Задачи

45

Задания

1. Проверьте справедливость tejдеств в числовой парамиде, изображенной на рисунке, и попробyte доказать общее утверждение:
   $$1+2+\dots+(k-1)+k+(k-1)+\dots+2+1=k^2.$$
   Подсказка рядом с парамидой.

2. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» вышше «дамы» и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании — Юра Воробьев, следующий по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымов и Аня Воробьева.
   Кто с кем катался?

3. В большую частрюлю, наполненную горячей водой, опустили стакан вверх дом. Через некоторое время из стакана стали выходить пузырьки воздуха. Почему?

4. Покажите, что уравнение
   $$x^5y=xy^5+1987$$
   не имеет решений в целых числах.

5. Прямогуляный лист бумаги разрезали на три треугольных куска. Площадь одного из них оказалась равной полусумме площадей двух других кусков. Как относится площади полученных кусков?

Эти задания нам предложили Н. И. Авилов, М. В. Улановский, А. Г. Самосват, А. П. Тонких, В. В. Произвольов.

47

Слово «молекula» появилось почти 350 лет назад. Появилось оно в книге французского философа Пьера Гасенди, изданной в 1647 году. По Гасенди молекula («массочка», от латинского «молес» — масса) — это несколькоatomов, объединенных в одну группу. По-разному объединенные atoms, т. е. разные молекулы, — это «кирипики», из которых природа строит разнообразные тела. Через этот М. В. Ломонсов, развивая учение о строении вещества, писал, что молекулы могут быть однородными (из одинаковых atomов) и разнородными (из разных), что молекулы взаимодействуют друг с другом и находятся в постоянномxaотическом движении.

Эти положения легли в основу молекулярно-кинитической теории строения вещества. Со временем они были подтверждены многочисленными опитами. О некоторых из них мы и хотим расскаать.

В 1911 году французский физик Дюнуайте поставил эксперимент, который показал, что в своем движении молекулы газа беспрестанно стalkиваются друг с другом, а между стокновениями их движение прямолейно.

Схема опыта приведена на рисунке 1. Из стеклянной трубки откачан

Рис. 1.

воздух. Трубка разделена двумя перегородками (1 и 2) на три отделения. В перегородках имеются отверстия ($O_1$ и $O_2$), расположенные на оси трубки. В отделении I помещен кусочек металлического натрия. Эту часть трубки нагревают. Натрий начинает испарться, пары натрия заполняют отделение I и через отверстия $O_1$ и $O_2$ проникают в отделения II и III. На стекках трубки там образуется натриевый налет, при этом в отделении II он покрывает все стенки, кроме перегородки 1, а в отделении III — только небольшую область направив ответия $O_2$.

Результаты этого эксперимента объясняются достаточно очевидно. В отделение II через отверстие $O_1$ попадают молекулы, скорости которых имеют различные направления. Поскольку воздуха из трубки откачан, молекулы натрия в отделении II движутся практическими без соударений и, попав на холодные стенки, оседают на них. А в отделение III попадают лишь те молекулы, скорость которых при вылете из отделения I была направлена вдоль прямой $O_1O_2$, и эти молекулы оседают в отделении III на стенке трубки строго направив ответий $O_1$ и $O_2$.

Факт, что молекулы движутсяxaотических, казалось бы, свидетельствует о том, что скорости молекул могут быть самых различными и нельзя указать ни их применительно направления, ни определенной величины. Однако в 1860 году английский физик Максвелл теоретически показал, что существует точный закон, которое подчиняется скорости беспорядочного, теплового движения молекул. Согласно этому закону — его называют законом распределения молекул по скоростям (или просто распределением Максвелла), при данной температуре существует определенное значение скорости, характеризующое движение большинства молекул данного газообразного вещества. И лишь у небольший доли молекул скорости намного больше или намного меньше этой наиболее вероятной скорости. (При этом предполагается, что все молекулы газа совершенно одинаковы и температура постоянна по всему объему.) Закон распределения молекул по скоростям позволяет определить долю молекул, скорость которых лежит близко к наиболее значению. Чем близке это значение к наиболее вероятной скорости, тем больше доля молекул, движущихся с данной скоростью.

На рисунке 2 приведен график, или построирующий распределение

48

Максвелла. По оси абсцисс отложена скорость $v$, а по оси ordинар — функция $f(v)$, значение которого при данном значении скорости определяет долю молекул газа, скорость которых очень близка к $v$.

Рис. 2.

