdot 10^{-18} \text{Дж.}$$

Видно, что $E$ и $\varphi$ сравнимы по порядку величины, — значит, можно ожидать и появления свободных электров ионов.

Конечно, на диссоциации ионизацию уйдет часть первогоальной кинетической энергии молекул, так что температура в скатом слое становится больше чем на поверхности Солнца! Это значит, что молекулы воздуха «развалятся» (диссоцируют) на отдельные атомы. А что еще? Сравним кинетическую энергию молекул с энергейой инизции. В таблицах можно посмотреть, что энергия инизции (в расчете на молекулу), например, для азота (основного компонента атомосферы) равна $\varphi = 2,5 \cdot 10^{-18}$ Дж. Оценим теперь в джойлях кинетическую энергию налетающей молекулы

И хотя мы провели рассуждения об образованении скатого слоя на примере плоскости, которое мы постепенно развернуть поперек сверхзвукового потока, все это верно и для любого тела, у которого можно проведти касательную плоскость, перепendlкуруную потоку. Такие тела называются в аэродинамике затупленными. Но существование такой плоскости еще мало: чтобы скачок уплотнения был похож на тот, который мы уже изучили, надо еще, чтобы радикзивы тела былизи этой касательной плоскости был достаточно большим — большие, чем толщина скатого слоя; тогда этот скачок на некотором протяжении (оперек потока) будет похож на прямой. В качестве примера на рисунке 7 изображен шар, обтекаемый сверхзвуковым потоком. Видно, что в окрестности передней точки

22

шара (точке торможения) и слой, и скачок действительное почти плоские — это место обведено пунктным прямогольником. Такие тела называются уже совсем обидно — тупыми. (В этом смысле, с точки зрения сверхзвуковой аэродинамики, любой человек, даже очень остроумный, является тупым телом.)

Итак, перед каждым затуплением телом в сверхзвуковом потоке образуется скатый и сильно нагретый слой газа.

Коридор входа, или Заклочение

В начале статьи мы рассуждали о том, что если у планеты нет атмосферы или она есть, но очень разреженная, то для мягкой посадки, требующей торможения, придется затратить энергии почти столько же, сколько для выхода из ее поля тяготения. Но если есть атмосфера достаточно плотности, то можно сэкономить эту энергию (а значит, и связанную с ней массу первоначально запасенного топли-ва), использя для торможения силу сопротивления $F_x$, а для поддержания в атмосфере — подъемную силу $F_y$.

А что значит «достаточная плотность» атмосферы? И только ли плотность атмосферы должна войти в наш рассудения? А размер планеты, ее масса (от которых зависит ускорение силы тяжестии на поверхности), толщина атмосферы, ее состав? А характеристики самого аппарата?

Вот об этом сейчас мы и собираемся поговорить.

Итак, пусть аппарат массой $M$, имеющий площадь крыла $S$, движется со скоростью $v$ в атмосфере Земли на высоте $h$, где плотность атмосферы равна $\rho$. Подъемная сила будет равна $F_y = C_y \rho v^2 S$. Облегая планету, аппарат движется поискрывной траектории. Пусть для простоты эта траектория близка к окружности радиусом $R + h$ (R — радиус Земли); тогда центростремительное ускорение аппарата будет равно $v^2/(R + h)$. Это ускорение определяется силой тяжестии и подъемной силой $F_y$:

$$Mg - F_y = \frac{Mv^2}{R + h}.$$

Учитывая, что «толщина» атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли, перепшем последнее уравнение в виде

$$C_y \rho v^2 S \approx M \left( g - \frac{v^2}{R} \right).$$

Отсюда прежде всего следует, что там, где уже почти нет атмосферы, т. е. плотность и, следовательно, подь-

23

емная сила равны нулю, равна нулю и правая часть выражения. Тогда для скорости получается значение $v_I = \sqrt{Rg} = 7,8$ km/c — первая космическая скорость. А что происходит по мере снижения аппарата? Скорость аппарата будет уменьшаться под действием силы сопротивления $F_x$. Но по мере снижения быстро расет плотность атмосферы (см. формулу (1)). И, несмотря на падение скорости, подъемная сила $F_y$ возрадает. И эту подъемную силу можно использовать, чтобы задержать «падение» аппарата. При этом летательный аппарат становится фактически планером, и действующая на него сила тяжесте может быть уравновешена подъемной силой:

$$Mg = C_y\rho v^2 S.$$

Чтобы использовать эту возможность крылатого аппарата, лететь надо на таких высотах, где плотность атмосферы не меньше, чем $\rho_{\min} \approx \frac{Mg/S}{C_y v^2}$ (числитель этой дроби — сила тяжесте, приходящая на единицу площади крыла, — называется нагрузкой на крыло, поэтому мы его выделили). А при помощи формулы (1) можно определить и ту предельную высоту, не ниже которого можно держаться «на крыле» при данной скорости полета $v$:

$$\frac{Mg/S}{C_y v^2} \approx \rho_0 e^{-\frac{h_{\max}}{h^*}} \Rightarrow \frac{h_{\max}}{h^*} \approx \ln \frac{\rho_0 C_y v^2}{Mg/S},$$

