Задачи М1111—М1115; Ф1123—Ф1127

Квант 1988, №7 с. 31, 33, 34 Тег 7NRL

Задчи

M1111—M1115, Ф1123—Ф1127

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задчи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмещаются звездочек. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задчи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправлять не позднее 1 октября 1988 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».
Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» пишите: «Задчик «Кванта» № 7 — 88» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1111» или «Ф1123».
В графе «…адрес отправителя» фамилию и имя просим письать разборчиво. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задчик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).
В начале каждой письма просим указывать номер школьных и класс, в котором вы учитесь.

M1111. Около отсоответственного треугольника ABC описана окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках A и C, пересекают касательную, проведенную в точке B, соответствно в точках M и N. В треугольнике ABC проведена высота BP (точка P лежит на стороне AC). Докажите, что прямая BP является биссектриской углą MPN.

В. И. Чиник

M1112. На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа a и b, то можно написать число ab+a+b. Можно ли этим способом получить a) число 13121; 6) число 12131?

Докажите, что существует бесконечного много натуральных чисел, не представимых в виде

в) x+y+xy, г) x+y+2xy с натуральными x и y.

А. А. Берзиньш, В. Г. Ильчцев

M1113*. В стране 21 город. Аввационное сообщение между ними осуществляет несколько авакомпаний, каждой из которых обслуживает 10 бесплатных авакомпаний, связывающихся по парно неокоторые пяты городов (при этом между двумя городами могут летать самолеты несколько компанций). Каждые два города связаны по крайней мере одной бесплатной авакомпании. При каждой из местных колисентов авакомпании это возможно?

Д. В. Фомин

M1114. Докажите, что для любого tetraэдра имеет место неравенство

$r < \frac{ab}{2(a+b)},$

где a, b — длины двух скрещивающихся ребер, a r — радиус вписанного шара.

И. Ф. Шарыzin

M1115*. a) В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превысших 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превысших 19. Изовем отрезком одного или нескольких чисел чисел одной строки. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку так, что суммы чисел в них равны.

Пусть n, m, k — натуральные числа. Докажите, что если

$1+2+\ldots+n=mk,$

то числа 1, 2,…, n можно разбить на k групп так, чтобы суммы чисел в каждой группе были m.

А. В. Анджанс

Ф1123. К концу вертикальной водопроводной трубЫ при помощи короткого отрезка резиновой трубки прикреплена стальная насадка массой M. При каком рас-(Продолжение см. на с. 34)

Самолет-разведчик пожарной авации вылетел на декурство. Его было очень сухое, и песные пожарные, к сошалению, стали частьм целением.
Сильная гроза в день декурства еще увеличила вероятность возникновения пожара, поскольку сопровождалась лишь незначительными домолями. Гроза не позволела самолету дышаться по наимененному маршту и вносила помехи в радиосвязь с землей. Вот что записал диспетчер.

12.00. Нахождение в центре квадрата Л—11, курис…*), скорость 200 км/ч.
Вуду держать эту скорость в течение всего полета.
12.30. Пролетаю охотничью избушку; пока все в порядке.
13.00. ВЫполняю поворот на …..
13.30. Слева в 15 км от меня метерологическая вышка, все в порядке.
14.00. ВЫполняю поворот на 90° елебо.
14.30. ВЫполняю поворот……
15.00. Пересекаю реку Синяя.
15.30. ВЫполняю поворот на 90° …..
15.45. ВЫполняю поворот на 90° направо.
16.00. Пролетаю над рекой Синяя.
16.18. Подо мной лесной поворот. Высылайте помощь. Мой координаты ……

В какой квадрат диспетчер должен послать пожарников?

*) Многооточие соответствует грозовым помещам.

ходе воды насадка будет горизонтальной (рис. 1)? Площадь секения трубы $S$ , длина ее $l$ . Треннем претенбрець.

М. Г. Гаврилов

Ф1124. На гладкое горизонтальное бревно радиусом $R$ kladут сверху «кинижку», составленную из двух однородных тонких квадратных пластинок со стороны $l=4R$ . Пластины скреплены при помощи неевесомого шарнирного стержня. Какой угол образуют пластины в положении равновесия (рис. 2)? Будет ли это положение равновесия устойчивым?

С. С. Кротов

Ф1125. Вертикальный теплопроводный сосуд, в котором находится одноатомный газ, закрыт поршнем массой $M$ . В сосуд включают нагреватель мощностью $N$ , и поршень начинает медленно движаться вверх. За какое время он поднимется на высоту $H$ относительно начального положения? Теплоемкость поршня, треннем и давлением atmosферы претенбрець.

А. Р. Зильберман

Ф1126. В схеме, изображенной на рисунке 3, ключ $K$ «колебляется» между положениями 1 и 2 с частотой $f=100$ Гц; в каждом положении ключ находится одинаковое время. Найти ток через резистор. $C_1=10$ мкФ, $C_2=30$ мкФ, $R=100$ кОм.

А. Р. Зильберман

Ф1127. Фонарик испускает пучок лучей, скодящихся на расстоянии $R_0=1$ м от него в маленькое пятно. На пути луча помещили два плоских зеркала квадратной формы так, что линия их соприкосновения пересекает ось пучка на расстоянии $r=70$ см от фонарика и перпендикулярна этой оси. Плоскости зеркал перpendикularны друг другу, а одно из зеркал составляет угол $\alpha=30^\circ$ с осью пучка. На каком расстоянии от фонарика сойдется тенерь пучок?

М. М. Цыпин

Problems
M1111—M1115, P1123—P1127

M1111. The tangents to the circumcircle of triangle $ABC$ at the points $A$ and $C$ intersect the tangent drawn from $B$ at the points $M$ and $N$ respectively. Show that the altitude $BP$ of triangle $ABC$ (where $P$ is on $AC$ ) is the bisector of angle $MNP$ .

B. I. Chinik

M1112. The numbers 1 and 2 are written on the blackboard. Additional numbers may be written according to the following rule: if the numbars $a$ and $b$ are already on the board, then the number $ab+a+b$ may be added. Is it possible to obtain the numbers a) 13121; b) 12131 in this way? Prove that there are infinitely many nonnegative integers which cannot be represented as c) $x+y+xy$ , d) $x+y+2y$ with nonnegative integers $x$ and $y$ .

A. A. Berzins, V. G. Il’ichev