Хотя смысл сказанного понятен, надо иметь в виду, что интересовать точным значением скорости определяемой молекулы или тем, сколько молекул имеют конкретирую скорость, бессмысленно. Дело в том, что рассматривая, скажем, газ в состоянии мы имеем дело с огромным числом объектов (ведь в одном кубическом сантиметре воздуха в комнате находится примерно $2,5 \cdot 10^{19}$ молекул). И нет никакой возможности (да и нет необходимости) обсуждать характеристики каждой объекта — молекулы — в отдельности. В целом ряде случаев для описания поведения такого огромного числа части достагоно значения средних значений величины, характеризующих движения части, — скажем средней скорости или средней энергии.

Эксперимент по определению скорости движения молекул газа был впервые поставлен тоже только в начале XX века немецким физиком Штерном. Схема опыта представлена на рисунке 3. При нагревании тонкой посеребренной платиновой проводки 1 (проволочка накаливается при прохождения по ней электрического тока) молекулы серебра испаряются с ее поверхности. Часть молекул через узкую щель 2 в тонком цилиндре 3, окружающим проводку, попадает внутри большого цилиндра 4, окружащего проводку и маленький цилиндр. Из положи большого цилиндра воздух откачан, поэтому молекулы серебра движутся там практическими без соударений и, попадая на стенку цилиндра, оседают на ней (температура поверхности большого цилиндра достагоно низкая). Оседающее молекулы образуют узкую полоску налета 5. Если вся система покопится, то эта молочка образуется как раз направившей itself 2, создавая как бы ее изображение. Но если оба цилиндра (3 и 4) врашаются вокруг обшей оси, прохождение через проволочку 1, то молочка налета уже не будет образовывать направившей itself 2. Действительно, за то время, пока молекулы пропетают расстояние от щели до поверхности цилиндра 4, цилиндр успевает поверхности, и след 6 (рис. 4), оставляемый молекулами, оказывается смешным относительно молоки 5 в направлении, противоположном направлению цилиндров.

Рис. 3.

Рис. 4.

49

Зная скорость, с которой вращаются цилиндры 3 и 4, можно по расстоянию между следами 5 и 6 определять время, за которой молекулы пропетают расстояние от щелки 2 до поверхности цилиндра 4. А зная это расстояние, можно определить скорость молекул.

Важно отметить, что положка на лета, образованного молекулами, оказывась не постояной толщины. Вблизи середины положка наиболее толстая, а на краях ее толщина уменьшается (рис. 5). Поскольку толщина середняного слоя определяется количеством молекул, освещих на поверхности цилиндра, то по ней можно судить о количестве молекул, налетающих на стенку с той или иной скоростью. Ведь близке к следу 5 попадают наиболее быстрыые молекулы, а дальше от него оседают более медленные. (Неправда ли, «профиль» середняного налета похож на кривую распределения Максвелла?)

Первый опит по определению скорости молекул Штерн поставил в 1920 году, а спустя четверть века идея опита была использована для экспериментальной проверки закона Максвелла. В этих экспериментах измерялось число молекул, скорости которых лежат в некотором интервале скорости. Измерения полностью подтвердили максимальный закон распределения.

Возможно, у читателя возник ворос: неужели столковения молекул друг с другом никак не влияют на распределение? В опите Штерна горячие молекул летели, не сталиваясь друг с другом, а может быть, если бы молекулы попадали не на холодную стенку, к которой они припали, а на такую же горячую, как они сами, и отскаквали от нее, то со временем в результате столковений друг с другом они выровняли бы свои скорости?

Разумеется, столковения сказываются на скорости молекул. Но изменение скорости происходит таким образом, что в любой промежуток времени число молекул, скорость которых уменышается, равно числу молекул, скорость которых уведомляется, и распределение молекул по скоростям остается неизменным — таким, как на рисунке 2. Если, конечно, температура газа постоянна.

А если газ нагревается? Более высоким температурам соответствует большие скорости молекул. Если во всем объеме, занимаемом газом, устанавливается более высокая температура, то кривая распределения смешается в сторону больших скоростей. При этом, как нетрудно понять, площадь под кривой остается постоянной — ведь она соответствует полному числу молекул в объеме.

И в заключение предлагаем вам подумать: какие явления в жизни, в окружающей природе свидетельствуют о том, что молекулы движутсяxaотично, что между столковениями их движение прямолинейно и что скорости молекул при одной и той же температуре не одинаковы.

51

В Монровии, столице Либерии, есть только один магазин хозяйственных товаров. Когда я сказал темнокожему клерку, сколько галловов краски мне нужно, он от удивления присвистнул:

— Не иначе, как вы собрались выкраить гору, мистер!
— Нет, — заверил я его, — не гору, всего лишь остров.

Клерк улыбнулся. Он думал, что я шуру, но я действительно собирался выкраить цель остров в пять цветов: красный, синий, зеленьй, желтый и фиолетовый.

