Квант
Олимпиады

XXXVI Турнир городов

Дориченко С. А., Медников Л. Э.

Квант 2015, №1с. 53Тег TIEJ

ОЛИМПИАДЫ

XXXVI Турнир городов

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2014 ГОД)

Базовый вариант

8 – 9 классы

  1. (3) Есть 99 палочек с длинами 1, 2, 3,…, 99. Можно ли из них сложить контур какого-нибудь прямоугольника? Е.Бакаев

1

  1. Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя: а) (2) ровно в шесть раз; б) (2) ровно в пять раз? И.Акулич

  2. (5) На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка K, а на стороне BC – точка L так, что KB = LC. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P. Докажите, что отрезки DP и KL перпендикулярны. Е.Бакаев

  3. (5) См. задачу М2366 «Задачника «Кванта»

  4. Даны N прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если: а) (2) N = 2; б) (3) N – любое натуральное число, большее 1. Е.Бакаев

10 – 11 классы

  1. а) (1) См. задачу 2,а для 8–9 классов. б) (2) См. задачу 2,б для 8–9 классов.

  2. (4) Вершины треугольника обозначены буквами A, B, C по часовой стрелке. Треугольник последовательно поворачивают по часовой стрелке: сначала вокруг вершины A на угол, равный ∠A\angle A, потом – вокруг вершины B на угол, равный ∠B\angle B, и так далее по циклу (каждый раз поворот делают вокруг текущего положения очередной вершины). Докажите, что после шести поворотов треугольник займет исходное положение. В.Расторгуев

  3. (5) Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.) И.Богданов

  4. (5) См. задачу 5,б для 8–9 классов.

1 В скобках после номера задачи указано максимальное количество баллов, присуждавшихся за решение. Итог подводился по трем задачам, в которых достигнуты наилучшие результаты.

  1. (5) На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором. Е.Бакаев

Сложный вариант

8–9 классы

  1. (4) Дана квадратная таблица. В каждой ее клетке стоит либо плюс, либо минус, причем всего плюсов и минусов поровну. Докажите, что или в каких-то двух строках, или в каких-то двух столбцах одинаковое количество плюсов. Б.Френкин

  2. (5) См. задачу М2367 «Задачника «Кванта».

  3. (6) См. задачу М2370,а «Задачника «Кванта».

  4. (7) На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3,…, за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своем посту. Е.Бакаев

  5. (8) См. задачу М2368 «Задачника «Кванта».

  6. (8) Назовем натуральное число ровным, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, 999999). Докажите, что любое n-значное число можно представить как сумму не более чем n + 1 ровных чисел. А.Шаповалов

  7. Паутина имеет вид клетчатой сетки 100×100100 \times 100 узлов (другими словами, это сетка 99×9999 \times 99 клеток). В каком-то ее углу сидит паук, а в некоторых 100 узлах к паутине приклеились мухи. За ход паук может переместиться в любой соседний с ним узел. Может ли паук гарантированно съесть всех мух, затратив не более: а) (5) 2100 ходов; б) (5) 2000 ходов? И.Богданов

10–11 классы

  1. (4) См. задачу М2367 «Задачника «Кванта».

  2. (5) См. задачу 4 для 8–9 классов.

  3. (6) См. задачу М2369 «Задачника «Кванта».

  4. (7) Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A′,B′,C′A ', B ', C ' соответствен-