Победители конкурса имени А. П. Савина «Математика 6—8» 2006/07 учебного года

27

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. В этом номере мы собрали задачи авторов из разных стран мира: США, Израиля, Румынии, России, Белоруссии. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Нумизмат выложил 100 монет разных стран в одну линию. Оказалось, что любые две соседние монеты весят почти одинаково, а именно, разница их масс строго меньше 0,01 грамма. Всегда ли удастся эти монеты так перегруппировать, а потом расположить по кругу, чтобы массы любых двух соседних монет на окружности отличались менее чем на 0,02 грамма? Г.Гальперин

чисел внутри каждого многоугольника была одной и той же и превышала М. И.Хейфец

2. а) Нарисуйте три круга, при пересечении которых образуются шесть областей, обладающих следующим свойством: в них можно расставить числа от 1 до 6 так, чтобы сумма чисел внутри каждого круга была одной и той же и максимально возможной. б) Нарисуйте три круга, при пересечении которых образуются шесть областей, для которых невозможна расстановка чисел от 1 до 6 так, чтобы суммы чисел внутри всех кругов были одинаковы. в) Обозначим максимальную сумму, полученную в решении задачи а), через М. Нарисуйте три многоугольника, при пересечении которых образуются шесть областей, обладающих следующим свойством: в них можно расставить числа от 1 до 6 так, чтобы сумма

$+ 201 \le$ 2mnpqr. В.Кириак

3. Докажите, что любые попарно различные нечетные натуральные числа m, n, p, q, r удовлетворяют неравенству mnpq + mnpr + mnqr + mpqr + npqr +

4. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон четырехугольника, разрезал его диагональ пополам. Докажите, что четырехугольник является трапецией или параллелограммом. В.Произволов

5. За один ход разрешается одновременно перекрасить в противоположный цвет любую клетку шахматной доски, а также все клетки, имеющие с ней общую сторону. Можно ли за несколько ходов перекрасить в противоположный цвет все клетки доски? И.Акулич

Победители конкурса имени А.П. Савина «Математика 6-8» 2006/07 учебного года

Лучших результатов в конкурсе добились следующие школьники:

Кагаловский Таль – Беэр-Шева (Израиль), школа «Эшель-Ханаси», 8 кл., Лисичкин Сергей – Харьков, гимназия 47, 7 кл., Габидулина Надежда – Севастополь, 8 кл., Кадец Борис – Харьков, «Академическая гимназия» 45, 7 кл., Дудкин Александр – Харьков, ФМЛ 27, 8 кл., Родионов Георгий – Харьков, ФМЛ 27, 7 кл., Гулин Всеволод – Харьков, «Академическая гимназия» 45, 7 кл., Ибраимова Айжана – Бишкек, ФМШЛ 61, 8 кл., Рубаненко Мария – Харьков, школа 106, 7 кл.,

Хрущёв Тимур – Харьков, ФМЛ 27, 7 кл., Теплова Даша – Харьков, ФМЛ 27, 7 кл., Мищенко Николай – Краснодар, школа 93, 6 кл.

и кружки: Математического клуба при университете им. Д.Бен- Гуриона в Негеве (Израиль), руководители П.Самовол, Й.Хейфец, «Эврика» при ФМЛ 27, Харьков, руководители А.Л.Берштейн, Е.Л.Аринкина, школы 146, Пермь, руководители О.Н.Чичагова, А.М.Бурштейн, Центра дополнительного математического образования, Курган, руководитель О.И.Южаков, Малого университета при Харьковском национальном

