Задачи

26

КВАНТ 2007/№4

Задачи

Обозначим П(n) произведение цифр натурального числа n, причем если число n само является цифрой, то П(n) = n. Например: П(5) = 5, П(25) = 10. Последовательно записаны, такие числа:

1 + П(1), 2 + П(2), 3 + П(3), …

Могут ли в этой последовательности 2007 подряд идущих чисел оказаться последовательными натуральными числами? С.Дворянинов

Петя на каждом листе тетради из 96 листов нарисовал веселую рожицу (в анфас) либо с одной, либо с другой стороны листа, так что если положить закрытую тетрадь на стол, то некоторые рожицы будут «смотреть» на него, а остальные – от него. Верно ли, что можно раскрыть тетрадь (или вообще не раскрывать) в таком месте, чтобы на Петю и от него «смотрело» одинаковое количество рожиц? И.Акулич

На острове проживают аборигены, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Как-то встретились три аборигена: Ах, Ох и Ух. Один из них сказал: «Ах и Ох – оба лжецы», другой сказал: «Ах и Ух – оба лжецы» (но кто именно что сказал – неизвестно). Сколько всего лжецов среди этих трех аборигенов? Е.Барабанов

Профессор Мумбум-Плюмбум мечтает подобрать десять различных натуральных чисел таких, чтобы их наибольший общий делитель совпал с их средним арифметическим. Удастся ли ему это сделать? А.Жуков

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрация Д.Гришуковой

Правильный восьмиугольник разрезан на части, которые закрашены в четыре цвета. Докажите, что каждым цветом закрашена одна и та же площадь. В.Произволов