Квант
Олимпиады

Региональный этап Олимпиады имени Максвелла

Слободянин В. П.

Квант 2015, №2с. 50Тег 7XHT

50

КВАНТ 2015/№2

выбирал одного ребенка, одну маму и одного папу из трех разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере? С.Волчёнков

  1. Продолжения медиан AA1,BB1AA_{1}, BB_{1} и CC1CC_{1} треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A0,B0A_{0}, B_{0} и C0C_{0} соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC0,AB0CABC_{0}, AB_{0} C и A0BCA_{0} BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний. А.Якубов 4. См. задачу 4 для 10 класса.

Второй день

  1. Квадратный трехчлен f ( x ) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство

(

)

fa2+b2≥f(2ab)f a^{2} + b^{2} \ge f ( 2 ab ). Докажите, что хотя бы один из корней этого трехчлена – отрицательный. А.Храбров

  1. Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырех апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.) Л.Емельянов

  2. По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей? С.Берлов

  3. Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или число 5, а любые два соседних члена различаются не больше чем на 2. Сколько последовательностей ему придется выписать? И.Богданов

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский

Региональный этап Олимпиады имени Максвелла

Теоретический тур

Справочные данные (могут понадобиться для любой из задач) Ускорение свободного падения g = 9,8 м с2с^{2}

Плотность дерева (сосны) ρд=400\rho_{д} = 400 кг м3м^{3}

Плотность воздуха ρ0=1,3\rho_{0} = 1,3 кг м3м^{3}

Плотность воды ρв=1000\rho_{в} = 1000 кг м3м^{3}

Плотность льда ρл=917\rho_{л} = 917 кг м3м^{3}

7 класс

Задача 1. Скорость света Экспериментатор Глюк исследовал движение солнечного зайчика, который изначально покоился, затем с постоянной скоростью перемещался вдоль прямой, а в конце пути опять замер. Глюк раз в минуту записывал в таблицу координату зайчика:

Правда, несколько раз он отвлекался и пропустил несколько измерений (в таблице – прочерки). Помогите экспериментатору определить, в какой момент зайчик начал движение. С какой скоростью зайчик перемещался? Как долго он перемещался? Кроме этого, заполните пропуски в таблице. М.Замятнин

Задача 2. Который путь длиннее? Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью v1v_{1}, а последнюю треть времени – со скоростью v3v_{3}. На втором участке пути его скорость равнялась средней скорости движения на всем пути. Известно, что v1>v3v_{1} > v_{3}. Какой из участков самый короткий, а какой самый длинный? На каком участке автомобиль находился дольше всего, а на каком – меньше всего? В.Слободянин

Задача 3. Коробка с сахаром (1) Кубики сахара-рафинада плотно упакованы в коробку, на которой написано: «Масса нетто (m) 500 г, 168 штук». Длина самого длинного ребра коробки с = 98 мм. Вдоль самого короткого ребра коробки укладывается ровно 4 кусочка сахара. Чему равна плотность сахара-рафинада? Примечание. «Нетто» – это масса продукта без учета массы упаковки (тары). С.Кармазин

Задача 4. С одним велосипедом Группа туристов из трех человек направилась из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми L = 22 км. Попутных машин нет. В распоряжении группы есть один велосипед, на котором одновременно могут ехать не больше двух человек. Скорость движения пешим ходом составляет v0=5v_{0} = 5 км/ч, при езде на велосипеде одного человека его скорость равна v1=20v_{1} = 20 км/ч, а при езде вдвоем – v2=15v_{2} = 15 км/ч. Как должны действовать туристы, чтобы за минимальное время добраться до пункта Б? Найдите это время. С.Варламов 8 класс

Задача 1. Равновесие Планка массой m и два одинаковых груза массой 2m каждый с помощью легких нитей прикреплены к двум блокам (рис.1). Система находится в равновесии. Определите силы натяжения нитей и силы, с которыми планка действует на грузы. Трения в осях блоков нет. М.Замятин

Задача 2. Неизвестное в неизвестном Экспериментатор Глюк проводил интересный опыт по погружению кубика, изготовленного из неизвестного материала, в жидкость неизвестной плотности (рис.2). В таб-