26
КВАНТ 2015/№2
Буратино и его научная работа
И.БОЯРИНОВ
ОДНАЖДЫ БУРАТИНО ВЕРНУЛСЯ ДОМОЙ ИЗ ШКО- лы явно озадаченным. Вместо того чтобы как обычно пойти немного погулять и отдохнуть, он уселся за стол и положил перед собой чистый лист бумаги. – Учитель сказал, что скоро у нас в школе пройдет научно-практическая конференция, на которой ученики должны рассказать о результатах своей научноисследовательской работы, – пояснил Буратино, отвечая на недоуменный взгляд Папы Карло. – А что это за работа такая? Я ею никогда не занимался! Вот окончу школу, университет, потом найду себе место младшего научного сотрудника в лаборатории – тогда и начну проводить исследования. А что я сейчас могу? Да и знаю я сейчас так мало! – Дорогой мой Буратино, не надо так долго ждать! Математика такая большая, что всегда можно найти новые и доступные задачи! Вы уже прошли подобные треугольники? – Прошли. – Вот и придумай про них что-нибудь новое, – предложил Папа Карло. – А что тут может быть нового? Есть три признака подобия… Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого… – Так-то оно так, а если одну сторону треугольника увеличить в 25 раз, другую – в 15 раз, а третью – в 9 раз, то может ли новый треугольник быть подобным исходному? – спросил Папа Карло. Пусть это будет твоя задача 1. – Нет, никак не может новый треугольник оказаться подобным исходному, – уверенно возразил Буратино.
Есть формула для сторон подобных треугольников:
AB BC CA = = = K. A 1 B 1 B 1 C 1 C 1 A 1
Стороны должны быть пропорциональны. А если одну сторону увеличить в 25 раз, другую – в 15, то никакой пропорциональности сторон не получится. Какое тут может быть подобие? Никакое, – уверенно заключил Буратино. – Можно сказать, пожалуй, что ты запутался в трех соснах, точнее – в трех сторонах! – улыбнулся Папа Карло. Давай-ка в таком случае упростим ситуацию и рассмотрим всего две стороны подобных фигур. Вот тебе Задача 2. Две противоположные стороны прямоугольника ABCD увеличили в 2 раза, а две другие стороны – в 8 раз. Может ли новый прямоугольник быть подобным исходному? – Только предупреждаю, не торопись с ответом, чтобы не ошибиться. Подумай! Теперь Буратино проявил осмотрительность, не стал спешить, сосредоточился и через несколько минут нарисовал на бумаге в клетку два прямоугольника – один 1 ¥ 2, второй 4 ¥ 8. Эти прямоугольники ясно показывали, что описанная в задаче 2 ситуация вполне возможна. Если у первого стороны длины 2 увеличить в 2 раза, стороны длины 1 – в 8 раз, то в аккурат второй прямоугольник и получится. Этот пример заставил Буратино насторожиться. – Хорошо, – одобрительно сказал Папа Карло. – Теперь ты убедился, что иногда действительность противоречит нашим привычным представлениям. Рассмотрим обобщение задачи 2, пусть это будет для тебя тренировочная Задача 3. Две противоположные стороны прямоугольника ABCD увеличили в p раз, а две другие стороны – в q раз. Может ли новый прямоугольник быть подобным исходному и если да, то при каком условии? Буратино справился и с этой задачей. Вы тоже можете ее решить, сверив свой ответ с приведенным в конце журнала. Воодушевленный таким началом, Буратино вернулся к задаче 1. Как к ней подступиться, с чего начать?.. – Начнем с известного, – посоветовал Папа Карло. Для двух подобных треугольников со сторонами a, b, c и A, B, C обычно рассматривают сходственные стороны:
( a, b, c ) ֏ ( A, B, C ) = ( Ka, Kb, Kc ).
Будем считать, что длины сторон перечислены в порядке их возрастания. А в каком порядке перечислены
29
НАШИ
НАБЛЮДЕНИЯ
Нет, она всего лишь собирается обменяться телами с Черной Королевой (рис.2). 2. Возможно, все, что случилось с Алисой в Зазеркалье, – всего лишь приснилось ей. Вот небольшой отрывок, где речь идет о сне Черного Короля. – Милый, правда? – спросил Траляля. Алисе трудно было с ним согласиться. На Короле был красный ночной колпак с кисточкой и старый грязный халат, а лежал он под кустом и храпел с такой силой, что все деревья сотрясались. – Так можно себе и голову отхрапеть! – заметил Труляля. – Как бы он не простудился, – забеспокоилась Алиса, которая была очень заботливой девочкой. – Ведь он лежит на сырой траве! – Ему снится сон! – сказал Траляля. – И как по твоему, кто ему снится?! – Не знаю, – ответила Алиса. – Этого никто сказать не может. – Ему снишься ты! – закричал Траляля и радостно захлопал в ладоши. – Если б он не видел тебя во сне, где бы, интересно, ты была? А вот комментарий Гарднера к этому отрывку: Алиса видит во сне Короля, который видит во сне Алису, которая видит Короля, и так далее, словно два зеркала, поставленные друг перед другом… Что-то наподобие того, что изображено на рисунке 3.
Рис. 4
Рис. 3
Конечно, сон Алисы и сон Черного Короля – это чрезвычайно запутанные состояния, которые не так-то легко распутать. 3. И еще один сюжет. Все время от начала до конца истории Черный Король проспал без движения (на одном поле шахматной доски), а Алиса прошла весь путь до последней горизонтали, превратившись из Белой Пешки в Белую Королеву. Естественно, что в разные моменты времени она находилась по разные стороны от Черного Короля. Судя по всему, сейчас Алиса находится спереди (рис.4). Или это только иллюзия (рис.5)?
Рис. 5
В заключение предлагаем вам посмотреть два ролика, связанные с последним сюжетом: http://www.youtube.com/watch?v=oJb9RnAVDuE http://www.youtube.com/watch?v=GAmWs6zfTj8 Как по-вашему: кто из присутствующих на первом ролике исполняет роль Безумного Шляпочника, а кто – Мартовского Зайца?