откуда

$$h_{\max}(v) \approx h^* \ln \frac{\rho_0 C_y v^2}{Mg/S}.$$

Другими словами, если мы хотим, чтобы на заданной высоте $h$ аппарат «не проваливался», надо, чтобы его скорость была не меньше, чем

$$v_{\min}(h) \approx \sqrt{\frac{Mg/S}{C_y \rho_0}} e^{\frac{h}{h^*}}.$$

На рисунке 8 показана кривая BADC, соответствующая служю входа в атмосферу Земли летательного аппарата, имеющего первоначальное вторую космическую скорость $v_{\Pi} = 11,2$ km/c. Участок CD в нижних слоях атмосферы и описывается только что приведенной формулой.

Итак, мы получили кривуо, выше которой аппарат не может поддерживать атмосферу: при любой заданной скорости (меньше первой космической) подъемной силы будет не хватать, если мы заберемся на бóльшую

24

высоту, чем указывает эта кривая. Позному «запрещенная» область значений затрихована сверху.

Ну, так давайте лететь быстрое? Стоп! Введ мы знаем, что при больших скорости на затупленных кромках нашего аппарата «сядет» скачок уплотнения, за которым воздейству (и даже не воздейству, а смесь осоклов его молекул) разогрется так сильно, что аппарат может стореть. Это сложнейшая проблема входа в атмосферу — тепловой барер. Как ответить это телло? Можно использовать все: теплопроводность самого аппарата, которая позволяет теплу стекать «от носа в хвост», возможно его оплавления (и, значит, изменения формы, что делает аппарат еще «тупее»), теплое излучение «раскаленных добавла» части аппарата и др.

Обсуждать эту проблуу в целом мы здесь не будем, а для оценки допустимой скорости возьмем «самый худший» случай, когда все телло, приносимое на аппарат воздухом, отводится с его поверхности только излучением.

Есть такой закон — закон Стефана — Большмана, — согласно которой мощность, уносимая излучением с каждой квадратного метра площади, пропорциональна четвертой степени температуры: $q = \sigma T^4 \frac{\Delta J}{\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{c}}$. Коэффициент пропорциональности $\sigma$ называется постоянной Стефана — Большмана; его можно выписать из справочника по физике: $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8}$ Дж/(м$^2$·с·К$^4$). Это очень резкая зависимость: стойт температуру увеличить, например, в $3^4=81$ раз — почти в сто раз! Согласно этому закону получается, что для эффективного охлаждения излучением нужно «раскалиться добавла».

Итак, оценим наиболее скорость, с которой может двигаться аппарат, еще не плавая. Масса воздуха, налетающего за единицу времени на единицу площади поверхности аппарата, равна $\rho v$. Приносимая этим воздухом энергия $\rho v \frac{v^2}{2}$. Почти все эта энергия переходит в теплло. И все это теплло, по предложению, уходит от аппарата за счет излучения, которое в единицу времени уносит с единицей площади энергии $\sigma T^4$. Итак, потребуем, чтобы температура поверхности не превышает температуры плавления $T_{\pi \pi}$. Тогда будем иметь

$$\frac{v^2}{2} \rho v \leq \sigma T_{\pi \pi}^4.$$

Таким образом, скорость аппарата не может быть больше определенного для каждой высоты значения $v_{\max}$:

$$v \leq v_{\max}(h) = \left[ \frac{2 \sigma T_{\pi \pi}^4}{\rho(h)} \right]^{1/3}.$$

График зависимости $v_{\max}(h)$ на рисунке 8 — это кривая EF.

Итак, если мы хотим использовать «несущие и тормозящие» свойства атмосферы, т. е. садиться на планету на крылатом аппарате, не расходу топливо на торможение, то в плоскости координат высота — скорость наша «траектория» не может прохождение выше кривой CDAB (крылья не будет держать аппарат) и ниже кривой EF (сторим!). Обе эти кривы построены для условий посадки на Землю. Видно, что с увеличением скорости расстояние между этим кривыми — ширина «коридора входа» — достигает минимального значения (значит, особенно на этой высоте нужно не ошибиться!), но, к счастью, эти кривы игнорируются! Мудрая Природа предусмотрела возможность для развития существ возврашаться на Землю на крылатых аппаратах.