Решения задач М2366—М2373; Ф2373—Ф2379

15

ЗАДАЧНИК

Ф2389. Концы однородной цепочки длиной L и массой M закреплены, и цепочка, состоящая из множества звеньев, свободно висит в воздухе. Касательные к цепочке в местах крепления концов составляют с горизонтом углы $\alpha$ и $\beta ( \alpha > \beta ).$ Каково натяжение цепочки в самой нижней ее точке? Какова разность уровней (по вертикали) точек, в которых находятся самое верхнее и самое нижнее звенья цепочки? Ц.Почкин

Ф2390. Горизонтальная плоская поверхность разделена прямой линией на две части. По одну сторону от прямой поверхность абсолютно гладкая, по другую – шероховатая, причем коэффициент трения $\mu$ в каждой ее точке пропорционален расстоянию от этой точки до разделительной прямой. Две одинаковые маленькие шайбы движутся поступательно по гладкой части поверхности перпендикулярно разделительной прямой и одновременно пересекают ее. Какая шайба остановится раньше, если скорость первой шайбы в 10 раз больше скорости второй? И.Акулич

Ф2391. Два проводящих диска, заряженных зарядами q и –q, могут двигаться без трения в длинном непроводящем цилиндре, расположенном горизонтально (см. рисунок). Между дисками находится некоторое количество гелия, за дисками газа нет. Заряды дисков мгновенно уменьшают вдвое, после чего ожидают прихода системы в равновесие. Пренебрегая теплообменом, найдите, во сколько раз изменятся температура газа и расстояние между дисками. А.Черноуцан

Ф2392. На столе на высокой непроводящей подставке закреплен маленький шарик с зарядом Q. На другой подставке такой же высоты, которая находится на расстоянии L от первой, закреплен шарнир. В шарнир вставлен и может свободно вращаться невесомый стержень, длина которого много меньше L. На концах этого стержня закреплены два маленьких шарика массой m каждый с зарядами +q и –q. Расстояния от шариков до оси вращения одинаковы. Диполь – два шарика с разными по знакам зарядами на стержне – раскрутили, и он начал быстро вращаеться. Период обращения диполя равен T. Заряд Q и заряды +q и –q всегда находятся в одной и той же горизонтальной плоскости. С какой средней по времени силой взаимодействуют точечный заряд и диполь? С.Варламов

Ф2393. Вася получил такое задание: на длинный диэлектрический цилиндр с внешним радиусом R намотать тонкую проволоку фиксированной длины так, чтобы в одной из точек на оси симметрии цилиндра можно было создать максимальную индукцию магнитного поля при пропускании по проволоке фиксированного постоянного тока. Когда задание было выполнено,

«КВАНТА»

оказалось, что максимальная толщина h всех слоев проволоки на цилиндре равна R. Каким при этом оказалось максимальное расстояние между витками намотки вдоль оси цилиндра? В.Максимов

Ф2394. Симметричная тонкая собирающая линза с оптической силой D = 1 дптр сделана из стекла с показателем преломления n = 3/2. Линза стоит на подставке посредине оптической скамьи, длина которой L = 4 м. На каком максимальном расстоянии от линзы на ее главной оптической оси нужно поместить на скамью очень маленький источник света, чтобы одно из его действительных изображений попало в один из фокусов линзы? Подсказка. На границе раздела воздух–стекло происходит частичное отражение света. В.Сергеев

Решения задач М2366–М2373, Ф2373–Ф2379

M2366. С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл ее неожиданной, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получил с начала года подряд оценки 3,4,2,5,5,5,2,3,4,3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четверка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четверок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными?

Решение см. в статье Е.Бакаева «Мальчики, девочки, таблицы, графы …» в этом номере журнала. M2367. Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

Пусть наибольшая сторона AB многоугольника касается вписанной окружности в точке K, а BC и AD – соседние стороны (см. рисунок), пусть они касаются окружности в точках L и M соответственно. Тогда BC > > BL = BK, AD > > AM = AK, значит, BC + AD > BK + + AK = AB. Получается, что наибольший из отрезков AB, AC и BC меньше суммы двух других, и, значит, из отрезков AB, AC и BC можно составить треугольник. Т.Казицына, Б.Френкин

M2368. Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая каса-