Для чего мне это попадилось? Чтоы ответить на этот вопрос, мне придется вернуть на несколько лет назад.

Дело в том, что темой моей докторской диссертации была проблема четырех красок. Гипотеза о четырех красах утверждает, что для правильной раскраски любой карты, при которой любые две соседние страны, имеющие общий отрезок границы, будут выкрашены в различные цвета (две страны не считаются соседними, если их границы имеют лишь одну общую точку), достаточно четырех красок. Страны на карте могут быть любых размеров и самых прицудливых очертаний. Число их также может быть произвольным. Гипотеза четырех красок была впервые высказана в 1860 году Мебиусом, и, хотя над ее решением был лучше математически умы, гипотезу эту не удавалось ни доказать, ни опровергнуть*).

По страниномустеению обстоятельств проблемы четырех красок была решена для всех поверхностей, кроме сферы и плоскости. В 1890 году Р. Дж. Хивуд доказал, что для раскраски поверхности тора (поверхности бублика) необходимо и достаточно семи красок, а в 1934 году Ф. Франклин доказал, что шести красок достаточно для раскраски карт на односторонних поверхностях типа листа Мебиуса и бутылки Клейна.

17 ноября 1947 года профессор Венского университета Станислав Сляпенарский, читавший цикл лекций в Чикагском университете, сделал сенсащное сообщение о своем открытии нульсторонних поверхностей**). Это открытие имело далеко идущее последствия для изучения свойств бутылки Клейна и произвело подлинный переворот в исследовании по проблеме четырех красок.

Развивая некоторые идеи Сляпенарского, я опубликовал в 1950 году свою известную работу с проверженем «доказательства» Хивуда, полагавшего, что для правильной раскраски карты на плоскости необходимо и достаточно пяты красок. По всеобъему же убежданию топологов, для правильной раскраски плоскости или сферы достаточно четырех красок.

Вскоре после выхода в свет моей работы по проблеме четырех красок мне довелось завтраать в университетском клубе «Четырехугольник» с профессором Альмой Буш. Альма — один из ведущих наших антропологов и, несомненно, самая красивая женчина во всем университете.

Альма только что вернулся из экспедиции на небольший остров, расположенный в нескольких сотнях миль от побережья Либерии у западной крамки африканского материка. Она возглавляла группу студентов-антропологов, изучавших права и обычан пяты лемен, населявших остров.

— Остров разделен на пять области,— сообщила мне Альма,ставляя сигрету в длиной мундштук из черной пластмассы.— Все они граничат друг с другом. Это важно для понимания тамоших правов. Общность границ позволяет элементам поддерживать некое единство культуры. Что с тобой, Марти? Почему у тебя такой изумленный вид?

Я застыл, и, не донеся вилку до рта, медленно положил ее на стол.

*) Рассказ Гарднера написан в 1952 году. Положительное решение проблемы красок было найдено в 1976 году. (Примеч. ped.)
**) Подробный рассказ об этом читатель найдет в 6-м номере «Кваента» (Примеч. ped.)

52

— Потому, что ты рассказываешь невероятные вещи. Такого простого не может быть.
Альма была узвлена:
— ЧERO не может быть?
— Пяты пленен, имеющих общее границы. Это противоречит значению проблемы четырех красок.
— Противоречит чему?
— Проблеме четырех красок,— повторил я.— Есть такая проблема в топологии. Хотя она никак не доказана и не опровергнута, никто не сомневается, что она верна.
Я принялся концем ложки чертить на скатерти, пытаясь обьясить Альме, в чем здесь дело.
Альма быстро схватила общую идею.
— Может быть, у островных пленен другая математика? — высказала она предположение, шурясь от дыма сигреты.
Я покачал головой.
— Математика, дорогая моя, едина для всех культуры. Дважды два всегда четыре, даже в Африке. Если твой остров действительно разделен так, как ты говоришь — на пять области, каждая из которых имеет общую границу с четырьмя другими областями,— то я научу верить в математические способности твоих островитян. Нет ли у тебя карты острова?
Альма отрицательно покачала головой.
— Может быть, тебе отправиться с нами? — предложила она, страхивая пепел.— Я пробуду на острове мясц. Мне нужно проверить кое-какие данные перед тем, как опубликовать их, а ты тем временем сделаешь карту острова. Если то, о чем я тебе расскаазала, не подтвердится, я возмешу твои расходы.
Что я терял? Начинались летние каникулы, а это путешествие обещало быть приятным и необычным. И я согласился.

