Избранные задачи Московской физической олимпиады

49

ОЛИМПИАДЫ

зований, состоящих в перекрашивании всех клеток какоголибо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными все клетки этого квадрата? В.Алексеев

6. Точки A ¢, B ¢ и C¢ – середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH – его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC¢ и CHA¢ окружности проходят через точку M, отличную от H, то $\angle$ ABM $= \angle CBB'$. В.Филимонов

7. Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника через 3 шага с точностью до 0,3? О.Косухин

Публикацию подготовил Б.Френкин

Избранные задачи Московской физической олимпиады

Первый теоретический тур

7 класс

1. Марс удобнее всего изучать во время противостояния, когда Земля находится между Марсом и Солнцем. Определите, через какой промежуток времени повторяются противостояния Земли и Марса. Марс совершает оборот вокруг Солнца за 687 земных дней, а Земля – за 365 дней. М.Ромашка

2. На земле лежит слой снега толщиной h = 70 см. Давление снега на землю (без учета атмосферного давления) p = 630 Па. Погода морозная, и снег состоит из воздуха и льда. Определите, сколько процентов объема снега занимает лед, а сколько – воздух. Плотность льда $\rho_{л} = 0,9$ г $см^{3}$. Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$. М.Ромашка

Рис. 1

Рис. 2

3. На заводе для подъема тяжелых заготовок используется система из четырех блоков и одного троса, закрепленных на потолке, как показано на рисунке 1. С какой силой F надо тянуть вниз за конец троса, чтобы удерживать или медленно и равномерно поднимать заготовку, вес которой равен P? Участки троса, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны, весом блоков, троса и трением можно пренебречь. М.Семенов

4. Сплошной шарик подвешен в сосуде на двух легких нитях, как показано на рисунке 2. Свободные концы нитей закреплены на одной высоте. После того как сосуд заполнили водой и шарик оказался полностью погруженным в воду, натяжение нитей не изменилось. Определите плотность $\rho$ материала, из которого изготовлен шарик. Плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$. И.Горбатый

8 класс

1. В широкий сосуд с водой медленно опускают на нити цилиндрический брусок так, что ось цилиндра все время остается вертикальной. График зависимости силы натяжения нити F от глубины погружения h нижнего основания цилиндра является отрезком прямой линии, как показано на рисунке 3. Найдите площадь основания цилиндра и его массу. Плотность воды $\rho_{0} = 1$ г $см^{3}$, ускорение сво- бодного падения g = 10 м $с^{2}$. М.Ромашка

2. В сосуде находился лед при температуре $t_{л} = 0 ^\circ C.^{Рис.} 3$ Туда влили воду массой $m_{в} = 0,4$ кг, взятую при температуре $t_{в} = 60 ^\circ C$. Какая температура установилась в сосуде, если конечный объем его содержимого V = 1 л? Чему равна масса содержимого сосуда? Плотности воды и льда $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$ и $\rho_{л} = 900$ кг $м^{3}$, их удельные теплоемкости $с_{в} =$

= 4200 Дж ( кг Ч $^\circ$ С ) и $с_{л} = 2100$ Дж ( кг Ч $^\circ$ С ), удельная теплота плавления льда $\lambda = 335$ кДж кг. Теплоемкостью сосуда и потерями тепла пренебречь. М.Ромашка

3. В одном из двух одинаково длинных «черных ящиков» находится постоянный магнит, а в другом – длинная катушка из медной проволоки, подключенная к источнику постоянного тока. Как, используя только эти «черные ящики», определить, в каком из них находится постоянный магнит? Нельзя заглядывать внутрь ящиков, разбирать ящики и разрушать их. И.Горбатый

9 класс

1. «Черный ящик» представляет собой систему, изоб-

Рис. 4