Задачи М2101—М2110; Ф2108—Ф2117

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 января 2009 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №5–2008» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2101» или «Ф2108». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2101, М2102 предлагались на IV этапе, а задачи М2103 – М2110 – на V этапе XXXIV Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2101–М2110, Ф2108–Ф2117

2

M2101. Дан квадратный трехчлен f ( x ) = x + ax + b. Известно, что для любого действительного числа x найдется такое действительное число y, что f ( y ) = f ( x ) + y. Найдите наибольшее возможное значение a. Д.Терёшин

M2102. По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседей, а каждое синее – полусумме соседей. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю. И.Богданов

M2103. Дана таблица n ѣ n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, 2, …, n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток? К.Чувилин

M2104. Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008- угольника $A_{1} A_{2} K A_{2008}$, находящегося за ширмой. За один вопрос он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008- угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указан-

ном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника. Н.Агаханов

M2105. Окружность $\omega$ с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что $AQ \perp OP$. Прямая OP пересекает окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, описанные около треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что OM = ON. А.Акопян

M2106. При каких натуральных n > 1 существуют такие натуральные $b_{1}, K, b_{n}$ (не все из которых равны), что при всех натуральных k число $( b_{1} + k )( b_{2} + k ) K ) K ( b_{n} + k )$ является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть всегда больше 1.) В.Произволов, В.Сендеров

M2107. В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведенными прямыми, лежит на прямой MH. Л.Емельянов

M2108. Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдется натуральное число x такое, что оно представляется в виде $x = a^{p} + b^{p}$ (с натуральны-