Оригами и построения

38

КВАНТ 2008/№1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Оригами и построения

1. Пусть заданы две точки А и В, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут на складке (рис.2). 2. Пусть заданы две точки, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдет в другую (рис.3).

А.ПЕТРУНИН

Моему сыну Никодиму

ПРЕДСТАВЬТЕ СЕБЕ, ЧТО ВЫ СИДИТЕ НА УРОКЕ И ВАМ скучно-скучно и очень хочется заняться геометрическими построениями: начертить, например, треугольник, найти в нем центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр, провести прямую Эйлера и все такое. Но вот беда: циркуль и линейка оставлены дома. Вот в такой ситуации, наверное, оказались 15 лет назад два оригамиста, итальянец Бенедетто Скимеми и японец Хамяки Худзита. (Оригамистами называют людей, увлекающихся древним японским искусством оригами – складыванием из листа бумаги различных зверушек, птичек, фонариков и т.д.) Вдруг их осеняет: «А ведь складка листа бумаги – это прямая». Например, если взять на листке отрезок и согнуть лист так, чтобы концы отрезка соединились, а потом разгладить лист аккуратненько на парте, то перегиб образует срединный перпендикуляр к исходному отрезку (рис.1,а). Обычное построение срединного перпендикуляра (рис.1,б) длиннее. Для него требуется и циркуль и линейка (одной

Рис. 2

3. Пусть заданы две прямые l и m, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдет в другую (рис.4).

Рис. 4

4. Пусть заданы прямая l и точка А, тогда лист можно сложить так, что точка попадет на складку, а прямая перейдет в себя (т.е. линия складки будет ей перпендикулярна) (рис.5).

Рис. 5

Рис. 1

линейкой не обойдешься), а тут никаких инструментов не надо. Чтобы продолжить, им пришлось придумать набор правил для этого нового типа построений. Например, при обычных построениях с помощью циркуля и линейки разрешается делать такие операции: 1. Провести прямую через две данные точки. 2. Построить окружность с данным центром и радиусом. 3. Найти точку пересечения двух данных прямых, точку пересечения прямой с окружностью или двух окружностей.$^{1}$ Что-то подобное нужно было и Бенедетто с Хамяки. Для этого они математически описали приемы, которыми давно пользовались оригамисты. Вот эти правила.

Правила складывания

Мы будем говорить, что прямая задана, если на листе имеется соответствующая складка. На рисунках далее складки показаны пунктиром.

1 Такие точки пересечения существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая точка есть, то ее «можно» найти.

Рис. 3

Рис. 6

5. Пусть заданы прямая р и две точки А и В, тогда лист $можно^{2}$ сложить так, что точка А попадет на складку, а В – на прямую р (рис.6). 6. Пусть заданы две прямые р и q и две точки А и В, тогда лист $можно^{2}$ сложить так, что точка А попадет на прямую р, а точка В попадет на прямую q (рис.7).

Рис. 7

Рис. 8

7. Пусть заданы две прямые р и q и точка А, тогда лист можно сложить так, что точка А попадет на прямую р, а прямая q прейдет в себя (т.е. линия складки будет ей перпендикулярна) (рис.8).

2 Такая складка существует не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то ее «можно» найти.