Про волчок и гироскоп

28

КВАНТ 2015/№1

Про волчок и гироскоп

C.ДВОРЯНИНОВ

ВПРЕЖНИЕ ВРЕМЕНА, КОГДА ЧАСЫ-БУДИЛЬНИКИ БЫЛИ МЕ- ханические, многие ребята с нетерпением ждали, когда же такое нужное в повседневной жизни устройство … сломается. Тогда можно было снять корпус часов и увидеть его механизм – систему связанных одна с другой шестеренок. Они отличались количеством зубьев. Покрутишь одну шестеренку, не очень быстро, а соседняя с ней в ответ может вращаться очень даже быстро. Все зависит от передаточного числа – от отношения числа зубцов на каждой шестеренке. А потом, если часы починить не удавалось, наступал следующий этап – механизм разбирался на отдельные части. И вот на столе десяток маленьких волчков – ось и на ней шестеренка. Можно было взять ось двумя пальцами и закрутить ее в вертикальном положении. После этот волчок еще долго крутился на столе и не падал. Почему название такое – волчок? Возможно, маленькие волчата кружатся подобным образом, пытаясь поймать себя за собственный хвост и падая потом в изнеможении от усталости. Есть еще такая игрушка – юла. Она раскручивается периодическим нажатием ручки. Обычный волчок со временем падает, потому что из-за трения скорость его вращения уменьшается. А у юлы идет постоянная энергетическая подпитка, которая компенсирует потери кинетической энергии. Удивительное это все-таки явление: стоит волчок на одной ножке и не падает! Если мы попытаемся вращающийся волчок наклонить, то сделать это не удастся. В ответ волчок лишь уйдет немного в сторону и продолжит вращаться, как ни в чем не бывало. Это его свойство лучше почувствовать своими руками, и вот как. Когда будете менять камеру или покрышку на своем велосипеде, не спешите ставить колесо на место. Возьмите ось колеса в обе руки, расположите ее горизонтально и попросите товарища это колесо раскрутить. Так, колесо крутится, вы ощущаете его вес. А теперь попробуйте колесо наклонить влево или вправо, наклоняя ось, или повернуть колесо влево-вправо. Вы сразу заметите, что сделать это ой как нелегко. При малейшей попытке изменить положение оси колеса давление на ваши

пальцы увеличивается. Однако вы без особых усилий можете перемещать колесо вперед-назад или вверх-вниз – при таких перемещениях ось колеса сохраняет свое первоначальное направление. А вот при поворотах или наклонах это направление меняется. Этот простой опыт наглядно показывает основное свойство волчка – сохранять в пространстве направление оси вращения неизменным. Продолжим наши эксперименты с волчком. Раскрутив волчок на листе картона, его можно подбросить вверх. Покрутившись в воздухе и снова оказавшись на картонке, волчок продолжит свое вращение. Картонку можно немного наклонить – ось вращения останется вертикальной. Правда, при этом точка опоры волчка потихоньку начнет скользить по наклонной плоскости вниз. Чтобы этого не происходило, в картонке можно сделать небольшое углубление – лунку, в которую помещается опора. Тогда картонку можно наклонять в разные стороны довольно значительно, а ось волчка будет оставаться вертикальной. А теперь – самое интересное. Вообразим, что мы, находясь на Северном полюсе Земли, раскрутили наш волчок вокруг вертикальной оси и поместили его на горизонтальную картонку. На картонке указаны направления на север и на юг, на запад и на восток, и картонку можно располагать согласно этим направлениям. Закроем наш волчок, например, бумажным колпаком. Пусть он там вращается, оставаясь невидимым для нас. По компасу отправимся теперь из указанной точки вдоль меридиана в сторону экватора, держа картонку с волчком перед собой. В каждой точке земной поверхности вертикаль направлена вдоль радиуса Земли; соответственно, в каждой точке – своя горизонтальная плоскость. Так вот, когда мы будем двигаться вдоль меридиана с севера на юг, нам будет казаться, что наша горизонтальная картонка сохраняет неизменным свое горизонтальное положение. Но когда мы пройдем половину пути до экватора и попадем на параллель, соответствующую $45 ^\circ$ северной широты, картонка повернется в пространстве от своего начального положения на угол в $45 ^\circ$. Но для нас это изменение пройдет абсолютно незаметным. Уберем теперь колпак, скрывавший наш волчок. Как вы думаете – каким окажется направление оси вращения? Будет ли ось по-прежнему располагаться вертикально? Нет, теперь ось волчка вертикальной не будет. Она будет сохранять направление вертикали на Северном полюсе. А угол между этой старой вертикалью и новой вертикалью в достигнутой нами точке будет равен $45 ^\circ$. Именно на такой угол в северном направлении будет теперь отклонена ось волчка от вертикали (рис.1). Итак, при движении вдоль меридиана к югу ось волчка отклоняется к северу. Будем наблюдать за этим отклонением. Пусть в некоторой точке нашего пути отклонение оси от вертикали составило, скажем, $30 ^\circ$.

