Задачи М2026—М2035; Ф2033—Ф2042

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 апреля 2007 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2007» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2026» или «Ф2033». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2027–М2030, M2033 предлагалась на XXVIII Турнире городов, задача М2031 предлагалась на II Всероссийской олимпиаде по геометрии имени И.Ф.Шарыгина.

Задачи М2026 – М2035, Ф2033–Ф2042

M2026. На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD выбраны, соответственно, точки P, M, N, Q так, что Р MAN $= 45 ^\circ, PM P AN, AM P NQ$. Отрезок PQ пересекает AM и AN в точках F и G соответственно. Докажите, что площадь треугольника AFG равна сумме площадей треугольников FMP и GNQ. В.Произволов

M2027. На доске написаны три натуральных числа x, y, z. Петя записывает на листке произведение какихнибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию и т.д. до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет равным нулю. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на листке? Е.Горский, С.Дориченко

M2028. Известно, что вруны всегда врут, правдивые всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Вы можете задавать вопросы, на которые есть ответ «да» или «нет» (например: «верно ли, что этот человек хитрец?»). а) Перед вами трое – врун, правдивый и хитрец, которые знают, кто из них кто. Как и вам это узнать? б) Перед вами четверо – врун, правдивый и два хитреца (все четверо знают, кто из них кто). Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что вы, спрашивая этих четверых, ни про кого из них не узнаете наверняка, кто он. Б.Гинзбург, М.Гервер

M2029. Даны две бесконечные прогрессии, состоящие из положительных чисел: арифметическая и геометри-

ческая, причем любое число, встречающееся в геометрической прогрессии, встречается также и в арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число. Б.Френкин

M2030. Можно ли вписать правильный октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на ребрах куба? Л.Радзивиловский

M2031. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC, вторично пересекают его описанную окружность $\omega$ в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Прямые, проходящие через A, B, C и параллельные противоположным сторонам, пересекают $\omega$ второй раз в точках $A_{2}, B_{2}, C_{2}$. Докажите, что прямые $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}$ пересекаются в одной точке. А.Заславский

M2032. а) Существует ли такое натуральное n, что для любого натурального k хотя бы одно из чисел $n^{k} - 1, n^{k} + 1$ имеет вид $a^{b}$ для некоторых натуральных a и b > 1? б*) Назовем натуральное число антипростым, если оно делится на квадрат любого своего простого делителя. Два натуральных числа назовем близнецами, если они отличаются на 2. Конечно или бесконечно множество пар антипростых чисел-близнецов? В.Сендеров

M2033. У ведущего имеется колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (не уточняя, сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида «Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?» Один из зрите-