Задачи М2366—М2373; Ф2373—Ф2379

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2015» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2366» или «Ф2373». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2366 – М2369, М2370а, М2373 предлагались на XXXVI Турнире городов, задачи М2371, М2372 – на XVIII Кубке памяти А.Н.Колмогорова.

Задачи М2366–М2373, Ф2373–Ф2379

M2366. С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл ее неожиданной, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получал с начала года подряд оценки 3,4,2,5,5,5,2,3,4,3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четверка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четверок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными? Е.Бакаев

M2367. Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник. Т.Казицына, Б.Френкин

M2368. Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а еще эти окружности касаются друг друга. Пусть M и N – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка MN лежит на биссектрисе прямого угла треугольника. Е.Бакаев

M2369. Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k. И.Богданов, Г.Гальперин

M2370. Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить: а) на две группы; б) на 100 групп так, чтобы в группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы? в) Найдите все натуральные n, для которых можно разбить все делители числа n на две группы так, чтобы в группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы. М.Малкин

M2371. а) Назовем центром трехклеточного уголка точку, принадлежащую всем трем его клеткам. Шахматную доску $99 \times 99$ полностью покрыли трехклеточными уголками без наложений, после чего каждый уголок повернули вокруг своего центра на $90^\circ$ (в любом направлении). Докажите, что при этом какая-то клетка доски оказалась непокрытой ни одним уголком. б) Решите ту де задачу, если каждый уголок разрешается повернуть вокруг своего центра на $90^\circ$ или на $180^\circ$. А.Грибалко

$M2372^{*}$. Дана сфера Ω и точка P внутри нее. Через P проводятся три попарно перпендикулярные хорды $AA ', BB '$ и $CC '$. Точки $X, X '$ – проекции точки P на плоскости ABC и $A ' B ' C '$. Докажите, что все прямые $XX '$ проходят через одну точку. А.Заславский

$M2373^{*}$. В некотором государстве ценятся золотой и платиновый песок. Золото можно менять на платину, а платину – на золото по курсу, который определяется натуральными числами g и p так: x граммов золотого песка равноценны y граммам платинового, если xg = yp (числа x и y могут быть нецелыми). Сейчас у банкира