31

«КВАНТ»

7 класс

III

8 первая 8 высшая 8 высшая 8 высшая 8 высшая

I I III III III

9 класс 9 класс 9 класс

I II II

ФМЛ 30-7 (Санкт-Петербург) Сборная ЛМШ 179-8 (Москва) 1543-8А (Москва) 2007-8 (Москва) ЮМШ-8 (Санкт-Петербург) 1543-9 (Москва) Черноголовка 2007-9 (Москва)

ДЛЯ

МЛАДШИХ

А.В.Садовников

И.С.Коломеец С.А.Дориченко А.В.Антропов Е.Г.Лысенок А.А.Солынин

К.А.Скопцов Л.Н.Головко В.В.Трушков

В один из дней для участников были организованы экскурсии, но главным событием этого дня стала личная олимпиада. Во всех параллелях лучшими стали школьники из Москвы. Гран-при личной олимпиады получили в 6 классе Алеся Иванова (5 класс школы 2007), в 7 классе – Борис Шаповал, в 8 классе – Тимофей Зайцев (оба из школы 179). В 9 классе гранпри не присуждался, а первое место разделили Андрей Балакин и Никита Цой (оба из школы 2007). Организаторами турнира в этом году выступили Фонд математического образования и просвещения, а также образовательная программа «Большая перемена». Отбором задач и составлением вариантов занималась методическая комиссия в следующем составе: А.Д.Блинков, А.В.Шаповалов, И.В.Раскина, Э.А.Акопян, Ю.С.Котельникова, П.В.Чулков, В.В.Трушков, Е.В.Бакаев, О.А.Заславский, А.В.Хачатурян, А.В.Грибалко, А.Г.Банникова, М.А.Артемьев, В.В.Арутюнов, А.А.Заславский, А.П.Зерцалов, А.А.Гаркавый. Приятно отметить, что этот список ежегодно пополняется новыми людьми, и те, кто еще совсем недавно приезжали на турнир в качестве участников, уже являются полноправными членами жюри. Наиболее интересные задачи турнира приведены ниже.

ЗАДАЧИ

Арифметика и алгебра

1. Коля написал натуральное число, все цифры которого различны. Если поменять местами любые две цифры этого числа, отличающиеся на 1, то оно увеличится, а если поменять местами любые две цифры, отличающиеся на 2, то оно уменьшится. Какое наибольшее число мог написать Коля? Н.Чернятьев

2. В записи натурального числа ровно 2014 цифр, причем центральные четыре цифры это 2, 0, 1, 4 (именно в таком порядке). Может ли это число быть точным квадратом? А.Шаповалов

3. В одиночных камерах сидят 4 друга-математика. Каждому из них сообщили, что их номера в списке различны, двузначны и один из этих номеров равен сумме трех других. Но, даже узнав номера троих других, никто из них не смог вычислить свой номер. Так какие же у них были номера? А.Шаповалов

ШКОЛЬНИКОВ

4. Вокруг стола с метровыми промежутками стоят p блюдец (p – простое), на каждом лежит по одному печенью. Карлсон проходит вокруг стола k метров, останавливается и берет печенье с блюдца. Затем Малыш, стартовав из того же места, проходит вокруг стола m метров, останавливается и берет там печенье с блюдца. Потом Карлсон от места своей остановки идет k метров и берет печенье с блюдца (если оно там еще осталось) и т.д. Все переходы они делают в одном направлении. Кому из них достанется больше печенья и на сколько, если k и m – натуральны, различны и оба меньше p? М.Шаповалов

5. Саша написал программу, которая последовательно вычисляет сумму натуральных чисел, начиная с 2014, убирая при этом в каждом слагаемом произвольно одну цифру в десятичной записи (разрешается убирать и первую цифру, даже если после нее стоит ноль). Программа должна закончить работу, как только полученная на очередном шаге сумма будет нацело делиться на 3. Может ли так случиться, что программа будет работать бесконечно? А.Грибалко

6. Петя написал на доске натуральное число, а потом стер последнюю цифру и написал ее чуть выше, в показателе степени. Оказалось, что результат делится на первое написанное число. Какое максимальное число мог первоначально написать на доске Петя? А.Шаповалов

Геометрия

7. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AB = BC = CD и – AOD $= 120 \infty$. Докажите, что AO = DO. Е.Бакаев

8. На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и F соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точки A на EF, из точки B на AE и из точки D на AF, пересекаются в одной точке. А.Гаркавый

9. На сторонах выпуклого четырехугольника построены правильные треугольники во внутреннюю сторону. Оказалось, что треугольники, построенные на одной паре противоположных сторон, имеют общую вершину. Докажите, что треугольники, построенные на другой паре противоположных сторон, имеют общий центр. Е.Бакаев

10. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC, CA в точках $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ соответственно, BH – высота треугольника ABC. Докажите, что ортоцентры треугольников $AC_{1} B_{1}$ и $CA_{1} B_{1}$, а также точки H и $B_{1}$ лежат на одной окружности. Д.Швецов

11. На доске нарисованы три прямые, проходящие через одну точку и образующие попарно углы в $60\infty$, а

(Продолжение см. на с. 34)