36

КВАНТ 2007/№4

щими приемами, позволяющими строго сформулировать математическую задачу, а для решения задачи нет необходимости предполагать заранее, какую черту поведения микроскопической частицы мы установим – волновую или корпускулярную. Решив задачу, мы поймем, как квантовая механика описывает движение частицы. Поймем, даже если не сможем себе представить. В данной статье строгая постановка задачи означает возможность записать уравнение Шрёдингера, установить необходимые граничные и начальные условия. Решение поставленной задачи состоит не только в нахождении $\psi$ -функции, удовлетворяющей уравнению Шрёдингера с начальными и граничными условиями, но и в вычислении интересующих нас физических величин. Будут решаться только такие задачи, где $\psi$ -функция описывает движение одной частицы под действием силы, не зависящей от времени. Однако конкретные физические результаты, которые «содержатся» в $\psi$ -функции одной частицы и которые можно сравнивать с результатами эксперимента, относятся не к одной частицы, а к ансамблю, коллективу во всем подобных частиц. Что же описывает уравнение Шрёдингера: движение одной частицы или многих частиц? Одной! Но чтобы воспользоваться полученными результатами, их нужно перевести на язык макроскопической, классической физики. Именно для этого необходим переход к ансамблю многих частиц. Переход из микромира в макромир не проходит «безнаказанно»: меняется описание причинной связи между событиями. В макромире властвует обычный механический детерминизм. Во всяком случае, когда речь идет о движении одной частицы под действием заданной силы. Зная начальные условия, мы можем проследить движение частицы во все последующие моменты. Уточним: пусть при t = 0 известны координата $x_{0}$ и скорость $v_{0}$ частицы. Решив уравнение Ньютона (сила известна), мы найдем положение частицы в любой момент времени, т.е. функцию x = x ( t ), равную $x_{0}$ при t = 0. Производная dx ( t ) dt есть скорость частицы v ( t ). Естественно, когда t = 0, то $v = v_{0}$. Именно это утверждение и носит пышное название механического детерминизма. Пусть не обманет вас слово «макромир». В макромире происходят разнообразные события, предсказать результаты которых абсолютно достоверно невозможно. Иногда это связано только с неполным знанием начальных условий. Классический пример – бросание кости. Если бы знать, но абсолютно точно(!), как бросить кубик, чтобы он выпал нужной гранью вверх, задача имела бы однозначное решение. А так надо довольствоваться оценкой вероятности того, что произойдет. Бывает, и весьма часто, иначе: точно известна сила, приводящая макротело в движение, и известно, как будет двигаться тело под действием этой силы. Но если тело движется, например, в воздухе или скользит по наклонной плоскости, то на тело, кроме известной силы, действуют также силы со стороны молекул воздуха или атомов того тела, по которому оно скользит. Конечно, описать во всех подробностях движение тела и всех частиц (воздуха, наклонной плоскости) невозможно. Обычно достаточно ограничиться усредненным описанием влияния окружающей среды с помощью силы трения или сопротивления атмосферы. Учитывая силу трения (сопротивления), описывать движение макроскопического тела можно вполне надежно, но важные черты движения при этом существенно изменяются. Так, часть энергии тела из-за трения необратимо теряется, превращаясь в тепло, – исчезает обратимость. Обратимость уравнений механики – формальное следствие того, что они

не изменяются при замене t на –t: ускорение – вторая производная от координаты – при замене t на –t не меняется. Сила же трения пропорциональна скорости тела – первой производной от координаты, которая при такой замене изменяется. Именно это обстоятельство и есть формальная причина потери обратимости. В таком описании сил трения внимательный читатель ощутит непоследовательность. Каждая молекула воздуха или наклонной плоскости подчиняется тем же законам, что и само тело (сейчас речь не идет об изменениях, вносимых квантовой механикой). Почему же появляется необратимость? Это – весьма сложный вопрос. В основе ответа на него лежит явление диссипации, обусловленной переходом энергии от небольшого числа механических степеней свободы макроскопического тела к по сути бесконечному числу степеней свободы микроскопических частиц. Движение микрочастиц столь хаотично, что вероятность возвращения энергии обратно к телу равна нулю. По этому поводу говорят о необратимом запутывании, а более строгим языком – о росте энтропии, которая служит мерой беспорядка. Вернемся к одной квантовой частице, движение которой описывается $\psi$ -функцией – решением уравнения Шрёдингера. Волновая функция – функция координат и времени. Задав начальное состояние, мы найдем вполне определенное решение $\Psi = \Psi ( x, t )$. Казалось бы, вполне детерминированный процесс. Но, задав себе простейший вопрос о том, где находится частица в момент времени t, мы вынуждены ограничиться утверждением, что нам известна лишь вероятность нахождения частицы в интервале dx вокруг точки х, и

2 вероятность эта равна $\Psi ( x, t ) dx$. Подчеркнем: несомненно, речь идет об ансамбле частиц, а не об одной частице. Без ансамбля тождественных частиц понятие вероятности теряет смысл. И дело не в неполноте знаний или во взаимодействии с большим количеством иных частиц. Вероятность – первичное понятие квантовой механики. Строгое рассмотрение показало, что добиться большей точности предсказаний нельзя, нельзя избежать использования вероятности при описании движения микроскопических частиц. Корпускулярно-волновой дуализм квантовых частиц не только делает их движение очень непохожим на движение классических тел, но заставляет рассматривать поведение ансамбля частиц даже тогда, когда, казалось бы, уравнение описывает движение одной частицы. В этом состоит еще одна психологическая трудность понимания квантовой механики.

Траектория, стационарное состояние

Общее описание движения микроскопических частиц квантовой механикой убеждает нас: квантовые законы движения не похожи на классические. Но чтобы возникло ощущение чуда, появилось впечатление, что происходит нечто, чего «не может быть», необходимо рассмотреть примеры. Сделать наглядным отличие поведения квантовых микрочастиц от макроскопических тел можно, если четко представить движение классических макротел в условиях, точно совпадающих с условиями, в которых будет рассмотрено движение квантовых частиц. При описании движения классических тел и квантовых частиц мы постараемся использовать одинаковые термины – там, где это возможно. В одномерном случае как-то неудобно говорить о траектории. Классическая частица в одномерном мире, конечно, всегда движется по прямой. Исчерпывающее описание движения частицы под действием внешней, не зависящей от времени силы F = F ( x ) сводится к определению зависимости координаты частицы от времени – к нахождению функции x = x ( t ). Полная информация о движении частицы