Задачи М1101—М1105; Ф1113—Ф1117

Квант 1988, №5 с. 29-30 Тег 0BYO

Задачи

M1101—M1105, Ф1113—Ф1117

M1101. На боковых сторонах AB и AC равноведренного треугольника ABC нашлись также точки D и E соответственно, что AD=BC=EC и треугольник ADE равноведренный. Каким может быть угол при вершине A?

В. Кириак (Румыния)

M1102. Докажите, что существует n различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если a) n=3, 6) n=4, в) n — любое натуральное число, больше 2.

Л. Д. Курляндчик

M1103. a) На бесконечной плоскости, разбитой на квадратные клетки, некоторое — быть может бесконечное — количество прямоугольников размером 1×2 закрытых в черный цвет так, что никакие два черных прямоугольника не имеют общих точек (далее вершин). Докажите, что оставшуюся часть плоскости можно заместить этими прямоугольниками.

6)* Пусть на клетчатой плоскости закрытые несколько прямоугольников размером m×n, не имеющих общих точек. Докажите, что если mn четно, то оставшуюся часть плоскости можно заместить прямоугольниками размером 1×2, а если mn — нечетно, то это не всегда возможно.

M. Хованов, ученик 10 класса

M1104. В тетраэдре ABCD грани ABC и BCD перпендикулярны, ∠BAC=90°. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведением длины противоположных ребер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.

В. Н. Дубровский

M1105. После нескольких прямоугольных разрезов поверхности выпуклого многоугольника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отвецют одной и той же точке на поверхности многоугольника. Каким был исходный многоугольник, если при разрезании получился a) прямоугольник со сторонами 1 и √3,
6) равноведренный треугольник с углом 120°, причем в обихах склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно ее середины.

H. П. Дольбили, М. И. Штогрин

Ф1113. Шар радиусом R может свободно врашаться на закрепленной горизонтальной оси OO′. Под шаром, прижимаясь к нему, движется шероховатая жесткая лента, изогнутая в виде полуплиндра радиусом R (рис. 1). Скорость ленты v направлена горизонтально и перпендикулярно оси OO′. Чему равна установленная скорость врашения шара?

Л. Г. Маркович

Ф1114. Каскадер падает с высоты $H=50$ м. К нему пристегнут резиновый шур, второй конец которого закреплен в месте старта. Длина и жесткость шура подобраны так, что у земли скорость гасится до нуля. После того как затухли колебания, каскадер повисна высота $h=10$ м над землей. Какова была максимальная скорость каскадера во время падения? Соответствие воздуха не учитывать.

Д. В. Павлов

Ф1115. Замкнутый сосуд, заполненный газом, разделен на две части непроницаемый горизонтальный поршнем; масса сосуда $m$ , масса поршня $M$ . Вначале сосуд поконтся на подставке. Затем подставку только выбивают из-под сосуда. С каким ускорением начинает двигаться сосуд? Тренем между стенками сосуда и поршнем претензь.

С. Ф. Ким, А. И. Латвинин

Ф1116. В две одинаковые химические пипетки набирают до одного и того же уровня воды: в одну — холодную, в другую — горячую. Пипетки опорожняют и считают при этом капли. Из какой пипетки упадет больше капель?

А. И. Буздин

Ф1117. Свет от точного источника $A$ выводится сквозь непрозрачную стенку с помощью светового — тонкой прорачной палочки с радиусом сечения $R$ (рис. 2); внутренняя часть палочки с радиусом $r(R-r\ll r)$ сделана из материалов с показателем преломления $n_1$ , а внешняя оболочка — из материалов с показателем преломления $n_2$ ( $n_2<n_1$ ). Определите диаметр светового пятна на экране, расположенном на расстоянии $L$ от правого торца светового. Источник света находится центра левого торца светового.

Как изменится размер пятна, если источник удалить вдоль оси светового на расстояние $l$ от торца?

Е. Н. Юносов, И. В. Яминский

Problems

M1101—M1105, P1113—P1117

M1101. There are points $D$ and $E$ on the equal sides $AB$ and $AC$ (respectively) of the isoceles triangle $ABC$ such that $AD=BC=EC$ and the triangle $ADE$ is isosceles. What can be said about $\angle A$ ?

V. Chiriac (Rumania)

M1102. Prove that there exist $n$ distinct natural numbers whose sum of cubes is the cube of a natural number, if a) $n=3$ , b) $n=4$ , c) $n$ is any natural number greater than 2.

L. D. Kurlyandchik

M1103. In the infinite plane, divided into equal little squares, there is a certain quantity (perhaps infinite) of black $1\times 2$ rectangles without common sides or vertices.