---

На второй день нашего пребывания на острове Альма познакомила меня с одним из островитан по имени Агуз. Агуз был из пленен хийнику, составляющего интеллектуальную элиту острова. Альма договорилась с Агузом совершить второе пеший поход по всему острову. К счастью, остров был невелик: площадь его не превышала 25 квадратных миль. Пустившись в путь с утра пораньше, мы могли к вечеру обойти весь остров. Я прихватил с собой блокот и коробку карандашей, чтобы набросать хотя бы грубую карту пяты области.

Свой первый визит мы нанесли пленени хийнику, на территории которого был расположен наш лагерь.

На верхнем листке своего блокота я нарисовал круг и закрасил его синим. Точная конфигурация территории, занимаемой хийнику, была неизвестна, но для моих целей было воспользоваться территории, занимаемой пленем волфези, я следва от синего кружка поставил загогулину и закрасил ее в зеленьй цвет.

С трудом продираясь сквозь заросли какого-то кустарника, мы вышли на берег узкой тихой реки. Отромный плот из бревен едва выступал из светлой жирной грязи, устилавшей до реки. Агуз столкнул плот в воду, взобрался на него и принялся отталкивать длиным бамбуковым шестом. Мы перешли врод узку полоку топкой грязи у берега и приседили к нему. Лавиря шестом, Агуз направил плот вниз по течение извилистой реки.

Через некоторое время Агуз сообщил о том, что мы встречем на территorio пленени гезеллом. Она была расположена к свегуру от волфези.

54

могли бы пометить каждую территорию пятнами соответствующего цвента, и на цветном аэрофотосимке форма каждой территории была бы великолепно видна.

Альма заявила, что мой план великолепен. Ей в любом случае нужно было снять карту острова, а предложенный много метод позволяет выполнить эту задачу быстрее, чем другие.

— Краска за мои счет, — шедро предложила она.

Тут мы и подошли к тому самому месту, с которой я начал свой рассказ. У подрядчика, принимающего заказы на выполнение строительных работ, мы взяли направат дожину распылительный краски. Я купил двадцать тысяч галловов самой дезевой краски. Вернувшись на остров, мы без труда набрали бригаду мальчишек племени хийки и обучили их пользоваться распылителем.

Агуз был назначен бригадиром. Тerrиторию каждого племени мы метили краской того же цвета, что и на моей «карте». Закрашивание всей территории потребовало бы слишком больших затрат, поэтому мы решили распылить краску пятнами диаметром около десяти футов с интервалами в сто футов. С самолета Terrитория каждого племени казалась бы раскрашенной в горошек, и границы были бы легко различными.

Каждай раз я сопровождал бригаду, чтобы проследить за работой. Все было сделано, как надо. В том, что четыре Terrитории имели общее границы, сомненый не было: у каждой из них к какому-нибудь участку границы примыкала Terrитория другого цвета.

Решающим должен был бы пять цвет!

К распылению желтой краски мы приступили на двенадцатый день работы. Желтая Terrитория уже граничила с краской, зеленой и фиолетовой. Мы приближались к синей Terrитории. Нервы мои были направены до предела.

Бригада маляров медленно продвигалась сквозь подлеск. Заходившее солнеце отбрасывало длиные тени. Попугай с красивым ярким оперением, получив свою порцию краски из распылителя, с шумом взлетел и скрылся, издавая произтельные крики. Небольшая коричневая змея, обрызганная желтой краской, шпя уползла в укромное местечко. Неожиданно я схватил Альму за плече.

— Клянусь тенью Мебиуса! — воскликнул я хрипло, не в силах унять белено колотившееся сердце.— Я вижу отскода синее пятна!

В прекрасных серых глазах Альмы всыхнуло торжество.

— Так кто был прав?

Я уселся на большой пень и вытер пот, градом катившийся по лицу. Голова раскалывалась от нестерпимой боли. В видах стучало. Сковоз монотонный неумолчный гул насекомых издали доносился четкий, зажигательный ритм барабанов беболупу. Агуз стоял в ожидании дальнейших приказаний.

Я был в полной растерянности. Строю говора, пять областейник не могли иметь общее границы. Я знал, что проблему четырех красков удалось доказать для случая, когда число страна не превышает 35. Но что, если в эти доказательства вкралась какая-нибудь ошибка? Если остров действительно опровергает утверждение проблем четырех красков, мое открытие станет одним из величайших поворотных пунктов в топологии!

Через несколько дней, когда очередным рейсом прилетел самолет из Монровии, мы решили произвести аэрофотосимку острова. К сожалению, самолет был маленьким, с двумя открытыми кабинами, поэтому лететь мог только фотограф с камерой. Как только снимки будут сделаны, пилот высадит фотографа, и возьмет меня, чтобы я мог с воздуха посмотреть на раскрашенный остров.